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Autor Tema: Dinámica unidimensional  (Leído 3995 veces)
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lonubela
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« : 14/06/2010, 05:59:17 pm »

Hola quisiera por favor que me aclaren una interrogante y un problema a serca de el difeomorfismo del circulo:
1) Que resultado espero hallar (sentido geométrico) con el numero rotacional.
 2)Si F y G son levantamientos de f, entonces F(t) y G(t) difieren en una constante entera.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 15/06/2010, 05:44:15 am »

Hola

 No estoy seguro al cien por cien del contexto teórico en el que te estás moviendo. Pero digamos que contestando "de oidas":

 1) El número rotacional de un levantamiento de la circunferencia, nos indica el número de vueltas que damos a la circunferencia; es decir cuántas veces la enrrollamos sobre ella misma.

 Para contestar a lo segundo espeficia un poco más el marco teórico en el que te mueves.

Saludos.
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lonubela
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« Respuesta #2 : 16/06/2010, 01:28:00 pm »

HOLA:
me parece que el numero rotacional indica que tanto se ha movido un punto en la circunferencia porque pueda que no dee toda una vuelta o vueltas.
En la segunda pregunta estoy tratando con homeomorfiamos de la circunferencia en la circunferencia, y claro esta los levantamientos que no son unicos de R en R y quisiera demostran porque es que difieren en un entero aunque me parece parece que sale de la proyeccion y de la continuidad de los levantamientos.
gracias
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 17/06/2010, 03:18:10 am »

Hola

 Veamos si el (b) es así. Supongamos que tienes un homeomorfismo:

[texx] f:S^1\times S^1[/texx]

 y consideramos la cubierta universal de [texx]S^1[/texx], [texx]c:R\longrightarrow{}S^1,\quad c(t)=(cos(t),sin(t))[/texx]. Supongamos que tenemos dos levantamientos [texx]F,G:R\longrightarrow{}R[/texx] de [texx]f[/texx], es decir, tenemos diagramas conmutativos:

 [texx]\begin{array}{ccc}
{\xymatrix{
    R \ar[r]^F \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
    S^1 \ar[r]^f & S^1
  }}&{\qquad\qquad\qquad}&
{\xymatrix{
    R \ar[r]^G \ar[d]^c \ar[rd] & R \ar[d]^c \\
    S^1 \ar[r]^f & S^1
  }}\\
\end{array}
[/texx]

 Se cumple entonces que: [texx]c\circ F=f\circ c=c\circ G[/texx], de donde:

[texx] (Cos(F(t)),Sin(F(t))=(Cos(G(t)),Sin(G(t))[/texx] para todo [texx]t\in R[/texx]

 Por tanto:

[texx] F(t)-G(t)=2k(t)\pi[/texx]

 donde [texx]k:R\longrightarrow{}Z[/texx] es una fución que toma valores sobre los enteros. Como:

[texx] k(t)=\dfrac{F(t)-G(t)}{2\pi}[/texx]

 Es continua por ser diferencia de funciones continuas; pero la únicas funciones continuas de un espacio conexo ([texx]R[/texx] en nuestro caso) sobre un espacio discreto ([texx]Z[/texx] en nuestro caso) son las constantes.

Saludos.
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