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Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración  (Leído 33353 veces)
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Jabato
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« : 06/01/2010, 05:24:15 am »


Este curso está basado en el texto CALCULO INTEGRAl de P. PUIG ADAM, que podeis encontrar en la editorial Gomez Puig, ediciones.

Los requisitos previos para poder seguir el curso con cierta facilidad es tener sobretodo unos conocimientos aceptables de Matemática elemental a nivel de secundaria y algo más avanzados de funciones reales de variable real y sobre todo del concepto de Integral, ya que pretendo que el curso sea eminentemente práctico, eludiendo la retórica y entrando directamente al grano, es decir, buscando sobretodo aprender a resolver integrales a nivel de experto, enfocando el curso sobre todo al cálculo de primitivas. Claro está que si se considerara oportuno se podrán realizar, a petición de los alumnos, exposiciones de tipo teórico relativas al concepto de integral, pero de forma puntual, el objetivo del curso no es ése sino aprender a integrar, al menos ese es el enfoque que me gustaría darle. Es un curso modesto, sin grande alardes teóricos, pero los conocimientos que en él se adquirirán son muy prácticos, dentro del ámbito de la matemática. Procuraré pues aportar un gran número de ejercicios resueltos y ejemplos que comentaremos en detalle.

*** EL CURSO TENDRA UNA SEGUNDA PARTE EN LA QUE SE TRATEN LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES. AUNQUE ESTE TEMA DA PARA UN CURSO COMPLETO INDEPENDIENTE PERO QUE ENCAJARÍA TAMBIÉN SIN PROBLEMAS COMO PROLONGACIÓN DE ÉSTE.

Realmente el cálculo de funciones primitivas es un problema más próximo, en mi opinión, a la resolución de ecuaciones diferenciales que al cálculo de integrales definidas propiamente dichas, ya que el primero obedece a la resolución de una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

[texx]\boxed{y'=f(x)}[/texx]

cuyo objetivo no es más que dar la solución general a dicha ecuación, cuando el segundo problema, el de cálculo de integrales definidas, trata de evaluar más bien el valor de una medida (áreas, longitudes, valores medios, etc), es por eso que justifico la inclusión de esta segunda parte del curso como prolongación de la primera llevando el problema hasta sus últimas consecuencias, es decir, al caso más general de las ecuaciones diferenciales de primer orden, explícitas e implícitas:

[texx]\boxed{y'=f(x,y)}[/texx]            [texx]\boxed{F(x,y,y')=0}[/texx]

e incluso a las de orden superior:

[texx]\boxed{F(x,y,y',y'', \cdots, y^{(n})=0}[/texx]

lo que nos da una panorámica muy sencilla y completa de cual va a ser el desarrollo del curso, a grandes rasgos.

Este punto de vista, que es muy personal y tan discutible como cualquier otro, es el que justificaría la inclusión de esta segunda parte del curso, aunque verdaderamente dicha visión no coincide con la visión general que suele darse en las aulas debido a la relación existente entre uno y otro problema mediante la regla de Barrow, pero esa relación no debería desvirtuar la diferencia fundamental que existe entre ellos y que es muy clara bajo este prisma, y que demuestra que el objetivo del cálculo de integrales definidas es claramente muy distinto al problema del cálculo de funciones primitivas.

La segunda parte del curso se tratará en igual forma que la primera, es decir, minimizando la parte teórica y tratando de dotar al alumno de una ejercitación a nivel de experto en la resolución de dichas ecuaciones diferenciales, por supuesto con la inclusión de multitud de ejercicios resueltos, ejemplos y otros propuestos para que los propios alumnos traten de resolver. La guía del curso no sería en este caso ningún libro sino unos apuntes en formato PDF que podéis encontrar en Internet en la dirección:


que son bastante aceptables, pero que sobre todo se adaptan muy bien a las necesidades del curso, aunque adolecen de una ausencia significativa, me refiero a las ecuaciones lineales, que aunque aparecen en el texto, el tratamiento que les dá no es el más adecuado para su resolución por lo que tendremos que suplementar con algún otro texto que de momento no tengo demasiado claro cual pueda ser, aunque seguro que encontramos muchos que traten bien y en profundidad el tema.

Para la cuestión de los problemas resueltos de ecuaciones diferenciales tengo idea de usar el "Makarenko":

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS de A. Kiselov, M. Krasnov y G. Makarenko

libro muy bueno y muy conocido, sobre todo en el ámbito de las ingenierías, y que podeis bajaros en Internet desde diversos sitios, aunque pagando, pero dado que no es necesario seguir un texto para la aplicación al curso ya que solo interesan los problemas resueltos que contiene y no la teoría, cualquier otro aporte de ejercicios y problemas por parte de los alumnos será bienvenido. Los requisitos previos para poder seguir adecuadamente esta segunda parte del curso no son tampoco demasiado exigentes, aunque no cabe duda que el alumno debe estar más ó menos familiarizado con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, saber lo que son y para qué sirven, ya que con eso creo que debería ser suficiente para sacar un buen rendimiento al curso.

Estoy convencido de que el contenido de este curso "casi" garantiza a todo aquél que lo realice la habilidad de saber integrar casi todo lo que sea integrable en el ámbito de las funciones reales de variable real, de forma que espero que nos aproveche a todos, a mí también, puesto que también espero mejorar mis conocimientos sobre esta materia.

La fecha de comienzo no está decidida de momento y no habrá inconveniente en que haya inscripciones estando el curso ya avanzado, ya que cada alumno puede seguir la parte que más le interese y obviar las demás.

Para responder a las consultas, dudas, ó lo que fuere, tendréis que inscribiros previamente, es condición del foro, posteando una respuesta en este mismo hilo, diciendo "Me inscribo", o algo por el estilo.

¡Animo! Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:

Aquí podréis hacer las consultas, observaciones y proponer los problemas que querais y donde realizaremos ejemplos y ejercicios de aprendizaje y práctica del curso. Será el foro donde se debatirán los conceptos, las dudas y todo lo que queráis relacionado con el curso.

Os mantendré informados de las inscripciones que se vayan produciendo aquí:

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Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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aesede
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« Respuesta #1 : 13/01/2010, 10:40:16 pm »

Hola Jabato.

¿Las respuestas a los ejercicios las ponemos acá? ¿O las mandamos por MP?
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« Respuesta #2 : 13/01/2010, 10:45:56 pm »

Contesto yo: Lo ideal sería poner todo acá, para compartirlo con todo el mundo.
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aesede
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« Respuesta #3 : 13/01/2010, 11:20:10 pm »

Ok :guiño:

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=ln(x)[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c[/texx]

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c[/texx]

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^3+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c[/texx]

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^2-6[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c[/texx]

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=5-x^2[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c[/texx]

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=3+x^4[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c[/texx]

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=a+bx^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c[/texx]

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=2-x^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c[/texx]

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: [texx]y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: [texx]y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c[/texx]

11) Se resuelve partiendo de que [texx]\frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2}[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c[/texx]

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.
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Phicar
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« Respuesta #4 : 14/01/2010, 12:32:57 am »

Bro es que creo que el ejercicio de aplicacion 6 esta mal o yo estoy errado, porque las derivo y una es negativa y la otra no :guiño:.....


Lindo curso, by the way :sonrisa:
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Dogod
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« Respuesta #5 : 14/01/2010, 01:15:04 am »

14. Por sustitución: Finalmente se integra: [texx]-\displaystyle\frac{1}{4}10^u.du[/texx]. Y como la primitiva las integrales de la forma

[texx]a^u = \displaystyle\frac{1}{Ln(a)}a^u + C,[/texx] entonces la respuesta es:

[texx]y = -\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{10^{5 - 4x}}{Ln(10)}[/texx].


