Trigonometría y probabilidad

[Marcos Castillo]

Hola. Hay un problema para el que encontré su resolución en internet, pero sigo sin entenderlo. Dice así:"En una circunferencia se señalan 16 puntos igualmente espaciados. Se eligen al azar 3 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo determinado por ellos sea rectángulo?". La respuesta es así:
"Llamamos A, B, C a los vértices. Para que el triángulo sea rectángulo, dos de sus vértices deben ser opuestos respecto al centro de la circunferencia. Luego la probabilidad pedida es:
P[B opuesto a A] + P[B no opuesto a A] x P[C opuesto a A o a B] = 1/15 + 14/15 x 2/14 = 0,2".
¿Dos vértices?. Sí sé que la hipotenusa tiene que coincidir con el diámetro de la circunferencia, ¿pero eso es suficiente para establecer las probabilidades?. Un saludo y gracias.

[aladan]

Hola

Creo que lo que procede es establecer la probabilidad como relación entre casos favorables y casos posibles.

Los favorables serán los triángulos formados con base en las 8  parejas distintas de puntos opuestos respecto del centro:

                      1-9, 2-10, 3-11, 4-12, 5-13, 6-14, 7-15, 8-16

Editado para sustituir  8 por 14 en la linea siguiente y donde dicho cambio afecta

Cada una de estas parejas de puntos forman 8 14 triángulos rectangulos distintos por lo que

                             

Los casos posibles serán

                     

Probabilidad de triángulo rectángulo:

                               

Saludos

[Marcos Castillo]

¡Hola, Aladan, gracias por responderme!
Te has equivocado al calcular los casos favorables: son 14 triángulos por 8 diámetros diferentes que se pueden generar con los 16 puntos de la circunferencia. Los casos posibles los has calculado bien. La cosa queda así:

Lo que sigo sin entender(aunque sé que está correcto) es el razonamiento que vi en internet.
¡Un saludo!.

[el_manco]

Hola
 
 El razonamiento que usan es el siguiente. En primer lugar y por simetría de la figura el primer vértice puede ir en cualquier sitio. Entonces fijamos nuestro vértice en un punto cualquiera.

 Ahora el suceso " es rectángulo" se descompone en dos sucesos disjuntos:

 ="" tiene el vérice a opuesto a (eso nos asegura que es rectángulo).

 ="" es rectángulo con no opuesto pero opuesto a  o (esto último también nos asegura que sea rectángulo).

 Entonces por ser sucesos disjuntos:



 Ahora:

  (hay un único vértice opuesto a entre los posibles que puede ocupar ).

 

(hay catorce vértices no opuestos a entre los posibles que puede ocupar ).

(hay dos vértices opuestos a o entres los posibles que puede ocupar ).

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, Aladan y Manco, es un lujo teneros en este foro!