Teorema de encaje

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Ulysses:
Tengo que demostrar mediante el teorema de encaje que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{n\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}}=\pi[/texx]

Vi casos para funciones en R donde x tiende a cero para funciones trigonometricas de este tipo. Pero esta es una sucesión de números naturales y no se como encararla. A simple vista veo que el factor n va a crecer indefinidamente, pero el de [texx]\sin(\pi/n)[/texx] va a decrecer [texx]b_1=\sin(\pi/1)[/texx], [texx]b_2=\sin(\pi/2)[/texx], [texx]b_2=\sin(\pi/3)[/texx], etc.

Saludos.

el_manco:
Hola

 Nota (haz un dibujo de la circunferencia y la interpretación sobre ella de las razones trigonométricas) que, para [texx]x[/texx] pequeño:

[texx] sin(x)\leq x\leq tan(x)[/texx]

 de donde:

[texx] \dfrac{x}{cos(x)}\leq sin(x)\leq x[/texx]

Saludos.

Ulysses:
Muchas gracias. ¿Que identidades utilizaste?

No me queda del todo claro, supongo que debo seguir trabajando las expresiones. Porque x en ese caso tendería a infinito (la expresión a la derecha), sen (x) oscilaría, y x/cos(x) tampoco veo hacia donde tendería.

No logro encontrar [texx]a_n\leq{bn}\leq{c_n}[/texx] de tal forma que me queden límites al infinito en los extremos que me sean faciles de calcular y de esa forma obtener [texx]c_n[/texx]

el_manco:
Hola

Cita

No me queda del todo claro, supongo que debo seguir trabajando las expresiones. Porque x en ese caso tendería a infinito (la expresión a la derecha), sen (x) oscilaría, y x/cos(x) tampoco veo hacia donde tendería. 
 

 Fíjate que en nuestro caso queremos acotar [texx]sin\dfrac{\pi}{n}[/texx]. Por tanto has de usar la cota que te indiqué para [texx]x=\dfrac{\pi}{n}[/texx]:

[texx] \dfrac{\pi/n}{cos(\pi/n)}\leq sin \dfrac{\pi}{n}\leq \dfrac{\pi}{n}[/texx]

 Obviamente para llegar a tu sucesión todavía tienes que multiplicar por [texx]n[/texx] todos los términos...

Saludos.

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