La 15 también es por sustitución. Se integra [texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{-u}.du[/texx] Y la respuesta es:
[texx]
y = -\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x^2 - 1} + C[/texx]


La 16 creo que se podría hacer con el cambio: [texx]Sen(x) = \displaystyle\frac{2z}{1 + z^2}, cos(x) = \displaystyle\frac{1 - z^2}{1 + z^2}[/texx], [texx]dx = \displaystyle\frac{2dz}{1 + z^2}[/texx]. Pero también podemos ver que el numerador es la derivada del denominador, así:

[texx]
u = sen(x) + cos(x), du = cos(x) - sen(x).[/texx] De modo que nos queda:

[texx]-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{u}du = -Ln(u) + C = -Ln(sen(x) + cos(x) + C[/texx]


Hasta pronto.
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Las cosas pasan es por algo, y no hay mal que por bien no venga dicen en mi tierra...
Jabato
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« Respuesta #6 : 14/01/2010, 01:23:22 am »

Ok :guiño:

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=ln(x)[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c[/texx]

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c[/texx]

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^3+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c[/texx]

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^2-6[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c[/texx]

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=5-x^2[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c[/texx]

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=3+x^4[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c[/texx]

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=a+bx^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c[/texx]

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=2-x^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c[/texx]

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: [texx]y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: [texx]y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x + c[/texx]

11) Se resuelve partiendo de que [texx]\frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2}[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c[/texx]

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.

Vamos a ver aesede, parece que te defiendes bien con las integrales, pero a la hora de comentar tus respuestas debo hacer algunas matizaciones. Según he dicho en la parte de teoría, el método de substitución se basa en un cambio de la forma:

[texx]x=x(u)[/texx]

Dicho cambio de variable, debe cumplir dos condiciones, debe ser invertible y debe tener validez en todo el dominio de la función subintegral. Bien, entonces las soluciones a los ejercicios que aportas, vistas como aplicación del método de substitución, adolecen de algunos "defectillos":

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma [texx]x=x(u)[/texx] y no al revés [texx]u=u(x)[/texx]. Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Jabato
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« Respuesta #7 : 14/01/2010, 01:34:36 am »

Phicar, por favor, si deseas intervenir en el curso debes inscribirte primero. Puedes hacerlo en el hilo de organización de este curso, tienes un enlace para hacerlo al comienzo e este hilo, pero mientras no te inscribas te agradeceré que te abstengas.

Gracias, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #8 : 14/01/2010, 02:03:43 am »

Resolución del ejercicio 1 por el método de substitución:

[texx]y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}[/texx]

Realizamos el cambio de variable:

[texx]x=e^t[/texx]      [texx]dx=e^tdt[/texx]              [texx]y=\displaystyle\int_{}^{}t^2dt=\displaystyle\frac{t^3}{3}+Cte[/texx]

y para deshacer el cambio de variable aplicamos la substitución inversa [texx]t=t^{-1}(x)=Ln(x)[/texx], con lo que llegamos a la solución final:

[texx]\boxed{y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + Cte}[/texx]

Resolución del ejercicio 1 por el método de composición:

[texx]y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}[/texx]

Teniendo en cuenta que:

[texx]\displaystyle\frac{dx}{x}=d(Ln(x))[/texx]

resulta que:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}Ln^2(x)d(Ln(x))=\displaystyle\int_{}^{}u^2du=\displaystyle\frac{1}{3}u^3+Cte[/texx]

que nos permite ya resolver directamente la integral por composición, obteniéndose, claro está, el mismo resultado que antes.

Quizás hay demasiadas "sutilezas" en todo esto, estoy completamente de acuerdo en el caso que nos ocupa, pero hay otras muchas integrales, y las veremos, donde no tener en cuenta este tipo de sutilezas puede llevarnos a errores garrafales.

Resolución del ejercicio 1 por partes (como producto) : También es posible usar integración por partes, ya que considerando que:

[texx]u=Ln^2(x)[/texx]       [texx]v=Ln(x)[/texx]

resulta:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)-2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx\qquad\longrightarrow{}\qquad 3\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)[/texx]

que nos conduce directamente a la solución.

