Diferenciabilidad de una función

[hausdorff]

Hola amigos... Que tal?? ... Disculpen la molestia, lo que pasa es que estoy re colgado... A ver si alguien me ayuda a ver si la siguiente función es diferenciable...en el (0,0)





Desde ya muchas gracias.

[Nuke]

Hola,
Para que una función sea derivable en necesitas que,

exista y sea finito
Espero ser de ayuda,
Saludos,
Nuke~

[el_manco]

Hola

 Algunas ideas generales:

 Primero debes de comprobar si es continua en (0,0). Si no lo fuese nunca podría ser diferenciable. Para ello ha de verificarse



!!Compruébalo!!!

 La definición de derivada de Nuke es válida en una variable pero no en dos. En tu caso que f sea diferenciable en 0 significa que existe una función lineal verificando



 Hay varios resultado equivalentes para la asegurar la diferenciabilidad o probar lo no diferenciablidad, normalmente involucrando las derivadas parciales.

 Tu candidata para función lineal es



es decir, determinada por las derivadas parciales en (0,0).

 Para ver si existen todos estos límtes que dependen de dos variables (x,y), es bueno ver que ocurre cuando (x,y) se acerca a (0,0) en una determinada dirección (a,b), es decir, tomar y límite cuando h tiende a 0.

Saludos.

[hausdorff]

Hola... Les agradezco su esfuerzo... pero el problema es el siguiente... yo conozco los medios que ustedes me proponen .... el tema es que no puedo encontrar la forma de demostrar que la función es   y tampoco puedo resolver el limite para demostrar que es diferenciable... ya que si te aproximas por rectas te queda una función constante y si te aproximas por trayectorias locas tampoco sirve....es ahi donde necesito su ayuda... si alguien se le ocurre alguna trayectoria ... que demuestre que es discontinua en (0,0), algún artilugio para resolver el limite o algo que demuestre que la función es .
Desde ya muchas gracias.
Hasta luego.

[el_manco]

Hola

 - Calcula las derivadas parciales en (0,0). Utiliza la definición. Deben de darte:

               

- Si fuese diferenciable en (0,0), ahora la derivada direccional en la dirección marcad por un vector (a,b) sería:



- Calcula esta misma derivada utilizando la definición de derivada direccional.

- Comprueba que no coincide con el valor esperado.

- Deduce que f no es diferenciable en (0,0).

Saludos.

[darkxer0x]

Bien, pero ¿que tal si hacemos un cambio a polares?
x = p cos a
y = p sen a


Y teniendo en cuenta está acotada,
Si es continua

[el_manco]

Hola

 Correcto: el cambio facilita las cosas para la continuidad.

 Sin embargo con la difernciabilidad hay que tener cuidado, porque el cambio de coordenadas a polares no es un difeomorfismo (no se comporta bien con la diferenciabilidad) en el 0. El problema está en que si p=0 cualquier ángulo a se refiere al mismo punto (0,0).

Saludos.

[darkxer0x]

Por cierto, ¿por qué si g(a) es acotada?

[el_manco]

Hola

 Porque si g es acotada existe M>0 tal que |g(a)|<M. Entonces:

 0<=|x*g(a)|<=|x|*M

 Cuando x tiende a 0 los extremos tienden a 0, luego lo del medio tiende a 0.

Saludos.

[darkxer0x]

Hola

 - Calcula las derivadas parciales en (0,0). Utiliza la definición. Deben de darte:

               

que para (0,0) da 0 (a lo mejor me he equivocado, pero solo veo ceros...)

También se puede hacer: si existen y son continuas las derivadas parciales primeras en el origen f(x,y) es diferenciable en el origen

[el_manco]

Holo

 Cuidado!!!.

 El cálculo de la parcial en(0,0) es:




Saludos.