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Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Geometría Proyectiva  (Leído 12252 veces)
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Gerard_bdn
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« : 21/06/2010, 05:52:18 pm »

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Ir a Dictado del curso: Geometría Proyectiva


Aquí postearemos las dudas, consultas y ejercicios relacionados con el curso Geometría Proyectiva.

Un saludo, Gerard.
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« Respuesta #1 : 26/06/2010, 12:21:05 am »

Hola, comenzará a acosarte de entrada no más.

Muchas veces he visto la noción de espacio proyectivo, y creo que el gran problema que tengo es que no termino de comprender bien la intuición geométrica de fondo.

Quiero imaginarme que hay una geometría "proyectiva" justamente, al estilo de las pinturas artísticas que tienen un "punto de fuga".
¿Hay un punto de fuga?
¿cómo se entiende esto? Imagino que tiene que ver con la identificación de todos los puntos que son múltiplos escalares entre sí.

1.1 - Definición y primeros ejemplos

Notación:  Antes de continuar resolveremos algunos problemas de notaciones. Notaremos [texx][v]:=\pi(v)[/texx] y diremos que [texx][v][/texx] es el punto representado por v. A su vez, diremos que v es un representante de [texx][v][/texx].

Ejemplo 1: Sea [texx]E[/texx] un espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{K}[/texx]. Cosideremos [texx]E -\left\{{0}\right\}[/texx]. Definimos la siguiente relación de equivalencia:
[texx]v\sim w \Leftrightarrow \exists \lambda : v= \lambda w[/texx]
Consideremos ahora el conjunto cociente [texx]\mathbb{P}= E-\left\{{0}\right\}/ \sim [/texx]; y la aplicación:
[texx]E-\left\{{0}\right\}\longrightarrow E-\left\{{0}\right\}/\sim[/texx]
[texx]v \longmapsto \overline{v}[/texx]

Este espacio proyectivo se llama el proyectivizado de E, notado [texx]\mathbb{P}(E)[/texx] y en algunos libros aparece como definición de espacio proyectivo.

Ejemplo 2: Sea [texx]\mathbb{A}_{2}[/texx]el plano afín y [texx]O[/texx] un origen. Sea [texx]\mathbb{P}[/texx] el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen [texx]O[/texx]. Tomamos [texx]E=\mathbb{R}^{2}[/texx], y consideramos la aplicación:
[texx] \pi: \mathbb{R}^{2} - \left\{{0}\right\}\longrightarrow \left\{{rectas \, por\, O}\right\}[/texx]
[texx](a,b) \longmapsto \, ax \, + \, by \, = \, 0[/texx]

Tenemos que [texx]\pi[/texx] es exhaustiva porque todas las rectas que psaan por el origen son de esta forma.
Además, sabemos que dos ecuaciónes de este tipo representan a la misma recta si y sólo si los coeficientes [texx](a,b)[/texx] son proporcionales. Observemos que [texx]\mathbb{P}[/texx] tiene dimensión 2.

El ejemplo 1 supongo que es el caso "clásico" de dibujo proyectivo.
Imagino que "E" representa el espacio tridimensional, y el espacio proyectivo [texx]\mathbb{P}[/texx] es, en cierto modo, el "lienzo" del dibujante, en el que hay líneas de fuga imaginarias que convergen en algún punto de fuga.

En cuanto al ejemplo 2, ya me pierdo, porque si bien entiendo la relación de equivalencia, me confunde la "intuición geométrica" del mismo.
¿O es que estoy entendiendo los ejemplos al revés?

Además, me pregunto si acaso ambos ejemplos son "proyectivamente isomorfos", o sea, ¿hay un isomorfismo proyectivo entre ellos?
¿Cuándo dos espacios proyectivos se "dicen" isomorfos?

Saludos

P.D.: ando con ganas de hacer algunos dibujillos, porque como dijo Einstein: "si no puedo dibujarlo, es que no lo entiendo".

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Gerard_bdn
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« Respuesta #2 : 26/06/2010, 12:28:22 pm »

Empecemos ^^'

Podría decirse que en el espacio proyectivo hay ese punto de fuga, ya que al proyectivizar vectores proporcionales, éstos representan un mismo punto.
Para poner un ejemplo sencillo, es como si tuvieras una hoja de papel y con una linterna enfocaras en él. Cada haz de luz proyecta un sólo punto.

