Vector tangente a una curva.

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Leusss:
Hola.

 La verdad que tengo un problema entendiendo la noción de vector tangente a una curva. Me refiero a la noción geométrica.

 Supongamos que estamos en el espacio. Yo sé que si por ejemplo tengo un cono, digamos, y lo intersecto con un plano, la intersección es una curva. No tengo problemas en entender la idea de recta tangente, ¿pero qué sería un vector tangente?

 Pongo un ejercicio y algo de lo que entiendo al respecto:

 La intersección de las superficies y define una curva que pasa por el punto . Estas ecuaciones pueden resolverse respecto de e para obtener una representación paramétrica de la curva, tomando como parámetro a .

 a) Hallar un vector unitario tangente a en el punto sin utilizar el conocimiento explícito de la representación paramétrica.

 b) Confrontar el resultado de a) mediante la representación paramétrica de con como parámetro.

 Acá algo de lo que sé:
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 Por lo que tengo entendido, si yo tengo un campo vectorial:
 
 
 
 Y además, tal que , y son derivables en entonces

 

 Suponiendo que defino a una curva como entonces es el vector tangente a la curva en .

 ¿Cómo tendría que aplicarlo a dicho ejercicio (creo que correspondería al punto b).


Saludos.

Click:
A ver, yo tengo que resolver el mismo ejercicio, hagamos un dos por uno :P
Por lo que hemos dado y como el ejercicio está en la parte de funciones implícitas, plantiemos esto

Tomamos la curva que determina el sistema:


Y tenemos que el punto está en la curva

Veamos las derivadas parciales de las funciones en




Entonces el sistema define implícitamente a y a como funciones de en el punto

Además




Creo que estas serían las 2º y 3º componente del vector tangente, no se cómo saldría la 1º? si es que hay que hallarla, porque creo que ya tengo una curva con esto
Luego sólo habría que divirir por el módulo para hacerlo unitario
Sobre el b), no tengo ideas aún
Alguna sugerencia?

alucard:
Hola, yo lo pence de esta manera
a) tomemos

 



como interseccion de dos superficies, entonces vector tangente a



donde el producto vectorial de ambos me genera como me dicen que

entonces
 
b) como me dicen que tome como parámetro a z entonces de las ecuaciones una vez despejando y haciendo las sustituciones necesarias llego a

para obtener el vector tangente entonces



luego



A mi criterio ambos resultados son iguales, no se que opinan por ahí ;),  para obtener el vector unitario habra que dividir por su módulo

saludos

Leusss:
No tenia idea eso de los gradientes.¿Me explicás un poco de dónde sale? Parece muy útil :P

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Cita de: wolfking2 en 06/06/2010, 01:40:13 pm

No tenia idea eso de los gradientes.¿Me explicás un poco de dónde sale? Parece muy útil :P


Creo que sería por esto, sabés que el gradiente de una función es perpendicular a la superficie de nivel.
El grandiente de f y el de g son perpendiculares a la curva en en el punto que nos dan.
Luego con el producto vectorial hallás un vector perpendicular a ambos gradientes, y por ende tangente a la curva
El problema es que es un ejercicio de aplicación del teorema de la función implícita, y no se si debamos usar un método como este.
Por el resultado que te dio, me parece que habría que aplicar el razonamiento que usé, pero despejando a x e y en función de z. Aunque me llama la atención de que no diera lo mismo con cualquier despeje  :-\

Saludos

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