Resumen del trabajo: "Procesos dinámicos asociados a los números naturales"

[Fernando Revilla]

¿Es falso la afirmación de que la función reparte, recoloca, los naturales sobre la recta ?. No entiendo porqué. Es más afirmo que es cierto. De manera precisa, cada natural le corresponde un en general (para ) cumpiendo . Otra cosa es que no te guste esa interpretación o prefieras otra. Pero si realmente dices que esto es falso dime porqué.

¡Uff!, me exprese mál, por supuesto que reparte los naturales en la recta. Quise decir que uso la interpretación de repartirlos en el tiempo, no en la recta.

No me parece inocente que de repente no quieras llamarle al cuatro y le llames . El el fondo yo no le doy importancia: al fin al cabo es el cuatro. Pero si tu le llamas así es por algo. Sería mucho más como decir "4" que "la entidad SSSS0". Entonces es claro que hay algo que se me escapa aquí.

Amigo, la pregunta del millón. Ya comentamos algo de esto. Te pregunto yo a ti: ¿por qué no quieres que a la entidad que todos entendemos por cuatro no la designe yo por ?. ¿Acaso ese no es un número natural en relación con la entidad tres a la que yo puedo llamarla por ejemplo ?. ¿Acaso hemos perdido la estructura algebraica de ?.

Estamos en uno de los "meollos" de la cuestión.

Saludos.

P.D. Tendré que cerrar ahora. Estaré atento y por supuesto "enganchado".

[el_manco]

Hola

¡Uff!, me exprese mál, por supuesto que reparte los naturales en la recta. Quise decir que uso la interpretación de repartirlos en el tiempo, no en la recta.

¿Matemáticamente el tiempo no es una recta?¿Qué es entonces?¿Dónde varían y tus candidatos a tiempo?.

De todas formas si simplemente querías distinguir recta temporal de recta espacial: entendido.

Amigo, la pregunta del millón. Ya comentamos algo de esto. Te pregunto yo a ti: ¿por qué no quieres que a la entidad que todos entendemos por cuatro no la designe yo por ?. ¿Acaso ese no es un número natural en relación con la entidad tres a la que yo puedo llamarla por ejemplo ?. ¿Acaso hemos perdido la estructura algebraica de ?.

Estamos en uno de los "meollos" de la cuestión.

No te confundas. Yo no tengo ningún inconveniente en que llames al cuatro . Eso lo veo coherente con todo lo que has hecho. Pero no es porque "te da la gana". Es porque lo has determinado así con la función ; y ojo esta función no sólo nos reetiqueta los naturales si no que nos reetiqueta toda la recta real. Entonces el como nuevo nombre del cuatro no solo hereda su relación de sucesor del como nuevo nombre del tres, sino también hereda su relación algebraica, topológica con todos los números reales.

Además insisto: hablar del y del como nuevos nombres del cuatro y tres, viene a cuento; lo veo relacionado con lo que has hecho. Hablar de me sigue pareciendo que no viene a cuento (no digo que esté mal, pero si algo no da alguna información adicional, mejor quitarlo; si la da ¿cuál es?).

Saludos.

[Fernando Revilla]

De todas formas si simplemente querías distinguir recta temporal de recta espacial: entendido.

Bien, en tal caso sigamos.

No te confundas. Yo no tengo ningún inconveniente en que llames al cuatro . Eso lo veo coherente con todo lo que has hecho.

Bien.

Pero no es porque "te da la gana". Es porque lo has determinado así con la función ;

La frase porque "me da la gana" es una forma de acortar el que la función la elegimos libremente (con las condiciones etc). Así que sin problema.

y ojo esta función no sólo nos reetiqueta los naturales si no que nos reetiqueta toda la recta real.

Totalmente de acuerdo.

Entonces el como nuevo nombre del cuatro no solo hereda su relación de sucesor del como nuevo nombre del tres, sino también hereda su relación algebraica, topológica con todos los números reales.

