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Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración  (Leído 33457 veces)
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« Respuesta #20 : 14/01/2010, 07:29:48 pm »

Creo que das demasiadas vueltas Sabio, y además cometes algún error que ya le he aclarado a aesede, veamos si puedo simplificar un poco tu razonamiento y corregirlo:

Una vez descompuesta la integral en suman de dos integrales, resulta que el primer sumando se corresponde con una integral inmediata:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}\ dx[/texx]

Y el segundo podemos resolverlo mediante substitución con el cambio   [texx]x =e^t[/texx]   [texx]dx=e^tdt[/texx]:

NOTA: Recuerda que el método de substitución siempre nos exige un cambio de variable de la forma [texx]x=x(t)[/texx] que sea invertible y válido en todo el dominio de la función (no solo de este sumando sino de toda la función subintegral, piensa que lo que estamos haciendo es resolver una EDO, muy sencillita pero ... es toda una señora ecuación diferencial ordinaria de primer orden).

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}tdt[/texx]

El resto ya es fácil. Solo hay que deshacer el cambio de variable y tenemos la primitiva del segundo sumando.

Nota, Sabio, que el cambio de variable que hemos utilizado esta vez es invertible y tiene validez en todo el dominio de la función subintegral que resulta ser [texx]x>0[/texx].

Esa forma de resolverlo es perfectamente conforme con el planteamiento dado en la teoría para el método de substitución.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:

Entendido!! Ya le voy cogiendo el hilo a lo que intentas decirnos, no tenía idea de eso, es mejor el cambio con la función inversa [texx] x = e^\theta[/texx], y, además, sale sin dar tantas vueltas, es cierto,

Estupendo va el curso,

Seguimos hablando
       :guiño:
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Las cosas pasan es por algo, y no hay mal que por bien no venga dicen en mi tierra...
aesede
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« Respuesta #21 : 15/01/2010, 01:47:00 am »

El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

Vamos a intentar :guiño: jajaja

9)

El cambio vendría dado por: [texx]x = e^t[/texx] con lo que [texx]dx = e^t dt[/texx]

Así, la integral quedaría: [texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(e^t)}{e^t} e^t dt = \displaystyle\int_{}^{} t dt = \displaystyle\frac{t^2}{2} + c[/texx]

Si [texx]x = e^t[/texx] entonces su inversa es: [texx]t = ln(x)[/texx].

Reemplazando: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10)

a) para la integral del segundo término hacemos el cambio: [texx]x = 2t[/texx], con lo que [texx]dx = 2dt[/texx]

Entonces: [texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{4 dt}{4 (t^2+1)} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dt}{t^2+1} = arctan(t) + c[/texx]

Como [texx]x = x(t)[/texx] es biyectiva, admite inversa: [texx]t = \displaystyle\frac{x}{2}[/texx].

Volvemos a variable original: [texx]y = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c[/texx]

b) la integral del tercer término me desconcertó un poco, porque no sé cómo hacer el cambio para que la [texx]x = x(t)[/texx] "me sirva".

Cuando pueda sigo con los demás. Un saludo :sonrisa:
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Jabato
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« Respuesta #22 : 15/01/2010, 04:11:48 am »

Esto ya parece otra cosa, aesede. Vamos bien.

Date cuenta solo de un detalle aesede, en el primer ejercicio de aplicación utilicé este mismo cambio de variable, y tuve mis problemas, debido precisamente a que el cambio no era válido para valores negativos de [texx]x[/texx], pero en este caso no hay problema porque la función no existe para esos valores. La primitiva que estamos calculando es por lo tanto válida para todo el dominio de la función, igual que en el ejercicio de aplicación citado.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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aesede
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« Respuesta #23 : 17/01/2010, 10:37:07 pm »

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

5) Se pide resolver la integral por integración por suma, por lo que entiendo que la idea es transformar al integrando en una suma de funciones racionales.

5.1) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}[/texx]

5.1.1) Si se nos dá la libertad de hacerlo, podemos considerar que [texx]f[/texx] tiene primitiva inmediata, a saber: [texx]F(x) = arctan(x) + c[/texx].

