Complemento ortogonal de S

[Weierstrass]

Hallar el complemento ortogonal de S, una base y dimensión del mismo.
Les pido una ayuda, como encararlo el ejercicio?

S={x ∈ ℝ^4/}
 
Les cuento lo que estuve haciendo:

1) saque la forma genérica de un vector de S que me dio de dimensión 2/ un x ∈ S ⇒ x=(x3-x2,x2,x3,3x3)

2) luego sabiendo que DimS+DimS* = Dim V
                                  RTA 3:   DimS*=2

3)siendo u ∈ S*⇒ u=(u1,u2,u3,u4)
<u,x>=0 ---> (u1,u2,u3,u4).(x3-x2,x2,x3,3x3)=0

 

Aclaro: tanto u1,u2,x1,x2,...,etc son las componentes de los vectores y
S* es el complemento ortogonal de S.
 
Duda:Me gustaría contar con su opinión sobre esto. AL final obtengo una expresión en función de las componentes x e u. como saco las condiciones de los vectores de S*.
Desde ya gracias !!
SAludos

[Fernando Revilla]

Antes que nada: deberias editar tu mensaje de acuerdo a las reglas del foro. Algunos símbolos no se ven, los subíndices no está correctamente escritos, etc.

En cuanto al problema, lo mejor es que halles una base de que estará formada por dos vectores. Posteriormente obliga a un vector genérico de a que sea ortogonal a la base hallada. Las ecuaciones resultantes determinan .

[feriva]

Hola, a ver si es esto:
















Un salduo.


( he dado valor uno a lambda y beta, y cero a alfa, y después cero a lambda y beta y uno a alfa)

[Fernando Revilla]

Hola, a ver si es esto:

Los vectores que has hallado no pertencen a . Escalonando el sistema que determina obtenemos:

y una base de es . Las ecuaciones de son por tanto:

[feriva]

Los vectores que has hallado no pertencen a . Escalonando el sistema que determina obtenemos...

Hola, Phidias, buenas tardes. Ya veo, tenía que haber restado las ecuaciones (me daré unos cabezazos  )

Saludos

[Fernando Revilla]

(me daré unos cabezazos  )

Soy más partidario de las cabezaditas que de los cabezazos. 

[feriva]

Claro, es que es un plano en, mi error ha sido que le he dado un parámetro de más, ¿no?

[feriva]

Soy más partidario de las cabezaditas que de los cabezazos. 

Yo también, sobre todo en verano

[Weierstrass]

Esto les parece bien;
1) que genere 4 vectores de S.

2) Un vector generico de S* debe ser ortogonal a los 4 , entonces planteo las cuatro ecuaciones, me va a quedar un sistema cuadrado, hallo la solucion,posiblemente me quede un SCI.

3) Luego de pivotear con GAuss jordan hallo las condiciones de los elementos de S*

Les parece???

[feriva]

Esto les parece bien;
1) que genere 4 vectores de S.


Les parece???

Hola, Wierstrass (también te podías haber puesto de nick Valor Medio  ; es broma).

Bueno, es claro que "S" es un plano contenido en un espacio vectorial que es un hipercubo; a un plano le basta con dos vectores y un punto para estar definido, puedes sacar todos los que quieras, pero no van a servir para nada
Sin embargo, espera otra opinión, yo esto lo tengo un poco olvidado.
 Un cordial saludo.

[feriva]

De todas formas lo tienes ahí, Phidias ya ha resuelto el problema, eso que ha hecho él es lo que se pedía, no hay más.

[feriva]

Te explico lo que ha hecho Phidias, por si no lo ves:

Primero ha restado a la segunda ecuación la primera y ha sacado así las ecuaciones cartesianas de "S".
A partir de ahí, obtiene las paramétricas haciendo y , nos queda este vector del plano:



Dando valor 1 a lambda y -1 a beta (primeramente) saca el primer vector; después, da el valor 1 a lambda y el valor cero a beta y saca el segundo vector. Y ésos son dos vectores del plano "S". A partir de ahí halla las ecuaciones del perpendicular; ya está.

Un saludo.

[Weierstrass]

Perdona mi ignorancia en el tema : En R^4 se trabaja igual que en R^3, con dos vectores y un punto ,defino un plano ??
como hallo la perpendicular,??

[Weierstrass]

Perdona mi ignorancia en el tema : En R^4 se trabaja igual que en R^3, con dos vectores y un punto ,defino un plano ??
como hallo la perpendicular,??

[feriva]

Perdona mi ignorancia en el tema : En R^4 se trabaja igual que en R^3, con dos vectores y un punto ,defino un plano ??
como hallo la perpendicular,??

Hola. Si tienes dos ecuaciones independientes, por ejemplo, de cuatro incógnitas ( espacio vectorial de dimensión cuatro) tenemos que "faltan" digamos, dos dimensiones: 4-2=2. Luego la ecuación está definiendo, "por defecto", una variedad lineal de dos dimensiones, esto es, un plano. Un plano es un plano en cualquier espacio vectorial, sea de las dimensiones que sean. Para hallar los vectores se pueden sacar las paramétricas y en otras ocasiones se puede utilizar la identificaicón de coeficientes. Y para hallar un vector ortogonal se puede hacer por el producto vectorial -sólo en - o por el escalar.

 Un saludo.