En el ejemplo 1, E representa un espacio vectorial de dimensión n+1 (recuerda que su proyectivizado tiene dimension n, es decir 1 menor que E). Y en el caso de dim E =3, tendríamos algo parecido al ejemplo de la linterna y la hoja.

El ejemplo 2 me baila un poco, ya que si el espacio vectorial sobre el que estamos trabajando es [texx]E=\mathbb{R}^{2}[/texx], su dimensión es 2, por lo tanto [texx]\pi(E-\left\{{0}\right\})[/texx] ha de tener una dimensión menos, por lo que debería ser de dimensión 1.

Lo que aquí hace es coger cualquier punto de [texx]\mathbb{R}^{2}-\left\{{0}\right\}[/texx] y asignarle la ecuación de la recta que pasa por el origen.
Vemos que esta aplicación cumple con las dos condiciones a las que está sujeta para que la terna [texx](\mathbb{P},E,\pi)[/texx] sea un espacio proyectivo:
-Es exhaustiva porque todos los puntos del plano tienen representante.
-Además, vemos que [texx]\forall \alpha=(a_{1},b_{1}), \beta=(a_{2},b_{2}),[/texx] se cumple que [texx]\pi(\alpha)=\pi(\beta)[/texx] si y sólo si son proporcionales, pues en ese caso la recta que generan [texx]a_{i}x+b_{i}=0[/texx] es la misma si y solo si [texx]a_{i},b_{i}[/texx] son proporcionales.

Lo que no entiendo es por qué [texx]\mathbb{P}[/texx] tiene dimensión 2 y no 1. (En mis apuntes pone dim 2).

El tema de isomorfismos no sé realmente si los toca como tal; se centra más en aplicaciones biyectivas las cuales llamaremos proyectividades cuando cumplen ciertas condiciones como veremos en el próximo tema.

Espero haber podido ayudar :sonrisa:

un saludo!
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« Respuesta #3 : 26/06/2010, 04:33:35 pm »

Gracias, igual el ejemplo 2 no lo tengo del todo claro, jeje.

Supongo que algunas cosas uno las aprende simplemente por mero renegar con ellas.

Saludos
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« Respuesta #4 : 28/06/2010, 03:17:56 am »

Hola

Cita
Lo que no entiendo es por qué [texx]\mathbb{P}[/texx] tiene dimensión 2 y no 1. (En mis apuntes pone dim 2).

Es que tus apuntes deben de tener una errata: la dimensión es UNO.

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 28/06/2010, 03:44:13 am »

Hola

Intentando responder a argentinator unos pequeños comentarios sobre espacios proyectivos.

Como ejemplo base para entender el asunto veamos la construcción del plano proyectivo.

1) ¿Qué es el plano proyectivo?.

Es el plano afín, el usual, el que estamos acostumbrados a manejar, al que "añadimos" los "puntos del inifnito".

2) ¿Qué son los puntos del infinito?¿A qué viene añadirlos?¿Por qué complicarse?

Idea intuitiva 1: Pensemos en  una vía del tren con una larga recta, un camino largo y recto, una carretera larga y recta, sabemos que sus lados son rectas paralelas, que de manera teórica se prolongan hacia el infinito y nunca se cortan ; en la práctica no se prolongan hacia el infinito, pero si hasta lo que alcanza nuestra vista o la precisión del objetivo de una cámara.

Bien si fotografiamos un paisaje de esa índole veríamos con sorpresa que nuestras rectas paralelas se han convertido en nuestra foto en dos rectas que se cortan. ¿Cómo ha aparecido ese punto de intersección?¿A qué punto "real" corresponde?. Notemos que una fotografía es una proyección del espacio en un plano; es fácil introducir fórmulas; si analizamos esa proyeccion sobre las vías del tren, veríamos que el límite de los puntos de las vías, que en la realidad no existen, al proyectar si confluyen en un punto "de verdad" con sus coordenadas concretas.

Esto no ocurre (no de esa manera) si las rectas reales (los railes de las vías del tren) no son paralelos, luego de alguna manera ese punto que aparece en la foto refleja el paralelismo de ambas rectas, y en concreto el supuesto punto donde esas rectas se "cortarían en el infinito".

La geometría proyectiva intenta formalizar esta idea.