5.1.2) Si podemos trabajar con números complejos, podemos descomponer el integrando en una suma de fracciones (método de coeficientes indeterminados). Este método no se expone explícitamente en el curso, pero supongo que es lo que tratará el capítulo II.

El resultado que obtengo con éste método es [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2i} ln \left |{\displaystyle\frac{ix+1}{ix-1}}\right | + C[/texx]. ¿Es correcto?

5.2)[texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

La expresión [texx]1-x^2[/texx] puede escribirse: [texx](1-x)(1+x)[/texx]. Ahora bien, una vez factorizado el denominador podemos escribir el integrando de esta forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} (\displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+1}) dx[/texx]

y si aplicamos el método pedido (descomponemos el integrando como suma de dos funciones) tenemos:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{A}{x-1} dx + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{B}{x+1} dx[/texx]

Nos queda encontrar los valores de A y B. Claramente se ve que el integrando tiene que cumplir: [texx]A(x+1)+B(x-1)=1[/texx] para todo valor de x. Si hacemos [texx]x=1[/texx] y [texx]x=-1[/texx] llegamos a que [texx]A=-1/2[/texx] y [texx]B=-1/2[/texx].

PREGUNTA: ¿no se debería exigir que los valores de x que elija pertenezcan al dominio de la función?

Una vez que conocemos estos valores y que descompusimos al integrando en otras dos funciones racionales "más sencillas" (que podemos resolverlas por sustitución, mediante los cambios: [texx]x=t+1[/texx] y [texx]x=t-1[/texx] respectivamente) llegamos al resultado:

[texx]y = - \displaystyle\frac{1}{2} ln|x-1| + \displaystyle\frac{1}{2} ln|x+1| + c[/texx]

Espero no haberme adelantado con temas del segundo capítulo, y pido disculpas de antemano si lo hice, pero es la única forma que se me ocurrió para resolver aplicando el método que se pedía en el enunciado :sonrisa:

6) Para demostrar que tanto [texx]y_1[/texx] como [texx]y_2[/texx] son primitivas de la misma función, podemos derivar y ver si los resultados que obtenemos son los mismos.

6.1) [texx]y_1 = arctan(x) \Longrightarrow{} y_1' = \boxed{\displaystyle\frac{1}{1+x^2}}[/texx]

6.2) [texx]u = \displaystyle\frac{1}{x} \Longrightarrow{} y_2 = arctan(\displaystyle\frac{1}{x}) = arctan(u) \Longrightarrow{} y_2' = \displaystyle\frac{u}{1+u^2} = \boxed{- \displaystyle\frac{1}{1+x^2}}[/texx]

Las dos expresiones difieren en signo. No sé qué me estoy pasando por alto.
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aesede
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« Respuesta #24 : 17/01/2010, 10:47:46 pm »

Algunas preguntitas puntuales:

I. En la tabla de primitivas inmediatas, primer caso. ¿No se debería restringir a [texx]p[/texx] a tomar valores enteros?

II. Al método de reducción (sección 1.3.3) lo asocio con integrales de la forma [texx]y'=P(x) e^x[/texx], como por ejemplo la propuesta en el ejercicio de aplicación 2: [texx]y'=x^2 e^x[/texx], en la que tengo que resolver tantas integrales por partes como indique el grado de [texx]P(x)[/texx]. La pregunta es: ¿este método tiene otras aplicaciones concretas, más allá de ésta?

III. ¿A qué llamamos "función subintegral"?

IV. ¿El método de integración por Racionalización (sección 1.3.2) lo vamos a analizar en detalle en el próximo capítulo? Porque sino quizás algún ejemplo ayude a comprenderlo un poco más. Te agradecería también ejemplos del método por derivación respecto de un parámetro. Hay cosas que no veo del todo claras, por ejemplo, ¿por qué se valoriza [texx]p=1[/texx]? Quizás sería interesante que expongas la resolución de los ejercicios de aplicación de este método.

Gracias de antemano Jabato, saludos :guiño:
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Jabato
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« Respuesta #25 : 18/01/2010, 02:25:18 am »

Efectivamente, la descomposición de una función racional en suma de fracciones simples es el método que explicaré cuando lleguemos a la integración de funciones racionales. No procede ahora la explicación de forma general.

