Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[mabelmatema]

hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

Bueno en el conjunto
B=



yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio

Primero me piden si es cerrrado, es así.
Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
frontera de B=
a lo que el texto agrega esta parte no sé de dónde salió
me puede ayudar a comprender esto?
gracias. mabel

 

[mabelmatema]

de nuevo yo por aquí
te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

Sea K(x,r) una bola cerrada

Sea , de modo que
, luego es punto adherente de K(x,r)


b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

Sea  , luego es adherente

Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel

[argentinator]

hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

Bueno en el conjunto
B=



yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio

Primero me piden si es cerrrado, es así.
Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
frontera de B=
a lo que el texto agrega esta parte no sé de dónde salió
me puede ayudar a comprender esto?
gracias. mabel

 

No entiende por que´el radio te da alguna cosa distinta de 1. Si la ecuación es , se trata de un disco circular abierto, sin borde, cuyo radio es 1.
Ese conjunto no es cerrado, porque los puntos del borde, que cumplen , son puntos de acumulación del conjunto.

mmm

[mabelmatema]

hola profe
lo que sucede es que al armar os valores para dibujar el conjunto, eliminé aquellos que no cumplían la condición . por esto llega a
saludos

[mabelmatema]

hola de nuevo
referido al ejercicio anterior el conjunto tenía un error de tipeo
sería
B=
así da un conjunto cerrado, pero la frontera realmente no sé como sacarla
gracias, perdón por el error

[argentinator]

Ah, perdón, ahora veo bien la corrección del enunciado, voy a analizar todo de nuevo.
Olvidate lo que puse antes, que lo voy a borrar.

[argentinator]

Al pedir una condición como |x| < y, estás exigiendo, sin querer queriendo, que y > 0 siempre, para todo x.
Así que la mitad inferior del círculo ya no está en el conjunto B.

Habría que graficar la curva y = |x|, para después fijarse cuáles son los puntos que están "encima" de esa curva, y que intersecan al círculo.

Acá te pongo el dibujillo. Es la región que está en amarillo lo que sería el conjunto B.
Fijate que el borde superior está incluido en B, pero el borde inferior no lo está, porque la condición es |x| < y, estrictamente.

El radio no cambia, sigue siendo 1, pero tenemos un trozo de círculo.

Los puntos en rosa son la intersección de las rectas y el círculo.
Busquemos el del lado derecho: se intersecta con la recta .
Basta poner esta última condición en la primer igualdad, para obtener , y de ahí sale tu famosa raíz de 2. Se obtiene que , y como , obviamente también .

Es importante saber que el punto es punto de corte porque eso puede influir en los cálculos...

Sin embargo, para ver que "no es cerrado", basta analizar un solo punto de acumulación que sea fácil de demostrar que "no está" en el conjunto. Por ejemplo el (x, y) = (0, 0).

[mabelmatema]

ya de vuelta del trabajo y a estudiar de nuevo
mirá vos! ni pensé en el conjunto como intersección de 2 condiciones, así quedó clarísimo.
no sé si no te has dado cuenta o a lo mejor esta todo bien pero el 5/7 puse una demostración de "una bola cerrada es un conjunto cerrado", espero tus correcciones.
por todo muchas gracias, mabel

ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto

[argentinator]

ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto

El dibujjo muestra que no, pero habría que ponerse a probarlo.
El punto (0, 1) es un punto de B que no es interior.
Y el punto (0, 0) es de adherencia de B pero no está en B.

[argentinator]

Creo que te referís a esta prueba:

de nuevo yo por aquí
te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

Sea K(x,r) una bola cerrada

Sea , de modo que
, luego es punto adherente de K(x,r)


b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

Sea  , luego es adherente

Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel

Se me pasó entre todas las cosas que hemos hablado.
Me parece que no se entiende nada 

Más tarde con más tiempo la miro mejor, pero me parece que así no anda.

Para ver que un conjunto cerrado, hay que tomar un punto x cualquier (genérico) que sea de acumulación del conjunto A, y demostrar que x es efectivamente un elemento de A.
Esto sería una forma sencilla de hacerlo, aprovechando que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación (o puntos límite).

Otra manera de hacerlo es demostrar que su complemento es abierto.
Para ello, se toma un punto x (genérico) del complemento de A, y se procura demostrar que hay una bola abierta centrada en x, tal que toda ella sigue aún fuera de A, o sea, todos los puntos z de esa bola están fuera de A.

