Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[argentinator]

Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
Solución:
¿A qué topologías se refiere?

Se refiere a un conjunto X cualquiera, en el que se ha definido un orden total (lineal), tal como hemos venido trabajando hasta ahora.
En cualquiera de esas topologías, vale la propiedad de Hausdorff.

Podrías intentar hacer la demostración para R, aunque usando sólo propiedades de orden, y después quizá sea muy fácil adaptarla para un orden general.

También conviene trabajar con la base de la topología, que son intervalos abiertos, y no con todos los elementos abiertos de la misma, que es un lío.

[argentinator]

Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean e dos espacios de Hausdorff, tomemos diferentes, podemos tomar y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que y , al ser e dos espacios de Hausdorff, existen entornos tales que
y , luego
y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

Me parece que la prueba está correcta.

[argentinator]

Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sea un espacio de Hausdorff, y un subespacio, tomemos , como es Hasudorff, existen entornos disjuntos de y respectivamente, luego los entornos de y respecto al subespacio , y también son disjuntos y por tanto es Hausdorff.

Me parece que esto está bien.

 

[argentinator]

Ejercicio 17.13. Pruebe que si es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal es cerrada en .
Solución:

Para probar que la diagonal es cerrada en , probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces , entonces y como es Hausdorff, existen entornos y de p y q respectivamente tales que . Sea , se tiene que es entorno de y . Por tanto es abierto, de donde es cerrado.

Esta parte está perfecta.

 Si la diagonal es cerrada en , entonces su complemento es abierto, luego tomando , se tiene que y al ser abierto, existe un entorno de , sea este , tal que , pero al ser este un entorno del espacio producto , es producto de dos entornos, es decir, existen entornos de y respectivamente tales que , luego
y por tanto es Hausdorff.

Acá estás cometiendo otra vez el error de pensar que todo entorno del producto es producto de entornos abiertos...
Eso no es así, sin embargo la idea es válida, porque todo entorno básico del producto es producto de entornos abiertos.
Corrigiendo eso, las cosas marchan mejor.
Creo que con ese cambio tu prueba estaría perfecta.

[enloalto]

Bueno, pero ese ejercicio dice: "Determine cuál de las igualdades siguiente es cierta".
Esa pareciera que no es cierta.

Y bastaría visualizarlo dibujando intervalos en la recta real, y tomar su producto cartesiano.
Fijate con ese ejemplito, y te vas a convencer.

PLOP, tienes razón, ahora con tus comentarios voy a revisar los ejercicios, a seguir estudiando.........

[robinharra]

Hola argentinator
Estoy repasando conjuntos, logica y funciones, creo que tienes un error de tecleo en la defición de Imágenes y preimágenes de conjuntos por una función, te falta el .

Además en la última propiedad es ó

También falta algo en Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas.
Tienes algo así

[argentinator]

Hola robinbarra.

Gracias por las observaciones tan minuciosas.

Esos errores tontos pueden ser todo un problema para muchos lectores, que pueden pensar que todo lo que estan leyendo no tiene error alguno.

Ya hice las correcciones.
En cuanto a la frase incompleta, lo que deseaba escribir era lo siguiente.

Se cumple que .

Saludos

[robinharra]

Hola
Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
Cuando hablas de dos clases de equivalencia te refieres a que para algún y algún en se cumple que y .

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

La demostración serìa como suponer que no son disjuntas, luego existe un elemento
por tanto y . Luego por ser una relacion de equivalencia se cumple que (falta aplicar la propiedad dos a una de las relaciones) y . De lo anterior y

¿Es correcta mi apreciación?

Hasta pronto y gracias.

[argentinator]

Hola
Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
Cuando hablas de dos clases de equivalencia te refieres a que para algún y algún en se cumple que y .

Claro, eso es lo que quiero decir.

La demostración serìa como suponer que no son disjuntas, luego existe un elemento
por tanto y . Luego por ser una relacion de equivalencia se cumple que (falta aplicar la propiedad dos a una de las relaciones) y . De lo anterior y

¿Es correcta mi apreciación?

Lo que has dicho es correcto, pero hay que mantener el foco de lo que se desea demostrar.
Se desea probar que E = E'.

Para ello, se prueba que E es subconjunto de E', y luego se prueba la recíproca, pero como la mecánica es la misma se puede obviar esto último.
Así que probemos que .
Con tu notación esto es probar .
Sea pues .
Se tiene .
Por transitividad aplicada 2 veces resulta que .