Es correcto considerar esa integral como inmediata, aunque no era el método que se pedía.

Si me explicas como has integrado esta expresión:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx[/texx]

te diré si es correcto tu resultado.

Prueba a hacer el cambio de variable [texx]x=Tan(t)[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte[/texx]

En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.

¿Cuales son las primitivas de estas funciones?

[texx]\displaystyle\frac{1}{x-i}[/texx]                    [texx] \displaystyle\frac{1}{x+i}[/texx]

Pues que yo sepa no pueden calcularse en [texx]R[/texx] ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx[/texx]                     [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

y proceder a restar los resultados.

La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)[/texx]

entonces resulta que:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?


[texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]                 [texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte[/texx]


El cálculo de los coeficientes [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:

[texx]\displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:

[texx]A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.

El ejercicio de aplicación número 6 es erróneo, no hagas caso al enunciado. Se me coló a mi el error.

A tus tres últimas preguntas:

I) No. Prueba a calcular el límite:   [texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(x+h)^p-x^p}{h}[/texx]

II) Si, que yo conozca existen varias, por ejemplo existe un método alternativo (basado en una fórmula de reducción) para resolver integrales racionales con raíces imaginarias múltiples. Y también para resolver integrales de la forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}Sen^m(x)Cos^n(x)dx[/texx]

Y me imagino que habrá mas casos. Son método bastante complejos y no se suelen aplicar pero ahí estan por si alguien los necesita.

III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx[/texx]

es [texx]f(x)[/texx]

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #26 : 18/01/2010, 05:41:40 pm »

Hola Jabato :guiño:

Si me explicas como has integrado esta expresión:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx[/texx]

te diré si es correcto tu resultado.

Prueba a hacer el cambio de variable [texx]x=Tan(t)[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte[/texx]

En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.

¿Cuales son las primitivas de estas funciones?

[texx]\displaystyle\frac{1}{x-i}[/texx]                    [texx] \displaystyle\frac{1}{x+i}[/texx]

Pues que yo sepa no pueden calcularse en [texx]R[/texx] ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx[/texx]                     [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

y proceder a restar los resultados.

La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)[/texx]

entonces resulta que:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?


[texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]                 [texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte[/texx]


El cálculo de los coeficientes [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:

[texx]\displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:

[texx]A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.

Evidentemente que mi error está en considerar que: [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x-i} = ln \left |{x-i}\right | + c[/texx]. De todos modos espero la explicación :sonrisa:

Y, con respecto al método de coeficientes indeterminados, creo que sería mejor que esperemos hasta el capítulo II y lo analicemos bien.

III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx[/texx]

es [texx]f(x)[/texx]

Ah! Entiendo. Función subintegral = integrando.
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aesede
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« Respuesta #27 : 18/01/2010, 05:58:06 pm »

Te voy actualizando mi estado en el curso :cara_de_queso:

  • Integración inmediata... OK
  • Integración por suma de funciones... OK
  • Integración por partes... OK
  • Integración por composición... OK
  • Integración por sustitución... OK
  • Integración por reducción... OK
  • Integración por racionalización... NO LO TENGO DEL TODO CLARO
  • Integración por derivación respecto a un parámetro... NO LO TENGO DEL TODO CLARO

Voy a ver los resultados de los ejercicios de aplicación que publicaste de estos dos últimos métodos a ver si los entiendo.

Gracias! Un saludo.
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Jabato
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« Respuesta #28 : 18/01/2010, 06:18:26 pm »

Pues sobre la forma en que resolví la integración de la ecuación:

[texx]y'=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}[/texx]

no se que más puedo añadir a lo que ya expuse aquí y en el ejercicio de aplicación correspondiente. Si me dices cuales son las dudas que aún tienes intentaré aclarártelas. Lo que hice es correcto pero lo que no puede hacerse, al menos sin algunas explicaciones previas, es lo que hiciste tú para resolverlo. Eso creo que ya te ha quedado claro, donde está el error y el porqué es un error.