Totalmente de acuerdo. Lo que no hereda es la "estructura diferencial".

Además insisto: hablar del y del como nuevos nombres del cuatro y tres, viene a cuento; lo veo relacionado con lo que has hecho.

Bien.

Hablar de me sigue pareciendo que no viene a cuento (no digo que esté mal, pero si algo no da alguna información adicional, mejor quitarlo; si la da ¿cuál es?).

La clase de equivalencia de los conjuntos "biyectables" con tiene un representante distinguido, por ejemplo distingue cualitativamente a tal clase de equivalencia porque es el cuarto punto (de izquierda a derecha) del eje en el que la función no es diferenciable.

Estamos en tu pregunta 5. ¿Pasamos a la 6?. ¿Seguimos con la 5?.

Saludos.

[el_manco]

Hola

 Antes de pasar a la seis, cuya respuesta bien pudiera estar relacionada con esto. Un matiz:

La clase de equivalencia de los conjuntos "biyectables" con tiene un representante distinguido, por ejemplo distingue cualitativamente a tal clase de equivalencia porque es el cuarto punto (de izquierda a derecha) del eje en el que la función no es diferenciable.

Esto es cierto salvo para , en cuyo caso la función es diferenciable todo punto y esa caracterización de los naturales no existe.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Esto es cierto salvo para , en cuyo caso la función es diferenciable todo punto y esa caracterización de los naturales no existe.

Rigurosamente cierto.

[el_manco]

Hola

 Podemos pasar entonces a la cuestión siguiente. La 6. De todas formas conviene dejar anotado que hemos tenido alguna discrepancia en la 5; aunque hemos llegado a acuerdos, los puntos de partida tuyo y mío, los enfoque, eran diferentes. Es probable que discrepancias relacionadas renazcan en al encarar nuevos puntos, y todo ello pudiera ser el eco de la discrepancia de fondo.

 Veremos. Pero paso a paso...

Saludos.

[Fernando Revilla]

6. ¿Cómo sabe el conductor dónde o cuándo están los números naturales?.

El conductor cuenta el número natural en el instante de tiempo .

Saludos.

[el_manco]

Hola

 No me convence del todo la respuesta. Entonces el conductor tiene un reloj que no es otra cosa que exactamente la función . El sabe cuando contar el natural, porque se fija en el instante en que su reloj marca la imagen de un natural por ; la imagen de un natural equidistribuido de la forma normal en la recta real usual.

 Lo que quiero decir también es porqué el conducto sabe cuando contar un natural y por ejemplo no cuando contar un primo.

Saludos.

[feriva]

6. ¿Cómo sabe el conductor dónde o cuándo están los números naturales?.

El conductor cuenta el número natural en el instante de tiempo .

Saludos.

Hola, Phidias. Estoy intentando subir un archivo de un trabajo sobre la conjetura, pero no sé dónde se sube. Una proposición de demostración por medio de una serie de matrices espectrales; seguro que te interesará. No obstante, lo tengo subido a una de mis páginas:

http://sitioespacio.a60.us/goldbach_demostracion_matricial.pdf

Un saludo.

[Fernando Revilla]

Entonces el conductor tiene un reloj que no es otra cosa que exactamente la función . El sabe cuando contar el natural, porque se fija en el instante en que su reloj marca la imagen de un natural por la imagen de un natural equidistribuido de la forma normal en la recta real usual.

No es necesario que tenga el reloj. La familia ya está construida. Basta que cuente el natural en el correspondiente instante . Lo cuenta justamente por que el lo decide y suponemos que coincide con el ya determinado.

Lo que quiero decir también es porqué el conducto sabe cuando contar un natural y por ejemplo no cuando contar un primo.

Decide contar los naturales según lo expresado anteriormente. No entiendo qué quieres decir con lo del primo. Él sólo cuenta. La información de ser o no primo se la dá la aceleración del autobús así como el hecho de ser y ambos primos, salvo a cuya aceleración no le proporciona tal información (se perdió la campana).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Hola, Phidias. Estoy intentando subir un archivo de un trabajo sobre la conjetura, pero no sé dónde se sube. Una proposición de demostración por medio de una serie de matrices espectrales; seguro que te interesará.

Gracias. No obstante, te recomiendo que abrás un nuevo hilo. No es aconsejable mezclar en el mismo temas diferentes. Aún tocando la misma conjetura, no sería razonable mezclarlos.

Saludos.

[feriva]

Hola, Phidias. Estoy intentando subir un archivo de un trabajo sobre la conjetura, pero no sé dónde se sube. Una proposición de demostración por medio de una serie de matrices espectrales; seguro que te interesará.

Gracias. No obstante, te recomiendo que abrás un nuevo hilo. No es aconsejable mezclar en el mismo temas diferentes. Aún tocando la misma conjetura, no sería razonable mezclarlos.

Saludos.

De acuerdo, muchas gracias a ti. Te paso el enlace del hilo por si quisieras hacerme algún comentario en alguna ocasión:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,34747.msg137716.html#msg137716

 Saludos.

[el_manco]

Hola

Entonces el conductor tiene un reloj que no es otra cosa que exactamente la función . El sabe cuando contar el natural, porque se fija en el instante en que su reloj marca la imagen de un natural por la imagen de un natural equidistribuido de la forma normal en la recta real usual.

No es necesario que tenga el reloj. La familia ya está construida. Basta que cuente el natural en el correspondiente instante . Lo cuenta justamente por que el lo decide y suponemos que coincide con el ya determinado.

Lo que quiero decir también es porqué el conducto sabe cuando contar un natural y por ejemplo no cuando contar un primo.

Decide contar los naturales según lo expresado anteriormente. No entiendo qué quieres decir con lo del primo. Él sólo cuenta. La información de ser o no primo se la dá la aceleración del autobús así como el hecho de ser y ambos primos, salvo a cuya aceleración no le proporciona tal información (se perdió la campana).

Saludos.

Bufff. En realidad no sé que trascendencia pueden tener pequeños matices en este punto; quizá lo que estoy preguntando es intrasdencedente para la compresión de tu ejemplo y lo que se deriva de él.

Lo que quiero decir es lo siguiente: entiendo que digas que el cuenta los naturales porque es lo adecuado para que tu ejemplo ejemplifique lo que quieres expresar; lo que quiero decir si con los puntos de partida que manejamos/manejas sería igualmente aceptable (aunque admito que probablemen no útil o  relevante para la situación que quieres describir) decir que el conductor cuenta números racionales con un decimal, cuadrados pefectos, potencias del número , el número de cifras de las potencias de , primos, ... o bien si los números naturales tienen algo de especial que permite que la suposición de que el conductor los cuenta sea admisible.

Por otra parte aprovecho para intercalar otra pregunta relacionada. Esta es un poco más elaborada.

- Supongamos que llamos función de Mancobach a la inversa de las funciones .
- Son continuas, por tanto pueden interpretarse como una aceleración.
- Además excepto dejan de ser derivables precisamente sobre los puntos , con natural.
- Entonces afirmo: "existe una caracteriación de los números naturales que depende del tiempo".
- Como ejemplo digo:

En cada instante de tiempo en el intervalo , parte un autobús, cada uno de los cuales tienen distintas leyes de movimiento. Cada conductor  de cada autobús va contando números racionales con un decimal  al paso del tiempo (cada uno los cuenta en distintos tiempos). Cada vez que cuenta un número natural, suena una flauta travesera. Ocurre que el conductor  pierde la flauta travesera.

(incluso si "molesta" trabajar con números racionales con un decimal, creo que es bastante inmediato imaginar un modelo casi igual susitiuyendo la caracterización de los naturales por caracterización de los múltiplos de 10).

