Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad

[argentinator]

si entonces

Esa propiedad andaba buscando en mi cabecita, y no me acordaba cuál era.
Gracias.

La agregaré.

[pepito]

Exacto (a ambos mensajes). Y otra de divisibilidad: . Estas salen todas de la factorización en primos... pero buen, no me parece que esté de más listar las más importantes.

[argentinator]

No, no está de más.
Pero en todo caso estaría bueno respetar el orden en que se suelen demostrar estas propiedades.

Yo me puse a escribir como loco, poniendo cosas "ciertas", pero el orden de los resultados... mmm

Por ejemplo, el teorema que dice que hay infinitos primos. ¿Necesita que esté demostrado previamente que un número compuesto, es divisible por algún primo?

[pepito]

Una más mientras que pienso lo que dijiste:

es primo o 1 o -1 si y sólo si vale la implicación

(y hay quien define así los números primos, y da el nombre de "irreducibles" a los que cumplen la definición más convencional (para mantener la nomenclatura de los anillos)).

[argentinator]

En Z, primos e irreducibles es lo mismo.
No sé si complicar en este hilo las cosas por ese lado.

Pero el resultado ese se puede agregar, sin hablar demasiado de "irreducibilidad".
Aunque la sutileza apareció cuando puse el Lema que dice que todo número tiene un divisor primo.

 

Lo que sí tengo claro es que este hilo tiene que quedar como un "recetario" completo de teoría de números en Z.

Pero no quiero ir demasiado más allá en la terminología o las ideas, para no confundir innecesariamente a quien no le interese más que la cuestión de "dividir en Z".

[pepito]

En cuanto a lo anterior, si vos querés usar esa demostración me parece que necesitás el lema que vos pusiste justo antes de ese teorema. No que todo número compuesto es divisible por un primo, sino que todo entero distinto de 1, 0 y -1 es divisible por algún primo. Probás que no es 0, 1 ni -1, y que entonces es para algún k, . Como también es , entonces *, entonces es una unidad, lo que no puede ser porque es primo.

Pero, podría haber otra demostración que no use este hecho, no sé.

*Es otra propiedad que se podría agregar,

[pepito]

En Z, primos e irreducibles es lo mismo.
No sé si complicar en este hilo las cosas por ese lado.

Nah, definirlo así es innecesario, seguro. Digo, para agregarlo como propiedad.

[argentinator]

Bien.
Iré haciendo los nuevos cambios cuando tenga los párpados más arriba, jeje.

Después habrá que agregar propiedades de prrmos, teoremas de Wilson, Fermat, las funciones que cuentan coprimos, y un largo etc... jeje

Hay mucho que decir, aún en las cuestiones básicos de teoría de números.
Pero va a quedar bueno, mejor que la Wikipedia espero.

Y si podemos de a poco ir agregando algunas demostraciones y ejercicios...

Buenas noches

[cuberomeli23]

Sería interesante un espacio para raices primitivas o logartimos discretos

[Virgi7]

Más que interesante el thread.

Me surgió una duda con respecto al criterio de divisibilidad por 7. Encontré que un número es divisible por 7 si al multiplicar por 2 la cifra de las unidades y al resultado se lo restamos al número que forman las restantes cifras, se obtiene 0 o múltiplo de 7.

Sea el número   (*)

De acuerdo a las congruencias módulo 7 de las potencias de 10, resulta que



De esto m es divisible por 7 si también lo es.

Ahora bien, quisiera transformar esta expresión en otra equivalente de modo que se cumpla el criterio de divisibilidad expresado más arriba.

Para ello, multiplico por 3 esta expresión. Queda:



Y la resto de la expresión decimal de partida de m (*):



que es a lo que quería llegar.

Entonces puedo decir que




Mi pregunta: ¿es correcto lo que hice? Si no lo fuera, ¿cuál es el error? Ojalá puedan ayudarme a despejar la duda. Gracias.

[argentinator]

No entiendo lo que has intentado hacer.

Estás partiendo de suponer que es múltiplo de 7,
y de ahí querrías probar que m es múltiplo de 7.

¿Y entonces?