Idea intuitiva 2: Pensemos en dos rectas dibujadas sobre el plano y cortándose en un punto; fijemos un punto exterior [texx]O[/texx] a ellas. Ahora podemos definir una biyección entre ambas: trazamos rectas por [texx]O[/texx] y relacionamos los puntos de corte de esas rectas con las dos fijas. Es fácil ver que esa biyección solo "falla"  cuando nuestra recta por [texx]O[/texx] es paralela a una de las rectas iniciales; entonces hay un punto de una de ellas al que parece no corresponder ninguno de la otra. Además si uno se aproxima a esa recta que da la "falla" vemos que ese punto que falta se "va hacia el infinito".

De nuevo a un punto real con sus coordenadas concretas y con una construcción muy "natural" le corresponde un punto que parece no exsitir o estar "demasiado lejos", "en el infinito".

De nuevo la geometría proyectiva puede modelizar esta situación.

3) ¿Qué ventajas tendrá la geometría proyectiva?

El hecho de poder dar "cuerpo" a los puntos del infinito, darles coordenadas, manejarlos, nos permitirá que se comporten como cualquier otro punto.

Entonces el paralelismo no será más que un caso particular de la incidencia: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. Y por tanto será cierto sin excepción que: dos rectas distintas en el plano proyectivo se cortan en un punto. Este "no tener que distinguir", ciertos casos particulares por falta de ciertos puntos en la geometría usual, será una de las grandes virtudes de la geometría proyectiva.

4) ¿Cómo se construye el plano proyectivo?.

Recordemos la respuesta a la pregunta (1):

El plano proyectivo, es el plano afín, el usual, el que estamos acostumbrados a manejar, al que "añadimos" los "puntos del inifnito". Veamos como formalizar esta idea.

i) En el espacio [texx]R^3[/texx], consideramos el plano usual, el afín, de ecuación [texx]z=1[/texx].

ii) Hacemos la siguiente construcción: una "biyección" entre rectas pasando por el origen y puntos del plano afín.

- A cada recta por el origen le hacemos corresponder su intersección con el plano [texx]z=1[/texx].
- A cada punto del plano [texx]z=1[/texx] le hacemos corresponder la recta que lo une con el origen.

iii) Es fáci ver que esto es una biyección, excepto si consideramos rectas por el origen que estén contenidas en el plano [texx]XY[/texx]. Serían paralelas al plano [texx]z=1[/texx] y por tanto no lo cortan.

iv) Si la biyección funcionase bien, entonces tendríamos por cada punto del plano afín una recta por el origen y viceversa, con lo cual podríamos identificar unos y otros.

v) Pero la biyección falla: nos faltan algunos puntos en plano afín, para que la cosa funcione. Si uno toma una familia de rectas por el origen no contenida en el plano "XY" pero cuyo límite tienda a una recta si contenida en dicho plano; verá que la sucesión de puntos en que tal familia de rectas corta a [texx]z=1[/texx] tiende al infinito. Entonces esa recta límite que no corta al plano [texx]z=1[/texx], debiera de corresponderse con un "punto del infinito" en la dirección que nos está marcando.

vi) Entonces la idea para construir el plano proyectivo es indentificarlo con la familia de rectas que pasan por el origen: de esta forma estamos considerando todos los puntos afines, que ya sabíamos majenar, y algunos más: los del infinito.

vii) Formalmente dar una recta por el origen es dar su vector director: un vector no nulo. Además vectores proporcionales definen la misma recta. Esto justifica la definición de plano proyectivo como el conciente de los vectores de [texx]R^3[/texx] menos el origen por la relación que identifica vectores proporcionales.

Saludos.

P.D. Si tengo tiempo más adelante incluyo dibujos; por ahora recomiendo, mientras se lee, ir dibujando lo que se indica.
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« Respuesta #6 : 28/06/2010, 03:56:20 am »

Gracias manco por todas estas aclaraciones.

En efecto, tendré que ponerme a dibujar para entender esto.

La idea de punto al infinito y ese tipo de cosas creo que siempre la he entendido, pero me quedé en esa anécdota.
Espero poder ir más allá.

Creo que me asustan los ejemplos demasiado generales de espacios proyectivos, porque cuando he oído a algunas personas hablar de ello, parece que la abstracción es demasiada, y pierdo la intuición geométrica.
Sin embargo ya me estoy empezando a imaginar "rectas al infinito" y "planos al infinito", y espero poder encajar esas posibilidades con la teoría formal que vendrá luego en el curso.

