21/11/2019, 04:45:56 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Cociente de un anillo con un ideal  (Leído 501 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
albertocai
La estupidez humana siempre tiende a infinito...
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 107


Gaditanae Sum!


Ver Perfil WWW
« : 14/03/2016, 11:45:43 am »

Buenos días/tardes:

Hoy tengo que resolver este ejercicio, pero no consigo entender muy bien el enunciado:

Sea [texx]p[/texx] primo y sea [texx]A \subset \mathbb Q[/texx] el anillo formado por todas las fracciones cuya forma irreducible tiene
denominador no divisible por [texx]p[/texx]. Hallar un anillo sencillo que sea isomorfo a [texx]A/{(p)}[/texx].


Ahora bien:

- ¿quién es aquí [texx](p)[/texx]: el conjunto de los múltiplos de [texx]p[/texx], o el conjunto de fracciones irreducibles cuyo denominador es divisible por [texx]p[/texx], o ninguno de ambos?

Creo que sin tener esto claro, no podré entender el cociente. ¿A alguien se le ocurre?

Saludos!
En línea

...:::Si no me ha salido todavía es porque no me he abstraído lo suficiente:::...
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.428


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/03/2016, 12:07:44 pm »

Hola

Hoy tengo que resolver este ejercicio, pero no consigo entender muy bien el enunciado:

Sea [texx]p[/texx] primo y sea [texx]A \subset \mathbb Q[/texx] el anillo formado por todas las fracciones cuya forma irreducible tiene
denominador no divisible por [texx]p[/texx]. Hallar un anillo sencillo que sea isomorfo a [texx]A/{(p)}[/texx].


Ahora bien:

- ¿quién es aquí [texx](p)[/texx]: el conjunto de los múltiplos de [texx]p[/texx], o el conjunto de fracciones irreducibles cuyo

Tienes el anillo:

[texx]A=\left\{\dfrac{n}{m}|n\in Z,\,m\in N,\,mcd(n,m)=1,\,mcd(m,p)=1\right\}[/texx]

y dentro del el ideal generado por [texx]p[/texx]:

[texx](p)=\{pa|a\in A\}=\left\{\dfrac{pn}{m}|n\in Z,\,m\in N,\,mcd(n,m)=1,\,mcd(m,p)=1\right\}[/texx]

Saludos.
En línea
albertocai
La estupidez humana siempre tiende a infinito...
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 107


Gaditanae Sum!


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 14/03/2016, 12:31:03 pm »

Vale... ahora sí puedo empezar a pensar...  :BangHead:

Gracias, el_manco!
En línea

...:::Si no me ha salido todavía es porque no me he abstraído lo suficiente:::...
albertocai
La estupidez humana siempre tiende a infinito...
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 107


Gaditanae Sum!


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 15/03/2016, 01:48:12 pm »

Después de un tiempo intentando buscar la solución al ejercicio, he determinado que las clases del cociente son de la forma
[texx]\left[\frac ab\right]=\left\{\frac ab+p \frac cd : \frac ab,\frac cd\in \mathcal A\right\}=\left\{\frac {ad+pbc}{bd} : (p,b)=(p,d)=1\right\}[/texx].

Pero el ejercicio pide un anillo isomorfo al cociente [texx]\mathcal A/(p)[/texx].

Al principio pensaba que el anillo es [texx]\mathbb Z_p[/texx], bajo el "homomorfismo" [texx]\frac ab \to \overline a[/texx]. Lo puse entre comillas lo de "homomorfismo" porque no lo es... (basta probar que aunque con el producto sí que funciona, con la suma es un desastre...

¿Alguna pista de por dónde buscar?
En línea

...:::Si no me ha salido todavía es porque no me he abstraído lo suficiente:::...
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!