¿Cómo sacar el vector director de una recta en forma cartesiana?

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Juanmates:
Hola, me explicaron cómo sacar el vector director de una recta cuando está en forma cartesiana (implícita) pero no lo recuerdo, ¿podrían ayudarme?

 gracias :)

héctor manuel:
Bien, como tienes la recta en forma cartesiana, siempre la puedes escribir en la forma [texx]y=mx+b[/texx].
Esa recta es la misma que, digamos, la recta vectoria [texx]f(t)=(x_0,y_0)+t(u_0,v_0)[/texx] para algunos [texx]x_0,y_0,u_0,v_0[/texx] reales.  Lo que tú quieres saber es cómo calcular [texx]u_0,v_0[/texx] teniendo como datos a [texx]m[/texx] y a [texx]b[/texx]. 

Por la primera ecuación, sabemos que la recta pasa por el punto [texx]\vec{a}=(0,b)[/texx];  Sea [texx]\vec{b}=(x,y)[/texx] otro punto diferente de la recta.  Entonces [texx]\vec{b}=(x,mx+b)[/texx] para algún [texx]x\neq{0}[/texx] real fijo.  Nota entonces que, directo de la gráfica, puedes ver que [texx](u_0,v_0)=\vec{b}-\vec{a}=(x,mx+b)-(0,b)=(x,mx)=x(1,m)[/texx] para algún [texx]x\neq{0}[/texx].  Como lo anterior es independiente del valor de [texx]x[/texx], (siempre que no sea 0), entonces hacemos [texx]x=1[/texx], de donde obtenemos que [texx](u_0,v_0)=(1,m)[/texx].  En realidad no se trata de una "independencia", sino que como puedes ver, [texx]x(1,m)[/texx] nos está dando toda una familia de vectores (una recta siempre tiene más de un vector dirección), pero todos son paralelos, así que no hay diferencia entre escoger uno u otro.

También podemos escribir [texx](x_0,y_0)=(0,b)[/texx], de modo que una representación para la recta buscada es la [texx]r(t)=(0,b)+t(1,m)[/texx], que claramente es el conjunto de puntos de la forma [texx](t,mt+b)[/texx], con lo cual comprobamos que el resultado obtenido sí es el buscado.

Saludos

aladan:
Cita de: Juanmates en 14/01/2010, 01:44:38 pm

Hola, me explicaron cómo sacar el vector director de una recta cuando está en forma cartesiana (implícita) pero no lo recuerdo, ¿podrían ayudarme?

 gracias :)


Hola Juanmates

Bienvenido al foro.

Llamas forma cartesiana a la ecuación implicita, es decir a la recta

                                          [texx]Ax+By+C=0[/texx]

conoces [texx]A\;\;B\;\;\textsf{y}\;\;C[/texx], por tanto puedes obtener 2 de sus puntos [texx]P(x_1,y_1)\;\;Q(x_2,y_2)[/texx] y transformar esa ecuación en la forma

                                   [texx]\displaystyle\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\displaystyle\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/texx]

el vector           
                                  [texx]\vec{v}(x_2-x_1,y_2-y_1)[/texx]

es director de la recta.

Saludos

Juanmates:
muchas gracias a los dos  ;D

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