Saludos
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« Respuesta #7 : 28/06/2010, 03:56:51 am »

Hola

 A la vista de lo anterior el ejemplo (2) del dictado de cursos, corresponde a la misma construcción que expliqué para el plano proyectivo, pero bajando uno la dimensión; aunque con una diferencia sutil pero importante:

 Construimos una recta proyectiva (recta afín más su punto del infinito) tomando la familia de rectas por el origen; sin embargo formalmente las rectas, en lugar de indentificarlas por su vector director las identificamos por su ecuación implícita [texx]ax+by=0[/texx]. Lo que conseguimos en cualquier caso sigue siendo la recta proyectiva.

 Constituye el primer ejemplo de dualiad: nótese que en general en [texx]R^{n+1}[/texx], una ecuación [texx]a_1x_1+a_2x_2+\ldots +a_{n+1}x_{n+1}=0[/texx] es la ecuación de un hiperplano; de igual forma en [texx]P(R^n)[/texx] será la ecuación de un hiperplano. Sus coordenas [texx](a_1,\ldots,a_{n+1})[/texx] también podría interpretarse como un vector, luego también desde otro punto de vista, podríamos pensar que corresponden a un punto (más formalmente es un punto del proyectivizado del espacio vectorial dual, pero eso se verá con detalle en el curso).

 La dualidad nos dirá que "es lo mismo trabajar con puntos que con hiperplanos", y más en general, con variedades proyectivas lineales de dimensión [texx]k[/texx] o de dimensión [texx]n-1-k[/texx]; y más aun la intersección se dualizará a "unión" y viceversa. Esto tendrá brutales y potentes consecuencias que nos permitirán "de golpe" duplicar teoremas construyendo otros nuevos. Ejemplo trivial en el plano proyectivo:

 Dual de una recta: un punto.

 Dual de un punto: una recta.

Teorema:

 - Todo para de rectas se cortan en un punto.

Su dual:

 - Todo par de puntos se "unen" en una recta.

 Por tanto en el ejemplo anterior [texx]ax+by=0[/texx] es un hiperplano de la recta proyectiva; luego en esencia estamos tomando el dual de la recta proyectiva. Ahora bien en la recta proyectiva el dual de un punto tiene dimensión [texx]1-1-0=0[/texx], es decir, es de nuevo otro punto. Así que en este caso más allá de la diferencia formal, no hay ninguna diferencia geométrica.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 28/06/2010, 03:58:18 am »

Hola

Cita
Creo que me asustan los ejemplos demasiado generales de espacios proyectivos, porque cuando he oído a algunas personas hablar de ello, parece que la abstracción es demasiada, y pierdo la intuición geométrica.
Sin embargo ya me estoy empezando a imaginar "rectas al infinito" y "planos al infinito", y espero poder encajar esas posibilidades con la teoría formal que vendrá luego en el curso.

Nota, que todos los ejemplos que he puesto uno los puede perfectamente dibujar (insisto que si tengo tiempo intentaré añadir yo los dibujos). Así que , de momento, no es ni nada abstracto ni nada general.  :guiño:

Saludos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #9 : 28/06/2010, 05:58:14 am »

Algo también intuitivo y motivante: designamos por [texx](x,y,t)[/texx] a las ternas de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] excluida la terna nula.

Si [texx]t_0\neq{0}[/texx] convenimos en que [texx](x_0,y_0,t_0)[/texx] representa el punto del plano [texx]P_0[/texx], de coordenadas [texx](x_0/t_0,y_0/t_0)[/texx]. Por supuesto que todas las ternas de la forma [texx]\lambda (x_0,y_0,t_0),\;(\lambda\neq{0})[/texx] representan a [texx]P_0[/texx] (punto propio, o bien "usual").

Si [texx]t_0=0[/texx] convenimos en que  [texx](x_0,y_0,0)[/texx] representa el vector del plano [texx]v[/texx], de coordenadas [texx](x_0,y_0)[/texx]. Por supuesto que todas las ternas de la forma [texx]\lambda (x_0,y_0,0),\;(\lambda\neq{0})[/texx] representan a [texx]v[/texx] (punto impropio, del infinito, o bien "dirección").

Lo anterior nos permite obtener los puntos del infinito de las cónicas. Por ejemplo para la cónica [texx]X^2-Y^2=1[/texx] y llamando [texx](X,Y)=(x/t,y/t)\;(t\neq{0})[/texx] obtenemos la cónica en la forma [texx]x^2-y^2=t^2[/texx]. Si hacemos [texx]t=0[/texx] obtenemos los puntos de la forma [texx](x,x,0)=x(1,1,0)[/texx] y [texx](x,-x,0)=x(1,-1,0)[/texx] con [texx]x\neq{0}[/texx]. Es decir, obtenemos los puntos del infinito de la cónica: [texx]v=(1,1)[/texx] y [texx]w=(1,-1)[/texx] que son exactamente las direcciones de sus asíntotas.