Bien. Pregunta 6.1. ¿Cuál es la diferencia esencial entre este planteamiento y el tuyo?.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Mini relajante mensaje:

(a) Gracias especialmente a la tenacidad y profesionalidad (que admiro) de el_manco, este debate lo considero intelectualmente excitante.

(b) Un humorista español decía que aquel que no sabe decir las cosas en broma es incapaz de decirlas en serio. Esto viene a cuento de que por tanto mi parte (así como por parte de el_manco) se están incluyendo refrescantes matices de sentido del humor. Para observadores inteligentes, se da por supuesto que de aquí en adelante que no será necesario añadir en cada caso el correspondiente emoticón.

Fin de la tregua. Volvemos a la incruenta guerra intelectual.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Corrección: Cito el mesaje #24

Esto es cierto salvo para , en cuyo caso la función es diferenciable todo punto y esa caracterización de los naturales no existe.

Rigurosamente cierto.

La frase de el_manco : "esa caracterización de los naturales no existe.", yo la leí rápida y equivocadamente como "esa caracterización de los primos no existe." Entonces, mi respuesta a la exacta frase de el_manco es:

Rigurosamente falso.

La explicación se incluye en mi siguiente mensaje.

Saludos. 

[Fernando Revilla]

Bufff. En realidad no sé que trascendencia pueden tener pequeños matices en este punto; quizá lo que estoy preguntando es intrasdencedente para la compresión de tu ejemplo y lo que se deriva de él.

"No problem".

Lo que quiero decir es lo siguiente: entiendo que digas que el cuenta los naturales porque es lo adecuado para que tu ejemplo ejemplifique lo que quieres expresar;

Fíjate que a tu pregunta dije: no es necesario, porque:

(a) Si elige contarlos, entonces entre la no numerable cantidad de posibles movimientos de la no numerable cantidad de conductores, están los que hemos creado. Aquí no es relevante a efectos de la posible trascendencia de singularidad temporal la cuestión de la nula probabilidad de que ello ocurra sino que no es suceso imposible.

o mejor:

(b) Cada conductor (incluido ) tiene instalado un reloj dentro del autobús en el que cada instante suena un clic (para distinguirlo de campanas y/o flautas traveseras). Cada vez que suena el clic indica que estamos pasando (o contando) por un número natural. Reconozco la pérdida de libertad de los  , pero supongamos que es por mandato empresarial.

lo que quiero decir si con los puntos de partida que manejamos/manejas sería igualmente aceptable (aunque admito que probablemen no útil o  relevante para la situación que quieres describir) decir que el conductor cuenta números racionales con un decimal, cuadrados pefectos, potencias del número , el número de cifras de las potencias de , primos, ... o bien si los números naturales tienen algo de especial que permite que la suposición de que el conductor los cuenta sea admisible.

Creo que ya está contestado.

- Supongamos que llamos función de Mancobach a la inversa de las funciones .

Lo admito (si bien pudiera ser un nombre ya registrado).

- Son continuas, por tanto pueden interpretarse como una aceleración.

Cierto.

- Además excepto dejan de ser derivables precisamente sobre los puntos , con natural.

Cierto.

- Entonces afirmo: "existe una caracteriación de los números naturales que depende del tiempo".

No es cierto, como veremos a continuación:

- Como ejemplo digo:

En cada instante de tiempo en el intervalo , parte un autobús, cada uno de los cuales tienen distintas leyes de movimiento. Cada conductor  de cada autobús va contando números racionales con un decimal  al paso del tiempo (cada uno los cuenta en distintos tiempos). Cada vez que cuenta un número natural, suena una flauta travesera. Ocurre que el conductor  pierde la flauta travesera.

(incluso si "molesta" trabajar con números racionales con un decimal, creo que es bastante inmediato imaginar un modelo casi igual susitiuyendo la caracterización de los naturales por caracterización de los múltiplos de 10).

Bien. Pregunta 6.1. ¿Cuál es la diferencia esencial entre este planteamiento y el tuyo?.