Sobre la descomposición de una función racional en suma de fracciones simples lo veremos en detalle en el próximo capítulo. El método de los coeficientes indeterminados es otra cosa aunque ambas guardan relación pero no debes confundir una cosa con la otra.

Sobre los métodos de racionalización y derivación respecto a un parámetro veremos alguna cosa más, en los capítulos sucesivos, sobre todo del primero que se usa amplimente. Cuando exponga la solución del ejercicio de aplicación que habla del método de racionalización creo que se te aclararán muchas dudas. Ten paciencia.

El segundo es un método que tiene una aplicación bastante limitada y aunque es útil en algunos casos no suele usarse demasiado. Revisa la teoría y si algo no entiendes pues ... lo vemos.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #29 : 20/01/2010, 10:10:43 am »

Mi problema es que desconozco totalmente las derivadas y las integrales. ¿Que es ¿[texx]dx[/texx]?
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Jabato
Visitante
« Respuesta #30 : 20/01/2010, 12:21:17 pm »

Pues no quisiera desanimarte demasiado, Illuminatus, pero ¿que nivel tienes de matemáticas? Si dices que no sabes lo que es una derivada pues no entiendo para qué te has apuntado. Este curso no puede enseñarte esas cosas, y si me entretengo en explicartelas pues solo conseguiré destrozar el curso aburriendo a los demás. Si es cierto que ni tan siquiera sabes lo quees una derivada pues será mejor que renuncies al curso, y lo siento de veras, pero no vas a enterarte de nada, y mucho menos cuando empecemos a hablar de ecuaciones diferenciales.

Lástima. Jabato.
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Illuminatus
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« Respuesta #31 : 20/01/2010, 12:26:28 pm »

Pues sí, tengo un nivel de 1ro de Batxiller, tengo 15 años... Así que no puedo la verdad, me dijiste que si que podia, pues me inscribí, pero creo que es mejor todo a su tiempo.
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« Respuesta #32 : 04/03/2010, 04:00:37 pm »

Jabato, una consulta con respecto a las integrales binomias.

Planteas que sólo pueden racionalizarse si es entero alguno de los tres números: [texx]p[/texx], [texx]q[/texx], [texx]p+q[/texx], y analizas cada caso.

Si consideramos que [texx]m,n \in \mathbb{Z}[/texx], tenemos:
- para el primer caso: [texx]p[/texx] es entero y [texx]q[/texx] es racional.
- para el segundo caso: [texx]p+q[/texx] es entero, y [texx]q[/texx] es racional.

¿Qué pasaría si [texx]m[/texx] es divisible por [texx]n[/texx]? Es decir, ¿hay un tercer caso en el que [texx]q[/texx] sea entero?

Gracias, saludos :sonrisa:
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Jabato
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« Respuesta #33 : 04/03/2010, 05:55:57 pm »

Piensa que, dada la forma simétrica de la integral binomia que he utilizado, el hecho de que p ó q sean enteros es indiferente, hay dos casos solo:

1º Si alguno de los exponentes, uno cualquiera de ellos, es entero y el otro racional.

2º Si la suma de los exponentes es entera y ambos son por supuesto racionales.

No existen más casos siempre que consideremos que los exponentes son racionales claro, que es condición necesaria para que la integral sea binomia.

¿Está claro?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #34 : 04/03/2010, 06:00:35 pm »

Perfecto. Gracias Jabato :guiño:
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« Respuesta #35 : 13/06/2010, 01:17:02 am »

Muy bueno el curso, Saludos.
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« Respuesta #36 : 13/06/2010, 10:44:29 pm »

Estimado Amerim:

Para poder participar en el curso debes inscribirte en el mismo.
El curso consta de 3 secciones: una de organización, otra de teoría y ésta misma que es de consultas.

Debes ir a la sección de organización y responder con el mensaje "me inscribo al curso".
El enlace es el siguiente:

Organización curso "Métodos de integración"

Una vez ahí, aprovecha a leer todas las indicaciones de cómo participar.

Saludos
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camicasilo
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avanzando...