Para la parábola [texx]Y=X^2[/texx] obtenemos un punto del infinito: [texx]v=(0,1)[/texx], la dirección del eje. Para la circunferencia [texx]X^2+Y^2=1[/texx] no hay puntos del infinito.

Saludos. 
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« Respuesta #10 : 10/07/2010, 01:52:22 am »

Hola.

Estoy tratando de seguir el curso y a la vez ir estudiando de mis apuntes. Me encuentro con un problema: me han definido espacio proyectivo de una forma distinta. Mi definición de espacio proyectivo:
Sea [texx]V[/texx] un espacio vectorial de dimensión [texx]n+1[/texx] sobre [texx]K[/texx], con [texx]n[/texx] un entero mayor o igual que [texx]-1[/texx]. Al conjunto [texx]P(V)[/texx] de los subespacios de [texx]V[/texx] de dimensión [texx]1[/texx] se le denomina espacio proyectivo asociado a [texx]V[/texx]. Se dirá que [texx]P(V)[/texx] tiene dimensión [texx]n[/texx].

¿Hay diferencia entre la definición del curso y la que pongo arriba? Parece que en mi definición, dado un espacio vectorial (sobre [texx]K[/texx]) obtengo sólo un espacio proyectivo; mientras que en la dada en el curso, puedo ir obteniendo distintos espacios proyectivos (fijado el espacio vectorial [texx]V[/texx] sobre [texx]K[/texx]) según vaya variando la aplicación [texx]\pi[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #11 : 10/07/2010, 04:01:24 am »

¿Hay diferencia entre la definición del curso y la que pongo arriba? Parece que en mi definición, dado un espacio vectorial (sobre [texx]K[/texx]) obtengo sólo un espacio proyectivo; mientras que en la dada en el curso, puedo ir obteniendo distintos espacios proyectivos (fijado el espacio vectorial [texx]V[/texx] sobre [texx]K[/texx]) según vaya variando la aplicación [texx]\pi[/texx]

Son definiciones equivalentes. Ten en cuenta que la aplicación [texx]\pi[/texx] dada por: 

[texx]\forall v,w\neq 0: \pi (v) = \pi (w) \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}: v= \lambda w[/texx]

no es ni más ni menos que la representación de la igualdad de clases de la relación de equivalencia [texx]\sim{}[/texx] en [texx]V-\left\{{0}\right\}[/texx]. Para [texx]w\neq{0}[/texx] su clase de equivalencia es [texx][w]=<w>-\left\{{0}\right\}[/texx] lo cual determina un subespacio de [texx]V[/texx] de dimensión [texx]1[/texx] (la ausencia del vector nulo es irrelevante). Reciprocamente, dado un subespacio [texx]W[/texx] de [texx]V[/texx] de dimensión [texx]1[/texx], tenemos [texx]W=<w>[/texx] para un [texx]w\neq{0}[/texx] lo cual determina una clase de equivalencia.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 10/07/2010, 04:39:47 am »

Gracias Phidias.

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial [texx]V[/texx] sobre [texx]K[/texx] sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación [texx]\pi[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #13 : 10/07/2010, 05:08:18 am »

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial [texx]V[/texx] sobre [texx]K[/texx] sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación [texx]\pi[/texx].

Así es.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 10/07/2010, 08:25:22 am »

Gracias Phidias.

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial [texx]V[/texx] sobre [texx]K[/texx] sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación [texx]\pi[/texx].

Saludos.

Hola *Rafa*. Ya he hecho la modificación.
Siento no haber añadido nada últimamente, pero esta semana he estado de vacaciones y no he parado por casa. En breve haré otro ataque al curso.

Un saludo!
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« Respuesta #15 : 23/07/2010, 08:04:01 pm »

Hola Gerard,

Yo me ofrezco, si parece bien a los presentes y a ti por supuesto, en ayudarte a ir escribiendo algunos temas del curso. En principio, sería cuestión de ponerse en contacto y organizarse un poco para que no resulte un caos (puede que yo use otras definiciones y notaciones). Por ejemplo, yo podría dedicarme a presentar determinados temas, y tú otros. Así te quitas un poco de trabajo de encima.

Bueno, ahí queda mi propuesta ver que os parece.

Saludos.
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