Axiomas de Hilbert en una G.P.E

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matematicox:
Quisiera ver si me pueden ayudar con unos problemas con estos axiomas  ???
Necesito construir un modelo finito (distinto de Z_3xZ_3) que satisfaga los axiomas de Incidencia y el axioma de las paralelas y construir un modelo que satisfaga todos los axiomas a la vez.

Se lo agradeceria de antemano si me pueden ayudar y si no gracias tambien
espero la respuesta de alguien ;)

héctor manuel:
Hola matematicox. Bienvenido al foro (creo que eres el tercero a quien me toca recibir hoy).

No entiendo a qué te refieres con axioma de las paralelas de Hilbert.  No recuerdo que los axiomas de neutralidad contengan un axioma de paralelas.

En todo caso, si en realidad te refieres al axioma de Euclides, prueba con el modelo de la geometría analítica usual. Ahí, los puntos son parejas ordenadas de reales, las rectas son ecuaciones de la forma y la relación de incidencia se define como "un punto está sobre una recta si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación del punto"

Saludos

matematicox:
Gracias por la bienvenida Hector Manuel

Segun mi profesor esto es geometria moderna vista mas de un punto lineal.
Se supone  usando los axiomas de Hilbert  debo encontrar un ejemplo (como por ejemplo con el grupo de las clases de Z_3, con la + o sea, un grupo(Z_3,+) ) que me satisfaga el axioma de incidencia y de paralelas y otro ejemplo que me satisfaga los 5 axiomas que serian el axioma de incidencia, orden ,paralelas ,congruencia y el de continuidad.

Gracias si me podrias ayudar mas te lo agradeceria bastante .

argentinator:
Mira, tengo muchos axiomas y teoremas de geometria en la cabeza, pero por eso mismo me he formado la opinión de que los axiomas de la geometría pueden darse de muchas y muy variadas maneras distintas...

Los que has indicado como 5 Axiomas, son en realidad 5 grupos de Axiomas.
Para Euclides (y no para Hilbert), se trataba quizá de 5 axiomas o postulados, pero para nosotros la cosa cambia, y en aras de la precisión y el rigor modernos, esos postulados se han detallado y desarrollado en grupos de axiomas, muy nutridos cada uno.

Así que sería bueno si pudieras dar más detalles de lo que estás entendiendo por "axioma de incidencia" y por "axioma de las paralelas" (este último no es un grupo de axiomas, sino que es un axioma por sí solo... sin embargo se lo puede enunciar al menos de 2 formas distintas, así que también conviene precisar).

Mientras tanto adelante algunas ideas.
Cuando uno habla de axiomas de incidencias, se suele decir "dos puntos determinan ujna recta" o "dos rectas no paralelas se cortan en un solo punto", etc.
Lo importante es darse cuenta de que todo eso es "mero palabrerio".

En efecto, los axiomas matemáticos usan "palabras" con significado vacío.
Dicho significado toma sentido solamente después de que se ha dado la lista completa de Axiomas.
O sea, una palabra como "se corta en" o "determina" o "pasa por", solamente tiene sentido desde un punto de vista "operacional", vale decir, "en función de lo que los Axiomas dicen que los objetos de la teoria hacen", o "de como los objetos del sistema se relacionan entre sí según indican los axiomas".

Así que si te encuentras un sistema matemático X con ciertos subconjuntos L, tal que "conociendo un par de elementos de L se pueden saber cuales son todos los demas", eso concuerda con el axioma "dos puntos determinan una recta".

Los "puntos" serían simplemente los objetos de X, y "determinar" sigfnifica que hay alguna operación bien definida, concreta, que:
* A cada par de elementos x, y, en X, le asigna algun objeto L (que se llama una "recta", aunque ni siquiera tenga aun forma de linea recta).
* Y además, para cualesquiera par de elementos a, b de una recta dada L, al "operar" x con y, según se explcia en el punto previo, se obtiene como resultado la misma L. O sea, L está determinada por cualquier par de sus elementos constituyentes, y además este par no "produce" alguna otra recta distinta... cosa que sería desagradable para Euclides.

Ahora bien, la gracia de todo esto es que uno puede observar que la Geometría Euclidiana necesita de todos sus Axiomas para ser lo que intuitivamente sabemos que es.
Si falta algún Axioma, se obtienen sistemas matemáticos más generales, e incluso extraños, que se alejan enormemente de la intuición geométrica "natural" (euclidiana).

Algo como es un conjunto con 9 elementos, y en nada se parece al plano euclidiano...
Sin embargo satisface algunos de los axiomas de la geometria euclidiana, y eso nos permite entender como es que funciona la formalización de la Geometría, paso a paso, y sus implicaciones matemáticas generales.

En fin...

Saludos

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