Ecuación de un cono en forma paramétrica

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evoj2:
Hola.

He intentado obtener las ecuaciones paramétricas de un cono. Para ello, he partido de un recurso similar al que utilizamos cuando pasamos a coordenadas esféricas.

De esta forma, las ecuaciones resultantes han sido:
[texx]\begin{Bmatrix}{ x = v\sen\alpha\cos u\\ y = v\sen\alpha\sen u \\z = v\cos\alpha\end{matrix}[/texx]

Y digo yo, ¿no son éstas iguales a las coordenadas de una esfera?

Gracias.

Un saludo.

Jabato:
Cita de: evoj2 en 13/06/2010, 02:52:59 pm

Hola.

He intentado obtener las ecuaciones paramétricas de un cono. Para ello, he partido de un recurso similar al que utilizamos cuando pasamos a coordenadas esféricas.

De esta forma, las ecuaciones resultantes han sido:

[texx]\begin{Bmatrix}{ x = v\sen\alpha\cos u\\ y = v\sen\alpha\sen u \\z = v\cos\alpha\end{matrix}[/texx]

Y digo yo, ¿no son éstas iguales a las coordenadas de una esfera?

Gracias.

Un saludo.


Pues sí, algo has debido hacer mal porque esas son las ecuaciones de una esfera, efectivamente. Fíjate que satisfacen la ecuación:

[texx]x^2+y^2+z^2=v^2[/texx]

en la que [texx]v[/texx] representa el radio de la esfera.

Aunque si debemos considerar que los parámetros son [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] y que [texx]\alpha[/texx] es constante entonces la cosa cambia ya que la superficie representada es entonces:

[texx]x^2+y^2=z^2Tan^2(\alpha)[/texx]

que es efectivamente la ecuación de un cono.



evoj2:
Si elevamos al cuadrado y sumamos las dos primeras ecuaciones tenemos: [texx]x^2+y^2 = v^2\sen^2\alpha[/texx].

Si ahora despejamos [texx]v[/texx] de la tercera ecuación y sustituimos en la anterior tenemos:
[texx]x^2+y^2 = \displaystyle\frac{z^2}{\cos^2\alpha}\sen^2\alpha \Longrightarrow{} x^2+y^2 = z^2\tan^2\alpha[/texx], que, de hecho, es la ecuación de un cono.

¿Qué ocurre?

Un saludo.

Jabato:
Todo depende de cuales consideres que son los parámetros. Si consideras que los parámetros son [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] entonces tienes la ecuación de un cono, y si consideras que los parámetros son [texx]u[/texx] y [texx]\alpha[/texx]entonces obtienes la ecuación de una esfera.

Saludos, Jabato. ;D

evoj2:
Mmm.. no entiendo.

¿Qué quieres decir con eso?

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