Problemas de oposición VII

[Nineliv]

El más raro de todos. No he encontrado a nadie que lo haya hecho bien, ni tan siquiera que se haya acercado. Eso sí, yo no tengo la certeza de haberlo resuelto bien ni mucho menos.

3. Consideramos un tetraedro de vértices A, B, C y D. Si el punto E recorre la arista AB, ¿Cuándo el ángulo es máximo?

[teeteto]

Si el tetraedro es regular la cosa es fácil...¿podrá reducirse a ese caso?

[incógnita_j]

Será muy complicado, pero así de primeras a mí no me lo parece tanto. Cosas de los enunciados,pensaré en él.

[el_manco]

Hola

 Un método para quasiresolverlo:

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 - Eliminar ruido. El problema es: dados dos puntos fijos C y D y una recta r calcular el punto E de r, para que el ángulo CED sea máximo.

 - Elección de sistemas de coordenadas: girando y escalando podemos suponer C=(0,0,1), D=(a,b,0) y r la recta y=z=0.

 - Hay que maximizar:



 donde X=(x,0,0).

 - Pues "ná": derivar e igualar a 0

 - Puede ser útil no lanzarse con las cuentas, sino trabajar primero con los vectores X,C,D y aplicar la regla de derivación de producto escalar y norma. Jugando un poco con las expresiones vectoriales se facilitan las cuentas.

 - Al final me sale la ecuación:



 que no se resolver en general en función de a y b.

 - Esencial: interpretación geométrica de la solución que permita calcularla de otro modo.

Saludos.

P.D. si la recta r es perpendicular a CD es muy fácil, pero es sólo un caso particular

[Nineliv]

Mi primer acercamiento fue tirar las alturas desde D y C hasta AB. El punto E óptimo debe estar entre los pies de esas alturas.

Luego, heurísticamente me pareció que dicho punto se encontraba en la intersección de la perpendicular común de CD y AB con AB.

[el_manco]

Hola

Luego, heurísticamente me pareció que dicho punto se encontraba en la intersección de la perpendicular común de CD y AB con AB.

A mi también me pareció eso... pero por desgracia comprobé (casi con toda seguridad) que no es cierto. Si fuese así la solución no dependería de los puntos C y D (sólo de la recta que definen). Esto si se cumple cuando CD es perpendicular a AB, pero no en general.

Saludos.

[teeteto]

Sólo suelto ideas (inútiles seguramente) ¿valdrá para algo pensar el tetraedro inscrito en una esfera?

[el_manco]

Hola

 No se. Fíjate que el punto concreto donde estén los vértices sobre la recta AB es (esencialmente) irrelevante para resolver el problema, entonces la esfera no es única. Es decir cualquier esfera que pase por C y D nos da un tetraedro con la misma solución. Eso hace que no sea muy optimista... pero quien sabe.

Saludos.

[teeteto]

Hola

 No se. Fíjate que el punto concreto donde estén los vértices sobre la recta AB es (esencialmente) irrelevante para resolver el problema, entonces la esfera no es única. Es decir cualquier esfera que pase por C y D nos da un tetraedro con la misma solución. Eso hace que no sea muy optimista... pero quien sabe.

Saludos.

¿Y alguna de esas esferas por C y D da un tetraedro regular? Porque si tiene la misma solución entonces ya estaría porque (creo) que en el caso regular el punto es justo el punto medio de AB
Pero bueno...no lo he pensado ni tengo tiempo ahora, me temo

saludo

[el_manco]

Hola

 No. Sólo obtenemos un tetraedro regular , si AB es perpendicular a CD. En ese caso la solución es el punto de AB que minimiza la distancia a la recta CD (efectivamente punto medio si es regular).

Saludos.

[Nineliv]

Estuve pensando también en una especie de arco capaz pero tridimensional (que en el fondo sería rotar el arco capaz del segmento CD alrededor de su mediatriz).

Me intento explicar un poco mejor: la idea sería la siguiente:

Trazar la mediatriz del segmento CD y elegir un punto V de dicha mediatriz, concretamente fuera del tetraedro. En el plano VCD trazar el arco centrado en V que pasa por C y D. Luego rotamos alrededor de la mediatriz. Dentro del tetraedro aparece una esfera (o parte de ella). Habría que desplazar V hasta poder tomar la esfera tangente a la recta AB. El punto de tangencia es el buscado.

La justificación es que cuanto menor es el radio de la esfera mayor es el ángulo de un punto de la misma a los puntos C y D.

¿valdría esto? pero ni idea de cómo caracterizar al punto de tangencia.

[el_manco]

Hola

 Pero, ¿En que plano hay que trazar la mediatriz de CD.?

Saludos.

[Nineliv]

Ese es el problema, que habría que trazarla "en la dirección de AB" pero claro, ¿esto qué significa?

.... no lo sé.

[teeteto]

Otra idea:
Para cada E consideramos la circunferencia que pasa por E,C y D y de ella consideramos su radio rE y su centro OE. Como CD está fijado resulta que el ángulo central COED será menor cuanto mayor sea el radio. Pero el ángulo CED es la mitad de ese ángulo central.
Así pues basta maximizar el ángulo central, es decir, minimizar el radio de la circunferencia que pasa por E,C y D en función de E
¿Cómo?
No lo se.

[Nineliv]

Hola.

Me encontré con uno de los profesores de uno de los tribunales. Le pregunté acerca del problema del tetraedro. Por lo visto tetraedro es por definición regular. Así, el punto E depende de una sola variable. Yo discrepo y además : veo en la wikipedia esto.

Saludos.

[incógnita_j]

A mi también me extraña que se considere al tetraedro siempre regular pero bueno. Siempre he oído hablar de "tetraedros regulares", o la gente es redundante, o no se que pasa...