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Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 1: Números Naturales  (Leído 8512 veces)
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dcarballor
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« Respuesta #20 : 17/03/2016, 03:46:31 pm »

Hola, gracias por la respuesta y perdón por la tardanza en contestar por mi parte.
Sí, tu respuesta responde a mi pregunta.
La cuestión es que estoy preparando una exposición de una hora sobre los naturales y ahora mismo... me parece que voy a pasar por este punto sin meterme en muchas profundidades y a esperar que no me pregunten mucho sobre ello :lengua_afuera:
Y el motivo ya es personal, no consigo detenerme el tiempo necesario para pensarlo, estoy intentando simplemente preparar algo "que no me cueste", que sean cosas conocidas por mí o fáciles y esta cuestión en concreto me ha atrancado un poco.
En fin, que gracias de nuevo.
Si me pongo a intentarlo, lo cuento aquí a ver qué tal os parece.
Un saludo.
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dcarballor
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« Respuesta #21 : 18/03/2016, 05:57:35 pm »

Vamos allá.

Primero de todo pido disculpas pues el primer post que hago con latex y estoy seguro que habrá cosas que no son del todo correctas y otras que directamente serán muy incorrectas, pero bueno. Hay que lanzarse.

Supongamos que no tenemos el principio de recurrencia.
Definimos una función que llamamos + (suma):
[texx]+:NxN\longrightarrow{N}\\
con \\
m+1= S(n)\\
m+S(n) = S(m+n); \forall{m.n \in{N}}  [/texx]
y siendo [texx]S  [/texx] la función "siguiente" de los axiomas.
En primer lugar vamos a ver que esa función existe.
Para ello definimos el conjunto A siguiente:
 [texx]A=  \left\{{x\in{N}/\exists{f_x:\left\{{x}\right\}xN\longrightarrow{N}}}\right\}[/texx]
[texx] con f_x (x,n) = x+n \\
con \\
x+1=S(x)\\
x+S(y) = S (x+y)  \forall{y \in N}[/texx]
Vamos a usar el principio de inducción y a demostrar por tanto que A = N.
Para ello, en primera lugar tenemos que demostrar que [texx] 1\in A[/texx]
Exectivamente, [texx] 1\in A[/texx] puesto que [texx]f_1 [/texx]debería cumplir:
[texx] 1+ 1= S(1)[/texx] lo que se puede definir porque sabemos que la función S existe por los axiomas.
La otra condición que debe cumplir es que [texx]1+S(y) = S (1+y)  \forall{y \in N}[/texx] lo cual también podemos admitir que existe por ser S la función de los axiomas (Esto no lo veo claro ni yo. ¿Con esto sería suficiente? ¿Habría que justificar algo más?)
Pasamos a admitir que un x natural [texx]\in A[/texx], veamos si S(x) también [texx]\in A[/texx]
Para ello, necesitamos que exista una función [texx]f_{S(x)} [/texx]tal que:
1) [texx]f_{S(x)} (S(x), 1) = S(x) + 1 = S(S(x)) \\ 2) f_{S(x)} (S(x),S(y)) = S(x) + S(y) = S(S(x)+y)\\ [/texx]
1) se cumple pues aplicando que [texx]1, x \in A[/texx] obtenemos lo siguiente: [texx] S(x) + 1 = x+1+1  =  x + S(1) =  S(x+1)  = S(S(x))[/texx]

2) se cumple pues aplicando que [texx]1, x \in A[/texx] obtenemos lo siguiente [texx] S(x) + S(y) = x+1+S(y)  = x + S(1+y) = S(x+1+y) = S(S(x)+y)[/texx]
Por tanto, [texx]1 \in A[/texx] y obtenemos que [texx]S(x) \in A[/texx] si suponemos que  [texx]x \in A[/texx] , con lo que todos los naturales están en A.

Luego hemos demostrado que esa función existe. (O quizá no, espero aportaciones y críticas)
Y me falta la unicidad.

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