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Autor Tema: Construcción de la medida de Lebesgue en el plano  (Leído 3693 veces)
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« : 03/07/2010, 01:56:52 am »

El propósito de este thread es el de ir construyendo la medida de Lebesgue en el plano, de manera tan lenta y clara como sea posible.
La intención es que dicha construcción quede fijada en el foro para futura referencia.
También estoy seguro que muchos foreros ya conocen esta construcción de memoria.

Sin embargo, puede que difieran algunos detalles de estilo, o de ordenamiento de los conceptos.
Aún así, no planeo llevar a cabo yo solo esta tarea, y estaría bueno que se sume más gente a aportar cosas.

La medida de Lebesgue en el plano se introduce para dar una noción consistente de área de conjuntos planos.

En los cursos elementales de cálculo se enseña a calcular áreas entre dos curvas, mediante la integral de Riemann de las funciones que sirven de frontera de la región que nos interesa.

Cuando las funciones involucradas se vuelven más complicadas, la integral de Riemann se hace difícil de calcular, e inclusive hay muchos casos de funciones que ya no pueden integrarse.

Pregunta: ¿cómo reconocer la clase de todas las funciones cuya integral de Riemann existe?
Gracias a la medida y la integral de Lebesgue, esa pregunta tiene una respuesta muy sencilla.

A aquellos que quieran sumar "objeciones" contra la integral de Riemann, abogando a favor de la integral de Lebesgue, les serán agradecidos sus comentarios.

Ando con ganas de ir haciendo todo esto "de memoria", con el fin de enfatizar las ideas geométricas de fondo, y no ponerme tan odioso con los cálculos y las fórmulas. Así que es posible que cometa algunos errores, pero se pueden ir corrigiendo: es parte de la intención de "reconstruir el concepto".
En realidad, una de las preguntas que me hago es ¿cuál sería la mejor manera de enseñar la teoría de la medida de Lebesgue?
Si uno trata de construirla, teniendo en cuenta algunos "tips", puede quizá uno reconstruir todo el camino, y eso sería de gran provecho pedagógico, imagino.  :rodando_los_ojos:
A pesar de que no me gusta dibujar, sino calcular, pienso que los gráficos son lo que aclara rápidamente un sinfín de conceptos matemáticos profundos.
Luego, considero que uno de los pilares de la pedagogía es dibujar. No tengo muchas más ideas al respecto.

La idea básica tras la medida de Lebesgue sería más o menos esta: la medida de cualquier conjunto en el plano puede expresarse o construirse mediante uniones y diferencias de rectángulos con lados paralelos entre sí.


Hay que pensar en infinitas operaciones sucesivas de unión y diferencia, y luego veremos cómo extendernos a conjuntos incluso más complicados.

Una propiedad muy útil de la medida de Lebesgue es la aditividad numerable: dada una familia numerable de conjuntos disjuntos (medibles), la medida de la unión es igual a la suma de las medidas individuales.

Otra propiedad interesante es que la medida de Lebesgue de un conjunto dado no varía si se le aplica una rotación o una traslación.

Pero esto hasta ahora son sólo promesas y palabras.
Vayamos paso a paso por las ideas que permiten construir una medida basada en rectángulos.

Me podrán preguntar por qué planeo desarrollar sólo la teoría sobre el plano...
Es cierto que puede desarrollarse la misma teoría en [texx]\mathbb R^n[/texx] casi sin cambios. Pero es más difícil de dibujar, me parece una complicación innecesaria, y una vez entendido cómo funciona todo en el plano, la generalización a más dimensiones es más fácil.

También uno podría preguntarse por la teoría de Lebesgue en dimensión 1, o sea, en la recta real.
De hecho, es la misma teoría, y se usan intervalos en vez de rectángulos.
Los cálculos son más sencillos, pero las ideas geométricas permenecen algo "oscuras".
Creo que quedarnos en el plano bidimensional será el mejor lugar para introducir esta teoría.

A menos que alguien esté poderosamente en desacuerdo. mmm

En el siguiente post comenzaré con esta historia.

* 20100603-rinconmat-Lebesgue-quiere-medir-asi.PNG (10.86 KB - descargado 503 veces.)
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« Respuesta #1 : 03/07/2010, 02:35:55 am »

La medida de Lebesgue puede construirse acumulando una lista de definiciones consecutivas.

En pasos avanzados de la construcción podrán aparecer seguramente los conceptos de medida exterior y/o interior, en completa analogía con las sumas superiores e inferiores de una integral de Riemann.

Pero por ahora nos conformamos con muy poco.

Prerrogativa previa: en todo lo que sigue, cuando hablemos de rectángulos, vamos a entender que se trata de rectángulos con lados paralelos a los ejes. También vamos a imaginar que los rectángulos tienen borde.

Así que nuestros rectángulos pueden describirse como producto cartesiano de intervalos: [texx]R = [a, b]\times [c,d][/texx]

1er Paso: Medida de un rectángulo.

Sea [texx]R = [a, b]\times [c,d][/texx] un rectángulo en el plano.
Se define su medida como [texx]\mu(R) = (d-c)(b-a)[/texx].

Notemos una sutileza importante: no hemos calculado ni demostrado que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura, sino que lo hemos "definido" así.


¿Y si uno hubiese definido la medida mediante otro criterio? Pues obtendría... alguna otra cosa, originando quizá otra medida distinta.
¿Tiene sentido dar otro tipo de medidas?
¡Claro! Las probabilidades son medidas, pero "miden" otro tipo de cosas, no el área.

El primer paso fue muy fácil.
 :guiño:

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« Respuesta #2 : 20/05/2013, 04:56:36 pm »

Me has dejado con las ganas de seguir leyendo sobre el tema  :sonrisa:.  Espero lo continúes cuando tengas tiempo.

Si quieres borras este mensaje cuando continúes con el hilo.
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« Respuesta #3 : 20/05/2013, 07:32:45 pm »

Ok.

Tarea pendiente.
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