La diferencia esencial es clarísima. Basta poner un reloj al atolondrado conductor que haga clic en cada instante de tiempo . No pierde los naturales, pierde los primos por efecto de la aceleración del autobús que conduce. Esto es la misma discusión que tuvimos entre la caracterización que tu diste de número natural por medio de la función seno y si quieres la podemos retomar.

La frase “caracterizar un natural” ¿qué es?. Cuando contamos, sencillamente “congelamos” aleatoriamente instantes de tiempo. Te pregunto a "lo salvaje": ¿Cómo se caracteriza eso?.

Saludos.

[el_manco]

Hola

 Creo que no me satisface ni una de tus respuestas.

Bufff. En realidad no sé que trascendencia pueden tener pequeños matices en este punto; quizá lo que estoy preguntando es intrasdencedente para la compresión de tu ejemplo y lo que se deriva de él.

"No problem".

Me interesaría saber si desde tu punto de vista es o no intrascendente; o quizá igual que yo no entiendo tu teoría, tu no entiendes mis objecciones y no sabes a donde van a parar. Con lo cual tampoco puedes juzgar si es o no trascendente.

(a) Si elige contarlos, entonces entre la no numerable cantidad de posibles movimientos de la no numerable cantidad de conductores, están los que hemos creado. Aquí no es relevante a efectos de la posible trascendencia de singularidad temporal la cuestión de la nula probabilidad de que ello ocurra sino que no es suceso imposible.

Es tarde y reconozco que tengo sueño. Pero esta frase me resulta extremadamente densa.

(b) Cada conductor (incluido ) tiene instalado un reloj dentro del autobús en el que cada instante suena un clic (para distinguirlo de campanas y/o flautas traveseras). Cada vez que suena el clic indica que estamos pasando (o contando) por un número natural. Reconozco la pérdida de libertad de los  , pero supongamos que es por mandato empresarial.

Esto si lo entiendo.

lo que quiero decir si con los puntos de partida que manejamos/manejas sería igualmente aceptable (aunque admito que probablemen no útil o  relevante para la situación que quieres describir) decir que el conductor cuenta números racionales con un decimal, cuadrados pefectos, potencias del número , el número de cifras de las potencias de , primos, ... o bien si los números naturales tienen algo de especial que permite que la suposición de que el conductor los cuenta sea admisible.

Creo que ya está contestado.

Pues no, en absoluto. ¿Puden contar potencias de , si o no?.

La diferencia esencial es clarísima. Basta poner un reloj al atolondrado conductor que haga clic en cada instante de tiempo . No pierde los naturales, pierde los primos por efecto de la aceleración del autobús que conduce. Esto es la misma discusión que tuvimos entre la caracterización que tu diste de número natural por medio de la función seno y si quieres la podemos retomar.

La frase “caracterizar un natural” ¿qué es?. Cuando contamos, sencillamente “congelamos” aleatoriamente instantes de tiempo. Te pregunto a "lo salvaje": ¿Cómo se caracteriza eso?.

Entiendo (creo) lo que me estás diciendo; desde cierto punto de vista, cualquier enumeracion de cualquier cosa es una realización de los números naturales, por tanto estos no necesitan ser caracterizados. Pero es un argumento, perdóname la expresión, torticero e incoherente con el resto de tu propia construcción.

Dicho así parece que los conductores son los que deciden donde colocan los naturales y "mágicamente" su decisión coincide con lo que manda nuestra función . La clave para mi está en que tu caracterización de los primos, de la conjetura de Goldbach, no depende sólo de donde hemos colocado los naturales, de dónde los cuentas los conductores, si no de como hemos recolocado toda la recta real a su alrededor, es decir, de las funciones al completo.

Tengo que acostarme. Pero todavía dejo varias reflexiones en el aire:

1) ¿Los múltiplos de 10 necesitan ser caracterizados?.
2) ¿Los no múltiplos de 10?.
3) ¿Los no múltiplos de 2 y de 3?.
4) ¿Qué subconjuntos de los números naturales no necesitan ser caracterizados?

