Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(b) Si , demuestre que existe exactamente un tal que .
Supongo lo contrario, es decir que para todo o , como no es posible, entonces para todo , es decir que el conjunto es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un tal que . La unicidad no veo como probarlo.

Otra manera que encontré es la siguiente. Como , entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un tal que , luego el conjunto es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este . Luego , entonces , pero como , no puede suceder que , por lo que

El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: .

La primer demostración que hiciste me parece más clara.
Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  , o bien .

Luego, 1.
Esto da x < x, absurdo.

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(c) Si , demuestre que existe al menos un tal que .
Humm por contradicción, supongamos que para todo se cumple o , como no puede suceder que , para todo , entonces para todo , pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

Esta demostración no me gusta mucho, hummmm

No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

Si , entonces .
Se sabe que existe un entero tal que .
Sumando 1 da .
El entero es el buscado.

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

jajajaja  sip, tampoco me gustaba

[argentinator]

Ejercicio 4.10 Demuestre, como se indica a continuación, que todo número positivo tiene exactamente una raíz cuadrada positiva:
(a) Demuestre que si y , entonces
,
Demostración:
. Como , entonces , luego
, luego
. Si h=0, se tiene la igualdad. Por tanto

De la misma manera se tiene la otra desigualdad.

Claro.
Me queda la duda de cuándo se dijo o probó que para h < 1. A lo mejor está en los ejercicios 4.1 y 4.2 que directamente ni transcribí en teoría...

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(b) Si , demuestre que existe exactamente un tal que .
Supongo lo contrario, es decir que para todo o , como no es posible, entonces para todo , es decir que el conjunto es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un tal que . La unicidad no veo como probarlo.

Otra manera que encontré es la siguiente. Como , entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un tal que , luego el conjunto es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este . Luego , entonces , pero como , no puede suceder que , por lo que

El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: .

La primer demostración que hiciste me parece más clara.
Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  , o bien .

Luego, 1.
Esto da x < x, absurdo.

Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?
Modificado
Creo que el enunciado está bien, no puede ser , pues ya que por hipotesis

[argentinator]

Ejercicio 4.10
(b) Sea . Demuestre que si , entonces , para algún , y que si , entonces , para algún .
Demostración:

Un resultado que es consecuencia de la propiedad arquimedeana
Si entonces existe tal que .
Como , como . De donde obtenemos que
, por la propiedad arquimedeana existe un tal que . Luego si hacemos , se tiene que y .

Por (a) , luego


Para el otro caso, se repite la idea con el cambio correspondiente.

Fabuloso 

[enloalto]

Ejercicio 4.10 Demuestre, como se indica a continuación, que todo número positivo tiene exactamente una raíz cuadrada positiva:
(a) Demuestre que si y , entonces
,
Demostración:
. Como , entonces , luego
, luego
. Si h=0, se tiene la igualdad. Por tanto

De la misma manera se tiene la otra desigualdad.

Claro.
Me queda la duda de cuándo se dijo o probó que para h < 1. A lo mejor está en los ejercicios 4.1 y 4.2 que directamente ni transcribí en teoría...

Es de la teoría, la propiedad (6): Si y entonces .

[enloalto]

Ejercicio 4.10
(b) Sea . Demuestre que si , entonces , para algún , y que si , entonces , para algún .
Demostración:

Un resultado que es consecuencia de la propiedad arquimedeana
Si entonces existe tal que .
Como , como . De donde obtenemos que
, por la propiedad arquimedeana existe un tal que . Luego si hacemos , se tiene que y .

Por (a) , luego


Para el otro caso, se repite la idea con el cambio correspondiente.

Fabuloso 

Gracias profe

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(b) Si , demuestre que existe exactamente un tal que .
Supongo lo contrario, es decir que para todo o , como no es posible, entonces para todo , es decir que el conjunto es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un tal que . La unicidad no veo como probarlo.

Otra manera que encontré es la siguiente. Como , entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un tal que , luego el conjunto es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este . Luego , entonces , pero como , no puede suceder que , por lo que

El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: .

La primer demostración que hiciste me parece más clara.
Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  , o bien .

Luego, 1.
Esto da x < x, absurdo.

Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?

En realidad creo que la cosa es al revés.
Es la primer demostración la que no me parece tan clara. Me da vueltas en la cabeza, y a estas horas de la noche... mmm

[argentinator]

Ejercicio 4.10
(c) Dado sea . Demuestre que está acotado superiormente y que contiene, al menos un número positivo. Sea ; demuestre que .
Demostración:
Sabemos que , entonces es cota superior de B, entonces B está acotado superiormente, además como , luego , por lo que y también . Por el axioma del supremo, posee supremo, sea este , luego como . Falta probar que . Supongamos que no, tenemos los siguientes casos:

• , luego por (b) existe tal que , luego , para todo

, entonces , para todo [/li][/list]. Por lo que es una cota superior de B menor que . Contradicción.

• , luego existe tal que , entonces lo que es una contradicción.
  

Por tanto, .
¿Qué tal?

No veo errores.
En todo caso, el razonamiento es justo ese mismo.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
Dado , decimos que es par si , y que es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si es impar, para algún
Como es impar, entonces por definición , y por el ejercicio 4.9 (b) existe un tal que

y como no queda otra que . Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
(b) Demuestre que si y son impares, también lo son y , para cualquier
Tenemos que y , con , luego
, luego se tiene lo pedido.
Por inducción sobre
Para se cumple, supongamos el resultado válido para .
. Como por hipótesis, es impar y también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier .

Un lujo 

[enloalto]

Ejercicio 4.11
Dado , decimos que es par si , y que es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si es impar, para algún
Como es impar, entonces por definición , y por el ejercicio 4.9 (b) existe un tal que

y como no queda otra que . Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que ", osea ¿es aceptable?

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(c) Si , demuestre que existe al menos un tal que .
Humm por contradicción, supongamos que para todo se cumple o , como no puede suceder que , para todo , entonces para todo , pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

Esta demostración no me gusta mucho, hummmm

No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

Si , entonces .
Se sabe que existe un entero tal que .
Sumando 1 da .
El entero es el buscado.

Entendido!!!!

[argentinator]

Ejercicio 4.11
(c) Demuestre que si es un número racional, entonces para ciertos , donde y no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea el menor elemento del conjunto

¿ Cómo demuestro que es no vacío ?

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Así que, sin pérdida de generalidad, se puede considerar que q > 0.
Luego aq = p es entero.
Como q > 0, a > 0, resulta p > 0.
Esto quiere decir que q es elemento del dichoso conjunto que estás estudiando.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
Dado , decimos que es par si , y que es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si es impar, para algún
Como es impar, entonces por definición , y por el ejercicio 4.9 (b) existe un tal que

y como no queda otra que . Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que ", osea ¿es aceptable?

Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

[enloalto]

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Eso del no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

[enloalto]

Ejercicio 4.11
Dado , decimos que es par si , y que es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si es impar, para algún
Como es impar, entonces por definición , y por el ejercicio 4.9 (b) existe un tal que

y como no queda otra que . Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que ", osea ¿es aceptable?

Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

Sí, así está mucho mejor. 

[argentinator]

Ejercicio 6.1
(a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas

Demuestre que ninguna es biyectiva.

Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
,



hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?

Como el conjunto del dominio es 1, 2, 3, se puede denotar cada función como una mera terna ordenada, listando las "imágenes":




etc.

El total son todos los subconjuntos de 1, 2, 3, 4 que tienen 3 elementos,
multiplicado esto por el número de permutaciones de 3 elementos.
O sea: