Límite por definición

[elio249]

Hola, trato de resolver el siguiente límite por definición, pero estoy atascado:
si solo si, dado

Operando queda:

Y hasta ahí llego por que no veo como continuar despejando, ya que de continuar, , quedaria en función de ?

[mathtruco]

Hola elio249,

 Como bien dices, probar , significa por definición probar que



Es decir, si te das un positivo, puedes encontrar un (que puede depender de )), tal que si , entonces.


Eligiendo tienes que

Spoiler: Explicación: (click para mostrar u ocultar)

, ya que tiende a (es cercano a ). Obviamente, en vez de 10 puedes colocar cualquier número más grande que 3.

De este modo, se define .

Otra forma puede ser notar que

.

Así, dado , eligiendo  tienes el resultado.

[elio249]

Hola mathtruco. Realmente trato de entender el limite por definición, pero en casos como este se me complica, tal vez por que me falta mas practica, pero siento que no puedo seguir si no entiendo bien algunas cuestiones. Por eso te pido por favor me expliques como desarrollaste lo siguiente:

Otra forma puede ser notar que

Así, dado , eligiendo tienes el resultado.

Yo voy a tratar de explicar lo que entiendo: tomaste , y al factor, le sumas y le restas 3 para no alterarlo? Te agradecería me lo expliques. Gracias.

[mathtruco]

Esta última forma reconozco que es más rebuscada que la primera. Sólo la puse para que no te quedes con la idea de que existe sólo una forma de resolver estos problemas.



La desigualdad triangular se usa mucho. Establece que



Nota que a lo que uno quiere llegar es a una expresión que contenga a , para poder definir en función de .


Con esto no has probado nada. Pero ya has hecho todos los cálculos necesarios para afirmar que:

Para todo , existe

tal que,

[elio249]

Ahora si¡ Resulta que la profesora, nos hablo de aplicar la desigualdad triangular, y hasta que lo entendí. Pero ella uso otro procedimiento, que tampoco me quedo claro y por eso pregunte. Y tomo y dio por resultado , y en el libro la respuesta da: , intuía entonces que los resultados van a ser de acuerdo al valor de que escojamos. Y por ultimo cuando dices se suma un cero (0). Una raíz? No entiendo como lo haces. Disculpa mi ignorancia.

[mathtruco]

Al decir "se suma cero" me refiero a que



Claramente esas expresiones son iguales.

Y claro que puedes tener muchas respuestas distintas para el problema. No importa mucho el resultado, lo que importa es el procedimiento.

Te propongo que coloques todas las formas que se te ocurran para demostrar este límite. Y entre todos vemos si estás en lo correcto o no.

[elio249]

Ok. Continuo desde:
Sea:

Aplicando desigualdad triangular:


Entonces:

. Aclaro que no lo hice yo. Lo hizo la profesora.

[mathtruco]

Ok. Continuo desde:
Sea:

Aplicando desigualdad triangular:


Entonces:
(...)

hasta acá, todo ok, pero en la linea siguiente hay un error



lo que puse en rojo claramente no es cierto.

En este caso , es decir, es cercano a 3.   

[elio249]

Está bien. Puede ser que yo copie mal. Igual muchas gracias por todo.

[mathtruco]

Me parece que copiaste bien, porque lo que sigue del error está correcto y arrastra el error.

Pero cualquiera puede equivocarse. Incluso un profe.

Lo que es importante es que tú entiendas qué hay que demostrar. Haz el ejercicio a tu manera, entiéndelo, dale vueltas, hazte un dibujo, y anota como TU razonamiento. Entre todos acá te podemos analizar el desarrollo. Así se aprenden a hacer demostraciones, haciéndolas.