Importante:

Cuestión que me llama soberanamente la atención. Eres tu el que de manera explícita sacó a colación por primera vez que le cuatro era el cuarto número donde la función dejaba de ser diferenciable;

I) ¿Si no hace falta caracterizar los naturales a que viene eso?.

II) Mas aun, yo dije que eso es cierto excepto para . Ahora me dices que eso es rigurosamente falso. Y yo reitero, incluso a falta de resolver el debate anterior, que es rigurosamente cierto o bien he leido mal la parte matemática de tu trabajo (que pensaba había comprendido al 100%). ¿La función es o no derivable en todo punto?. Tu mismo dices en la penúltima página de tu trabajo que es la identidad; ergo es diferenciable en todo punto; ergo esa "caracterización" (o llámale como quieras) basada en la diferenciabilidad desaparece.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Intentaré serenar el debate, hay demasiadas cosas. Me interesa ir cerrando mínimos pero importantes acuerdos.

Creo que no me satisface ni una de tus respuestas.

Paciencia, poco a poco iremos progresando.

Me interesaría saber si desde tu punto de vista es o no intrascendente; o quizá igual que yo no entiendo tu teoría, tu no entiendes mis objecciones y no sabes a donde van a parar. Con lo cual tampoco puedes juzgar si es o no trascendente.

Bueno, ambos nos objetamos e intentamos sinceramente entendernos. Al final cada uno descubriremos a toro pasado qué era trascendente y qué no.

(a) Si elige contarlos, entonces entre la no numerable cantidad de posibles movimientos de la no numerable cantidad de conductores, están los que hemos creado. Aquí no es relevante a efectos de la posible trascendencia de singularidad temporal la cuestión de la nula probabilidad de que ello ocurra sino que no es suceso imposible.

Es tarde y reconozco que tengo sueño. Pero esta frase me resulta extremadamente densa.

Pues la olvidamos, me vale la interpretación (b) para continuar.

(b) Cada conductor (incluido ) tiene instalado un reloj dentro del autobús en el que cada instante suena un clic (para distinguirlo de campanas y/o flautas traveseras). Cada vez que suena el clic indica que estamos pasando (o contando) por un número natural. Reconozco la pérdida de libertad de los  , pero supongamos que es por mandato empresarial.

Esto si lo entiendo.

Estupendo.

Entiendo (creo) lo que me estás diciendo; desde cierto punto de vista, cualquier enumeracion de cualquier cosa es una realización de los números naturales, por tanto estos no necesitan ser caracterizados.

Estupendo. Otro acuerdo.

Pero es un argumento, perdóname la expresión, torticero e incoherente con el resto de tu propia construcción.

Perdonada la expresión. Ya veremos si es torticera y/o incoherente.

Dicho así parece que los conductores son los que deciden donde colocan los naturales y "mágicamente" su decisión coincide con lo que manda nuestra función .

Aunque creo que ya lo has dicho, necesito que me confirmes si aceptas la versión (b) (cada   incluido lleva un reloj y cuenta los naturales según le indica el reloj). Esto es importante para responder a tus otras cuestiones. Espero tu respuesta y continuamos.

Saludos.

[el_manco]

Hola

Aunque creo que ya lo has dicho, necesito que me confirmes si aceptas la versión (b) (cada   incluido lleva un reloj y cuenta los naturales según le indica el reloj). Esto es importante para responder a tus otras cuestiones. Espero tu respuesta y continuamos.

Aceptado.

Me recome la impaciencia ante las respuestas que vas a dar a las demás preguntas; tengo la intuición de todas formas, que en la mayor parte de los casos una vez más, y por desgracia(1), muchos desacuerdos van a ser simplemente cuestión de nombres.

