Organización del curso: Geometría Proyectiva

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Gerard_bdn:
Como muchos de los foreros estudio matemáticas en la universidad, en mi caso en la Universidad de Barcelona y si alguno de vosotros ha cursado alguna asignatura sobre Geometría Proyectiva sabrá que la bibliografía es bastante limitada, por no decir prácticamente nula. Realmente es una rama de la geometría a la que no se le suele dar mucha importancia, pero no deja de ser algo interesante, por ello os presento este curso.

Los requisitos básicos para poder seguir esta asignatura son los instrumentos básicos del Álgebra Lineal así como algunos pequeños condeptos de Geometría Afín para algunos apartados del final del curso.
En cuanto a conocimientos de ÁLGEBRA LINEAL será imprescindible conocer bien la teoria sobre espacios y subespacios vectoriales, los teoremas de Steinitz y Grassman (Uniones, intersecciones y dimensión  de subespacios).

¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA PROYECTIVA?

La geometría puede dividirse en diversas ramas según puntos de vista. Es decir:

Según sus fundamentos:En este caso podemos hablar de Geometría Euclídea y Geometría NO EuclídeaSegún el método que sigue: Aquí podemos distinguir entre la Geometría Analítica y la Geometría SintéticaSegún la materiaque trata: Es decir, cuáles son los objetos y los objetos que incluye. De aquí obtenemos: Geometría métrica: Estudia las nociones de objetos invariantes por desplazamientos.Geometría afín:Nociones invariantes por afinidades.Geometría proyectiva:Trata nociones invariantes por proyección y sección, que son las llamadas proyectividades.


Spoiler: TEMARIO DEL CURSO (click para mostrar u ocultar)
1- Espacio proyectivo1.1- Definición y primeros ejemplos1.2- Variedades lineales. Incidencia de variedades lineales1.3- Dependencia e independencia lineal de puntos. Variedades suplementarias2- Proyectividades2.1- Definición y ejemplos2.2- Matriz de una proyectividad3- Coordenadas en el espacio proyectivo 3.1- Ecuaciones de una variedad lineal3.2- Coordenada absoluta3.3- Razon doble3.4- La cuaterna armónica4- Espacio proyectivo dual. El espacio de los hiperplanos4.1- Variedades lineales en el dual4.2- Hiperplanos independientes4.3- Razón doble en el dual4.4- Coordenadas y referencias en el espacio dual4.5- Principio de dualidad5- Homografías 5.1- Puntos fijos5.2- Hiperplanos fijos6- Geomería afín y geometría proyectiva6.1- Clausura proyectiva del espacio afín6.2- Relación entre las coordenadas del espacio afín y en su clausura6.3- Variedades lineales del afín sumergidas en el proyectivo6.4- La razón simple6.5- Afinidades y proyectividades7- Hipersuperfícies cuádricas7.1- Primeras definiciones7.2- Expresión en coordenadas de una cuádrica7.3- Intersección de rectas y cuáricas7.4- Cambio de referencias7.5- Hiperplano polar7.6- Secciones y conjugación7.7- Cuádricas degeneradas7.8- Clasificación de cuádricas7.8.1- Reducción de la ecuación de una cuádrica7.8.2- Teorema completo de clasificación sobre los complejos7.9- Teorema de clasificación de cuádricas reales7.10- Estudio afín de cuádricas7.11- Clasificación afín de cuádricas7.11.1- Invariantes afines de las cuádricas7.11.2- Ecuaciones reducidas para cuádricas afines7.12- Elementos afines de las cuádricas7.13- El teorema de Steiner



Como veis el temario es algo extenso pero que no os engañe, muchos de estos apartados son muy breves, aunque no por ello menos importantes. El tema 4 se centra en el espacio proyectivo dual, personalmente cuando me explicaron el Espacio Dual  en Álgebra Lineal fue algo que me costó muchísimo, pero vereis que aquí es bastante diferente al utilizado entonces.

Consultas, comentarios y ejercicios del curso: Geometría Proyectiva

Dictado del curso: Geometría Proyectiva

Espero que os animeis a participar, pues nos esperan cosas muy interesantes!

Spoiler: Participantes del curso (click para mostrar u ocultar)
argentinator*Rafa*

argentinator:
Me inscribo!

*Rafa*:
Oh,pero qué ven mis ojos. Yo también me apunto como alumno, curiosamente este año me he sobrecargado un pelín con demasiadas asignaturas en mi curso, y la asignatura de geometría proyectiva la he tenido que dejar para Septiembre. De modo que desde el mismísimo día 27 de este mes estaré a pie del cañon.

Así que apoyo totalmente la idea, además el foro dispone de la herramienta Geogebra, que creo nos puede venir muy bien.

Saludos.

Gerard_bdn:
Bienvenidos a ambos.

Rafa, yo también la tengo para septiembre, por eso decidí montar este curso, así que nos irá muy bien tu ayuda.
Espero que el temario se ajuste al de tu asignatura y en caso que faltaran cosas siempre pueden añadirse.

Un saludo y bienvenidos.

*Rafa*:
Hola Gerard,

Pues te cuento: yo estoy dispuesto a ayudar en lo que haga falta; tengo apuntes y enunciados de ejercicios (no resueltos). El temario que nosotros damos es el siguiente:

BLOQUE TEMATICO: Espacios  proyectivos y proyectividades
 Tema 1 Elementos de geometría  afín y proyectiva. Espacios afines y proyectivos. Coordenadas homogéneas. Determinación de subespacios por sus ecuaciones. El espacio afín dentro del proyectivo. Principio de dualidad 
 Tema 2 Proyectividades, involuciones y afinidades. Proyectividades entre espacios proyectivos. El teorema fundamental de la geometría proyectiva. Proyectividades entre rectas de un plano. Involuciones. El teorema de Fano. Cuaterna armónica.
Transformaciones entre haces de rectas 
 Tema 3 Teoremas de configuración. Homologías, homotecias y traslaciones. El teorema de Pappus. El teorema de Desargues 

BLOQUE TEMATICO: Cuádricas
 Tema 4 Cuádricas en el proyectivo. Generalidades. Polaridad inducida por una cuádrica. Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica. Teoremas de Steiner, Pascal y Brianchon. Clasificación proyectiva de las cuádricas 
 Tema 5 Cuádricas en el afín. Posición relativa de una cuádrica y un hiperplano. Extensión proyectiva de una cuádrica afín.
Clasificación afín de las cuádricas 
 Tema 6 Proyectividades entre cónicas. Haces. El teorema de Desargues- Sturm. Haces de cuádricas 

He mirado el tuyo por encima y veo que se asemeja bastante.

Pues lo dicho, dame hasta este Viernes que termine los dos exámenes que me quedan y a partir de ahí ayudo en lo que haga falta.

Saludos.

PD: ando algo despistado, pero creo que este mensaje está bien puesto aqui, ¿no?

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