Norma Inducida por una matriz y norma consistente

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juaninf:
Toda norma inducida por uma matriz es uma norma consistente?

Fernando Revilla:
En general y dadas dos normas vectoriales en [texx]\mathbb{K}^n[/texx] y [texx]\mathbb{K}^m[/texx] ([texx]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/texx] o [texx]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/texx]) la norma matricial inducida por tales normas en [texx]\mathbb{K}^{m\times{n}}[/texx]:

[texx] \left\|{A}\right\|=\sup \left\{{\displaystyle\frac{ \left\|{Ax}\right\|}{ \left\|{x}\right\|}:x\in{\mathbb{K}^n-\left\{{0}\right\}}}\right\}[/texx]

es consistente con las normas vectoriales dadas i.e. [texx] \left\|{Ax}\right\|\leq{ \left\|{A}\right\|} \left\|{x}\right\|[/texx] para todo [texx]A\in{}\mathbb{K}^{m\times{n}}[/texx] y para todo [texx]x\in{\mathbb{K}^n}[/texx]. Para demostrarlo basta aplicar la definición de supremo. Un caso particular importante es [texx]m=n[/texx] (matrices cuadradas) y las normas en [texx]\mathbb{K}^n[/texx] y [texx]\mathbb{K}^m[/texx] son iguales.

Saludos.

juaninf:
Quiere decir entonces segun tu definición que a norma del numerador es diferente que la norma del denominador? [texx]\displaystyle\frac{ \left\|{Ax}\right\|_a}{ \left\|{x}\right\|_b}[/texx]  [texx]a\neq{b}[/texx]

Fernando Revilla:
Cita de: juaninf en 11/05/2010, 07:34:09 am

Quiere decir entonces segun tu definición que a norma del numerador es diferente que la norma del denominador? [texx]\displaystyle\frac{ \left\|{Ax}\right\|_a}{ \left\|{x}\right\|_b}[/texx]  [texx]a\neq{b}[/texx]


No es mi definición  :laugh:. Es la generalización de norma inducida para matrices rectangulares. Ahora bien, intuyo que en clase solamente usais matrices cuadradas y además que la norma para [texx]Ax[/texx] es la misma que para [texx]x[/texx]. No hay problema, el resultado que comenté es general, y en consecuencia se verifica en el caso particular que tú estudias.

Saludos.

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