En especial sigo intrigado (ayer me llevó a acostarme casi una hora más tarde de lo previsto, esperando tu anunciada respuesta) porque dices que es rigurosamente falsa mi observación sobre la carcaterización de los naturales basada la diferenciabilidad de los Lo único que se me ocurre es que realmente lo que no consideres correcto sea llamarle carcterización; si es así sería solo cuestión de nombres, pero inadmisible motivo para considerarlo rigurosamente falsa.

Relacionado con esto último y admitida tu observación sobre porque desde cierto punto de vista no tiene sentido caracterizar los naturales, como diré más adelante desde otro cierto punto de vista claramente si lo tiene. Pero me guardo el argumento para no abrir demasiados frentes.

Saludos.


(1) Creo que hasta que lleguemos a un descacuerdo explícito en algo esencial, las cosas seguirán sin aclararse.

[Fernando Revilla]

Aceptado.

Bien, entonces admitido que cada conductor incluido tiene un reloj que le indica los instantes de tiempo en el que cuenta los naturales.

Me recome la impaciencia ante las respuestas que vas a dar a las demás preguntas; tengo la intuición de todas formas, que en la mayor parte de los casos una vez más, y por desgracia(1), muchos desacuerdos van a ser simplemente cuestión de nombres.

Tendremos que esforzarnos en definir de forma precisa esos nombres.

En especial sigo intrigado (ayer me llevó a acostarme casi una hora más tarde de lo previsto, esperando tu anunciada respuesta)

Bien, lleguemos al acuerdo que cualquier demora por tu parte o por la mía puede ser debida a razones personales, no a falta de interés.

porque dices que es rigurosamente falsa mi observación sobre la carcaterización de los naturales basada la diferenciabilidad de los Lo único que se me ocurre es que realmente lo que no consideres correcto sea llamarle carcterización; si es así sería solo cuestión de nombres, pero inadmisible motivo para considerarlo rigurosamente falsa.

Reconozco que la frase es grosera, y me disculpo. Ni soñando puede pasar por mi cabeza que no sabes lo que es un número natural. Así que habrá que aclarar los nombres. Retomo la cuestión y la pongo en apartados para que puedas responder sí, no, o expresar reparos.

II) Mas aun, yo dije que eso es cierto excepto para  . Ahora me dices que eso es rigurosamente falso. Y yo reitero, incluso a falta de resolver el debate anterior, que es rigurosamente cierto o bien he leido mal la parte matemática de tu trabajo (que pensaba había comprendido al 100%). ¿La función  es o no derivable en todo punto?. Tu mismo dices en la penúltima página de tu trabajo que es la identidad; ergo es diferenciable en todo punto; ergo esa "caracterización" (o llámale como quieras) basada en la diferenciabilidad desaparece.

(i)   Partimos de que admitidos una unidad de medida y un origen en la recta tenemos una representación de los números naturales en la manera usual, hecho totalmente primitivo.

(ii) Cualquier elección de puntos distintos en la recta (por ejemplo, de izquierda a derecha: punto origen, primer punto, segundo punto,…) nos da una representación de los números naturales. Hecho también totalmente primitivo.

Nota: Por supuesto, representación en el sentido de la función sucesor, tanto en (i) como en (ii). A partir de la función sucesor, definimos la suma y el producto.

(iii) Partiendo de (i), las funciones con nos dan una regla para representar los naturales. Esta regla ya no es tan aleatoria. Digo que no es tan aleatoria porque algo de libertad tenemos por la elección de .

(iv) El que sea diferenciable en todo punto, no cambia la "caracterización" de los naturales (precisamente hemos partido de ella por equidistancia). Es decir, a efectos de "caracterización", de los naturales el hecho de ser diferenciable o no, es irrelevante. Por supuesto que no lo es a efectos de identificar pares de primos de suma .

Saludos.

P.D. Sigo con la filosofía de mini-debates relajados. Insisto en que nos despreocupemos de las posibles demoras en las respuestas, no hay prisa.