Mañana os pongo algunas otras soluciones del resto de ejercicios, y comentamos la jugada.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Jabato
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« Respuesta #9 : 14/01/2010, 05:22:08 am »

Otra cuestión es que dado que el cursillo trata de métodos y no de soluciones, y dado que en esta disciplina tampoco es demasiado extraño llegar a soluciones correctas usando métodos incorrectos, es por lo que os pediría que cada vez que mostreis un ejercicio resuelto aportéis el detalle del método empleado para resolverlo, ya que eso es lo que más interesa al caso. De hecho ya se ve que aesede ha llegado a soluciones correctas usando métodos, cuando menos cuestionables, y es un fenómeno que se repetirá a menudo a lo largo del curso. Pero ¡ojo!, la única forma de garantizar que las soluciones son correctas es ... aplicar correctamente los métodos.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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aesede
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« Respuesta #10 : 14/01/2010, 09:49:22 am »

Hola Jabato.

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma [texx]x=x(u)[/texx] y no al revés [texx]u=u(x)[/texx]. Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

Entiendo. Evidentemente, en la práctica no "afectó" la forma de expresar el cambio, pero seguramente debe tener un fundamento teórico que no logro ver. ¿Por qué es así?

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Estoy de acuerdo, sino no podría "ir y venir" con los cambios. ¿Ésto es aplicable también a los cambios que se hacen para resolver por composición? ¿O sólo para sustitución?

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Sinceramente, lo veía como dos formas distintas de expresar lo mismo. Quizás me ayudaría algún ejercicio resuelto de esos que, si aplicás incorrectamente el método, te llevan a "errores garrafales". Creo que ayudaría a entender mejor la diferencia, así que si no es mucho pedir... :sonrisa:

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

El segundo sumando es similar al ejercicio 1), con la salvedad que: [texx]y'=\displaystyle\frac{ln(x)}{x}[/texx]. De la forma incorrecta en que resolví los ejercicios en el post anterior, diría que se hace el cambio: [texx]u = ln(x)[/texx], y la integral se transforma en:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} u' u dx = \displaystyle\int_{}^{} u du = \displaystyle\frac{1}{2} u^2 + c = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Si hacemos el cociente tenemos que: [texx]\displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} = 2-5x[/texx], por lo tanto podemos simplificar el integrando por una función que es equivalente en todo el dominio de la primera. Ésto nos simplifica mucho los cálculos, ya que la integral se convierte en:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} (2-5x) dx = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c[/texx]

Quizás este ejercicio estaba pensado para algún otro método, pero me pareció menos rebuscado transformar el integrando para que tenga primitiva inmediata. (tengo un error cuando copié el resultado de la 10, me faltó el cuadrado de la x en el segundo término)

Saludos profe :guiño:
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« Respuesta #11 : 14/01/2010, 12:41:03 pm »

No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #12 : 14/01/2010, 03:02:43 pm »

Seguiré contestando a vuestras preguntas por orden de numeración de los ejercicios, así vamos recorriendo bien el tema. Sigo pues  con los ejercicios 1 al 8 y con las dudas de aesede.

Creo que es un error pensar que en el método de composición de funciones se utiliza un cambio de variable. No es correcto. En dicho método lo que se utiliza es la definición del diferencial de una función para tratar de reescribir la función subintegral en la forma:

[texx]f(x)f'(x)dx= f(x)d(u)[/texx]

que entonces puede aplicarse cuando es posible hacer que:

[texx]f(x)=v(u)[/texx]

Efectivamente pueden interpretarse tales asociaciones como "cambios de variable", pero no es tal cosa ó al menos no lo veo yo así.

La interpretación que debe hacerse según lo veo yo, (y según se redactó el dictado del curso) es la siguiente:

a) Cuando hacemos:

[texx]x=x(t)[/texx]

en el método de susbstitución lo que hacemos es substituir la variable [texx]x[/texx] por la variable [texx]t[/texx], cambio que podemos hacer siempre. Llegaremos a un resultado integrable ó no, pero el cambio lo podemos hacer siempre.

b) En el método de composición lo que hacemos es aplicar la definición de diferencial de una función:

[texx]f'(x)dx=du[/texx]

y no un cambio de variable propiamente dicho.