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« Respuesta #37 : 10/10/2010, 02:10:18 am »

Como estan compañeros de clase:

realice algunas integrales y me encantaría que me diran sus comentarios de las soluciones, probablemente me suelo complicar y escojer el camino más dificil para resolverlas tal vez ud me ayuden a optimizar mi rendimiento para asi volverme una flecha veloz.... :cara_de_queso:
igual son las mas básicas y les van a parece faciles.

1. [texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=[/texx]

Como
[texx]\displaystyle\int f(x)^{n}f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n} f(x)-\displaystyle\int f(x) nf(x)^{n-1}f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n} f(x)-n\displaystyle\int (f(x) f(x)^{n-1})f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n+1}-n\displaystyle\int (f(x)^{n})f'(x)dx[/texx]

entonces

[texx]\displaystyle\int f(x)^nf'(x)+ n \displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1}[/texx]
[texx](n+1)\displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1}[/texx]
[texx]\displaystyle\int f(x)^nf'(x)=\frac {f(x)^{n+1}}{n+1}[/texx]


utilizamos esta formula y solucionamos la integral muy fácilmente:

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}arctan(x)^2[/texx]

2. [texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x}dx=[/texx]

Si [texx]u=x^2+2x[/texx] [texx]du=2x+2dx[/texx]   [texx]du=2(x+1)dx[/texx]  [texx]\frac{du}{2(x+1)}=dx[/texx]

[texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{u}\frac{du}{2(x+1)}=\displaystyle\int\frac{u}{2}du=2ln|u|+C= \textcolor{red}{\frac{1}{2}} ln|x^2+2x|+C[/texx]

Jabato me propuso otra solución

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx= [/texx]  Si [texx]arctanx=u\rightarrow{\frac {du}{dx}}=\frac {1}{1+x^2}[/texx]  luego [texx]dx=1+x^2du[/texx]

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx=\displaystyle\int u du=\frac {1}{2}u^2+C=\frac {1}{2}arctan^2(x)+C[/texx]






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« Respuesta #38 : 10/10/2010, 06:08:53 am »

Para la primera es mucho más directo hacer la substitucción [texx]x=Tan\ u[/texx]


[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=\displaystyle\int\frac{du}{u}=\displaystyle\frac{1}{2}(ArcTan\ x)^2+Cte[/texx]

En la segunda creo que tienes un error:


[texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{2x+2}{x^2+2x}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{u}=\displaystyle\frac{1}{2}Ln|x^2+2x|+Cte[/texx]

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #39 : 11/10/2010, 02:14:52 am »

Continuo con los ejrcicios que he resuelto:

3. [texx]\displaystyle\int sec^3 (x) Tan(x)dx=\displaystyle\int Sec(x)Sec^2(x)Tan(x)dx[/texx]
Si [texx] u=Tan(x)[/texx] [texx]\frac{du}{dx}=Sec^2(x)[/texx]  [texx]dx=\frac {du}{Sec^2(x)}[/texx]
y [texx]u^2=Tan^2(x)\rightarrow{u^2=Sec^2(x)-1}[/texx]  entonces [texx]Sec(x)=\sqrt{u^2+1}[/texx]

[texx]\displaystyle\int Sec(x)Sec^2(x)Tan(x)dx=\displaystyle\int u \sqrt{u^2+1}du[/texx]

Si [texx]v=\sqrt{u^2+1}[/texx]   [texx]\frac{dv}{dx}=\frac{2u}{2\sqrt{u^2+1}}[/texx]  [texx]dx=\frac{dv\sqrt{u^2+1}}{u}[/texx]

[texx]\displaystyle\int u \sqrt{u^2+1}\frac{dv\sqrt{u^2+1}}{u}[/texx]
[texx]\displaystyle\int vvdv[/texx]
[texx]= \frac{v^3}{3}+x[/texx]
[texx]= \frac{\sqrt{(Tan^2(x)+1)^3}}{3}[/texx]

4. [texx]\display\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=[/texx]  [texx]u=e^x+1[/texx] [texx]\frac{du}{dx}=e^x[/texx] [texx]dx=\frac{du}{e^x}[/texx] entonces [texx]\display\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|e^x+1|+C[/texx]


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