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trilobites

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Integral

« : 09/01/2010, 12:52:31 pm »

Hola..
me ha salido esta integral aparentemente inofensiva.. pero al ponerme con ella resulta que se complica un poco mas :BangHead:

La he resuelto por partes y fijandome muy bien en los signos (engaña bastante) he llegado a un resultado creo que correcto.

I= $\displaystyle\int_{a}^{b}(4+2x+x^2)e^{-2x}\, dx$

El resultado obtenido es el siguiente:

$\displaystyle\frac{-2}{e^{2x}}-\displaystyle\frac{(2x+1)}{2e^{2x}}-\displaystyle\frac{(2x^2 +2x+1)}{4e^{2x}}+C$

He modificado la expresión, aplicando La Tex correctamente, como puedes comprobar se ve mucho mejor, sobraban [tex][/tex] y faltaban \displaystyle\frac{}{} , además los exponentes de más de un dígito deben ir entre{}: aladan


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Re: Integral

« Respuesta #1 : 09/01/2010, 03:46:09 pm »

Hola Trilobites, bueno antes que nada debo anotar 2 cosas:

1) Supongo que los limítes 'a' y 'b' fueron un error puesto que el resultado que das es el de familias de funciones solución. Sino, no esta terminado tienes que evaluarla.
2) tienes un error de tipeo en el resultado que posteas quisiste decir : $\displaystyle\frac{A}{ae^-2x}$ , (para todos los terminos) y no: $\displaystyle\frac{A}{ae^2x}$ .

De ser así, ¡esta bien! :sonrisa_amplia:

. Yo la hice, y la comprobe.

Por cierto, para que cheques tus resultados de una forma más inmediata te recomiendo sigas el siguiente link (es de la Wolfram Research):
http://integrals.wolfram.com/index.jsp


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aladan

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Re: Integral

« Respuesta #2 : 09/01/2010, 03:49:26 pm »

Hola trilobites

Bienvenido al foro.

Por partes, haciendo
$4+2x+x^2=u\Rightarrow{(2+2x)dx=du}$

$e^{-2x}dx=dv\Rightarrow{-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}}=v$

nos conduce a

$I=-\displaystyle\frac{(4+2x+x^2)e^{-2x}}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int (2+2x)e^{-2x}dx=-\displaystyle\frac{(4+2x+x^2)e^{-2x}}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}I_1$

repetimos el proceso por partes para

$2+2x=u\Rightarrow{2dx=du}$

$e^{-2x}dx=dv\Rightarrow{-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}}=v$

$I_1=-\displaystyle\frac{(2+2x)e^{-2x}}{2}+\displaystyle\int e^{-2x}dx=-\displaystyle\frac{(2+2x)e^{-2x}}{2}-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}+Cte$

sustituyendo

$I=-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}\left[(4+2x+x^2)+(1+x)+\displaystyle\frac{1}{2}\right]+Cte=-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}(\displaystyle\frac{11}{2}+3x+x^2)+Cte$

Saludos


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Re: Integral

« Respuesta #3 : 10/01/2010, 09:13:35 am »

Hola de nuevo.. el resultado que puse esta mal expresado.. no me fije que la x de los denominadores estaba mal puesta.
queria decir "e" elevado a 2x, gracias por el apunte, no estoy muy familiarizado con latex. gracias por vuestra respuesta.

Aladan la forma que plantee yo fue dividiendo la integral en 3 sumas de integrales y resolviendo cada una por separado haciendo el producto de "e" por lo que esta entre paréntesis. (resolviendo por partes dos de ellas)
La expresion que resulta es valida tal como la puse yo? o tengo que simplificarlo mas?
muchas gracias.


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aladan

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Re: Integral

« Respuesta #4 : 10/01/2010, 11:01:19 am »

Cita de: trilobites en 10/01/2010, 09:13:35 am

Aladan la forma que plantee yo fue dividiendo la integral en 3 sumas de integrales y resolviendo cada una por separado haciendo el producto de "e" por lo que esta entre paréntesis. (resolviendo por partes dos de ellas)
La expresion que resulta es valida tal como la puse yo? o tengo que simplificarlo mas?
muchas gracias.

Tu resultado es totalmente válido, simplificado queda un poco más estético nada más. En cuanto a dividirla en suma de 3 está bien pero como ves en mi desarrollo no es necesario

Saludos
PD.- Te he corregido tu resultado, aplicando La TeX correctamente, date una vuelta por el instructivo
http://www.rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm


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