[mabelmatema]

hola
de nuevo, si la idea era tomar un punto genérico interior a la bola y demostrar que es de acumulación (adherente) y después tomar un punto del límite de la bola y demostrar que también es de acumulación (adherencia)
veo que no se entendió nada, pruebo con el complemento, pero cuál es el complemento de una bola cerrada???

[argentinator]

Bien, lo último que has hecho, de contar la idea, y después pasar a las cuentas, es una metodología muy recomendable.

La "práctica" en las demostraciones consiste en hacer una "traducción" gradual de la idea a la lógica.

Hasta lueguito

[argentinator]

pero cuál es el complemento de una bola cerrada???

Es lo mismo que el complemento de cualquier otro conjunto: "todos los puntos del plano que están afuera", en este caso, todo lo que está afuera de la bola cerrada.

La parte lógica se hace "negando" las condiciones que definen los puntos de la bola cerrada

[mabelmatema]

ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
pero no me achico

[mabelmatema]

a ver si esto parece una demostración lógica. (lógicamente planteada y escrita)
Demostrare que el complemento de una bola cerrada es un conjunto abierto, por lo tanto la bola cerrada es un conjunto cerrado

Sea
una bola cerrada,

Definimos su complemento
  como X- =
tomamos , entonces
luego
por lo que   es abierto y por lo tanto es cerrado

puede que no esté muy prolijo o lógicamente escrito pero creo que la idea está
saludos. mabel

[argentinator]

ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
pero no me achico

No es que me guste, sino que el conjunto complementario se define negando una propiedad, y no queda otra que trabajar así. 

[argentinator]

Te marco las correcciones u observaciones en azul:

Sea
una bola cerrada,

Definimos su complemento
  como  =
tomamos , entonces (esto no es cierto en general, porque el punto h puede estar muy cerca de la frontera del círculo. Hay que elegir un radio adecuado. Sabiendo que , basta elegir el radio , y ya la bola abierta B(h,s) no toca la bola cerrada original)

luego
(eso que pusiste es cierto, pero no es lo que sirve, porque solamente estás diciendo que "no hay una inclusión de un conjunto en otro", que es muy poco decir.
Lo que sirve es decir que en realidad la bola cerrada y la bolita centrada en h son conjuntos disjuntos, porque así la bolita centrada en h está "toda" contenida en el complemento.
Sin embargo, eso ya lo pusiste un renglón antes.
O sea que esto que agregaste de la inclusión no va, está de más)

por lo que   es abierto y por lo tanto es cerrado

El final es feliz, y sólo hay que arreglar lo que te comentado más arriba

Saludos

[argentinator]

La clave está en darse cuenta que el número es estrictamente mayor que 0, y entonces se puede construir una bola con radio s.

Esa observación que parece tonta, es la clave del análisis en este caso.

Saludos

[mabelmatema]

como siempre gracias..
creo estoy mejorando de poco. paso lento pero seguro, eso espero.
Hasta lueguito

[mabelmatema]

hola argentinator, aunque no estés.
ya entré de lleno al tema de las convergencias y se me presentan algunas dudas, sobre todo en el tratamiento de los ejercicios
Va uno que necesito que me des un empujoncito, me gustaría demostrarlo sola pero necesita ayuda

Sea la ecuación g(x) - x = = en R y supongamos que para alguna distancia y cierto intervalo finito I = [a,b] se verifica que y para todo d( (g(x), g(y)) < q. d( x,y) con 0<q<1. Entonces
i) existe que es la única solución de dicha ecuación
ii) para cualquier la sucesión definida por converge a c

A ver lo que he podido deducir  que g(x) = x, con la condición de q y de las distancias entre las imágenes y la pre-imágenes la función es de contracción ( que sería lo mismo que la condición para los elementos de una sucesión de Cauchy, ( a medida que n crece, los están más juntos, las distancias son menores) no?

Ahora cómo demostrar que c es única solución no sé

Con respecto a Iii) no sé como demostrar que esa sucesión converge a c???, sé armarla pero no me doy idea de la convergencia, es decir si me doy idea porque se irían acercado cada vez más, porque la función es de contracción pero la convergencia??

gracias. saludos, espero tu colaboración. mabel