Aunque es cierto que los segundos pueden interpretarse a veces también como cambios de variable, pero no siempre. Ya te expuse algún caso.

Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.
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aesede
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« Respuesta #13 : 14/01/2010, 03:12:25 pm »

No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:

Hice cualquier cosa. No sé en qué estaba pensando. Tengo la cabeza en otro lado.

Eso me pasa por apurado, y por no pensar. Pido disculpas.

Vamos de nuevo:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2-5x}{x^2+4} dx = x + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2}{x^2+4} dx - 5 \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x}{x^2+4} dx + c[/texx]

La integral del segundo sumando la resolvemos haciendo el cambio: [texx]u = \displaystyle\frac{1}{2}x[/texx], con lo que [texx]du = \displaystyle\frac{1}{2} dx[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2dx}{x^2+4} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2 dx}{4 (\displaystyle\frac{1}{4} x^2+1)}= \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{1+u^2} = arctan(u) + c_1 = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c_1[/texx]

La integral del tercer término la resolvemos haciendo el cambio [texx]u = x^2+4[/texx], con lo que [texx]du = 2x dx[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{-5 x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{u'}{u} dx = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{u} = - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c_2[/texx]

Ahora sí, el resultado final es:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = x + arctan(\displaystyle\frac{1}{2} x) - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c[/texx]

Otra vez coloqué los cambios de la forma [texx]u=u(x)[/texx], supongo que cuando se está acostumbrado a algo es difícil dejarlo de lado. Vas a tener que tenerme paciencia :guiño: jaja

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #14 : 14/01/2010, 03:24:38 pm »

Un profesor de guitarra que tuve, hace ya muchos años, me decía que es mucho peor enseñar a un aficionado que sabe algo que a uno que no tiene ni idea, porque al primero hay que "desenseñarle" todo lo que hace mal. Y tenía mucha razón.

No estoy tratando de insinuar que seas un aficionado ni que hagas las cosas mál, aesede, entiéndeme, solo que en un curso que se llama "métodos de integración" convendría tener algún método para poder hablar de él. ¿No te parece?

El problema es que cuando entramos en el campo de las integrales indefinidas, toda la exactitud que tenían las matemáticas que habíamos estudiado desaparece como por arte de magia, empezamos a usar cosas que no son funciones como si lo fueran, nos olvidamos de los dominios y los codominios y de las reglas que deben satisfacer las funciones invertibles, continuas, derivables, etc. y entonces parece que todo vale. Y lo malo es que el sistema funciona. Muchas veces llegamos a resultados correctos usando métodos incorrectos, y claro, después pasa lo que pasa. Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método. Éste que os propongo yo, ó cualquier otro, me da igual, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto. Esa es la mejor manera de aprender esta técnica. Después, una vez dominemos la técnica, entonces es cuando empezamos a crear arte.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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aesede
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« Respuesta #15 : 14/01/2010, 03:27:28 pm »

Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.

No lo tomes a mal. No estoy cuestionando lo que decís, ni mucho menos.

Es simplemente que, cuando lo estudié, lo estudié de otra forma. Somos animales de costumbres, y "desacostumbrarnos" a algo cuesta. Voy a pensar en el asunto, y tratar de entenderlo.

Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método, éste que os propongo yo, ó cualquier otro, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto.

Estoy de acuerdo, justamente para eso hago el curso.

Saludos :guiño:
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Jabato
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« Respuesta #16 : 14/01/2010, 04:04:49 pm »

El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

El 11, convendría resolverlo aplicando uno de los métodos que establece el curso. Esa fué una exigencia que os puse justo antes de plantear los ejercicios de práctica:

"... y para los que la única condición que se os pone es la de resolverlos usando alguno de los métodos explicados en el curso ..."

¿Que método es el que aplicas aesede? Sinceramente no lo reconozco. ¿Podías hacer la exposición detallada y razonar como llegas a eso?

Si me permitis una sugerencia yo haría esto:

Sabemos que las soluciones de dicha ecuación son de la forma:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx[/texx]

y puesto que:

[texx]d(ArcTan(x/2))=\displaystyle\frac{2dx}{4+x^2}[/texx]

podemos reescribir la integral como:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}ArcTan(x/2)d(ArcTan(x/2)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}udu[/texx]


que nos permite aplicar el método de integración por composición de funciones y concluir que:


[texx]y=\displaystyle\frac{1}{4}ArcTan(x/2)+Cte[/texx]


Tu "diferencia de criterio" con el que he planteado aquí, aesede, parece estar en la consideración de que este método aplica un cambio de variable de la forma:

[texx]u=ArcTan(x/2)[/texx]

y no cabe duda que es un enfoque posible, pero ése no es el enfoque que pretendo dar en este curso.

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« Respuesta #17 : 14/01/2010, 04:20:01 pm »

EJERCICIO 9: [texx]y'=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}+Ln(x)}{x}[/texx]

Podemos descomponer la integral en dos sumandos, así:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx[/texx].

En donde, del lado izquierdo, hemos racionalizado la expresión [texx]\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}[/texx]. Esto lo hemos hecho de la siguiente forma: Multiplicamos numerador y denominador por [texx]\sqrt[ ]{x}
[/texx], y nos queda:

[texx]\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x}}x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}[/texx]


Bien, ahora que ya tenemos nuestras dos integrales procedemos a ver que en la segunda [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx
[/texx] podemos hacer una sustitución de la forma [texx]u = Ln(x)[/texx], entonces [texx]du = \displaystyle\frac{1}{x}[/texx]. Y nos queda:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx[/texx], hemos hecho un cambio de la forma [texx]x=x(u)[/texx], ya que podemos cambiar la integral de la siguiente forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx=\displaystyle\int_{}^{}f(u)x'(u)du[/texx], ahora:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}dx =[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \displaystyle\frac{u^2}{2} + 2x^{1/2} + C =[/texx]. (Deshaciendo el cambio de variable):


[texx]2\sqrt[ ]{x} + \displaystyle\frac{(Ln(x))^2}{2} + C[/texx]

Estaré mal en el concepto?

Un saludo
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Las cosas pasan es por algo, y no hay mal que por bien no venga dicen en mi tierra...
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« Respuesta #18 : 14/01/2010, 05:25:51 pm »

Creo que das demasiadas vueltas Sabio, y además cometes algún error que ya le he aclarado a aesede, veamos si puedo simplificar un poco tu razonamiento y corregirlo:

Una vez descompuesta la integral en suman de dos integrales, resulta que el primer sumando se corresponde con una integral inmediata:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}\ dx[/texx]

Y el segundo podemos resolverlo mediante substitución con el cambio   [texx]x =e^t[/texx]   [texx]dx=e^tdt[/texx]:

NOTA: Recuerda que el método de substitución siempre nos exige un cambio de variable de la forma [texx]x=x(t)[/texx] que sea invertible y válido en todo el dominio de la función (no solo de este sumando sino de toda la función subintegral, piensa que lo que estamos haciendo es resolver una EDO, muy sencillita pero ... es toda una señora ecuación diferencial ordinaria de primer orden).

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}tdt[/texx]

El resto ya es fácil. Solo hay que deshacer el cambio de variable y tenemos la primitiva del segundo sumando.

Nota, Sabio, que el cambio de variable que hemos utilizado esta vez es invertible y tiene validez en todo el dominio de la función subintegral que resulta ser [texx]x>0[/texx].

Esa forma de resolverlo es perfectamente conforme con el planteamiento dado en la teoría para el método de substitución.

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« Respuesta #19 : 14/01/2010, 06:15:27 pm »

Os recuerdo que hay todavía 9 ejercicios de aplicación que no habéis intentado. La idea era que esos ejercicios os sirvieran para entender los conceptos básicos.

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