Saludos

[cambio]

Hola.

Amigo argentinator me puedes explicar mejor esta respuesta que enunciaste:

¿Está definida la intersección de los elementos de ?
Respuesta: no.

Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.

Gracias.

[cambio]

Hola.

Argentinator como has estado, apenas he empezado a repazar y me surgio una pregunta la cual escribi al final de tus notas pues no habia visto que cuando se termina cierto tema uno puede poner sus comentarios o preguntas.

Hasta pronto.

[argentinator]

Las preguntas o comentarios se ponen en esta sección, y no en la parte de Dictado, donde se supone que sólo el responsable del curso postea cosas.
n realidad esa regla es solo para mantener un poco de orden, y que la teoria este visible y con claridad, que si no, se mezclan los comentarios con la teoria y se vuelve un caos.

Pero no hay problema, voy a mover tu pregunta a esta seccion de Comentarios y aqui te respondo.

Saludos

[argentinator]

Hola.

Amigo argentinator me puedes explicar mejor esta respuesta que enunciaste:

¿Está definida la intersección de los elementos de ?
Respuesta: no.

Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.

Gracias.

No estoy seguro de a qué te refieres, porque no has copiado completamente el enunciado que supuestamente hice.
Para copiar algo, te puedes ayudar mejor del botón que dice "Citar", porque si no, las expresiones matemáticas no se copian bien.

Me imagino que se refiere a que la intersección de una familia vacía de conjuntos no está definida.

Como estamos en un curso de Topología y no de Teoría de Conjuntos, he preferido dejar las cosas así, sin muchas más explicaciones.
En las teorías de conjuntos que admiten clases que no son conjuntos, como bien has dicho, la intersección de la familia vacía es la clase Universal, que dicho sea de paso, es una clase que no es un conjunto.

Pero también podemos adoptar, si queremos, un punto de vista más "aritmético", y pensar en la unión y en la intersección de conjuntos como operaciones "aritméticas" (en algún sentido caprichoso de "aritmética") entre conjuntos.
Con esa interpretación, la intersección aplicada a la "familia vacía" sería algo así como la operación de "dividir por 0".
Simplemente decimos que la operación en ese caso no está definida.

O sea, no está definida...

Ahora seamos un poco más precisos en la idea que quizá tenía cuando escribí lo que escribí, pero no expliqué vaya a saber Dios por qué.

Cuando trabajamos con una estructura matemática, ya sea espacios topológicos, o espacios vectoriales, o un espacio métrico, o álgebras de uno u otro tipo... lo cierto es que nos restringimos por nuestra propia voluntad a trabajar dentro de un conjunto concreto , al cual llamamos "el espacio".

Cuando nos restringimos a un espacio, las operaciones de conjuntos se refieren siempre a subconjuntos de ese espacio, y entonces constituye un álgebra de Boole, siendo el "1", y el "0" de dicha álgebra.

Ahora que estamos viendo a como un álgebra con ciertas operaciones (unión, intersección y diferencia), no nos sirve definir como el "Universal", porque el "Universal" no es un elemento de .
En cambio, cualquier otra unión o intersección aribitraria de una familia de elementos de sí que sigue siendo un elemento de , o sea, es un elemento que pertenece al álgebra.

Así que uno puede pensar que es conveniente decir que, algebraicamente, no está definido.

Si lo estuviera, tendría que ser quizá el "conjunto más grande posible", o sea, el mismo .
Pero esto es incómodo, porque tendríamos que tener siempre en cuenta una versión diferente de intersección para cada espacio X distinto...
(Esto no es tan alocado como parece, por ejemplo, la operación de tomar "complemento" es siempre relativa a un espacio concreto X que se fija en el contexto, así que uno podría definir un operador de intersección "restringido" a X, y así la intersección de la familia vacïa me daría el mismo X).

Claro que estas cuestiones son sutilezas que dependen de cómo esté uno dispuesto a trabajar, qué salvedades hacer, etc.

A mí me parece mucho más simple dejar todas estas posibilidades algebraicas y sus vicisitudes de lado, no complicarnos la vida, y simplemente decir que, por el bien de nuestra salud convengamos en que la intersección de una familia vacía de conjuntos... no está definida, o sea, es una operación prohibida para una familia de conjuntos, y punto. No se hace, se evita, al igual que evitamos dividir por 0.

Saludos

[gmares]

Hola amigos, es mi primer comentario respecto al curso. Hace pocos días que tome conocimiento del foro  así que seguramente estoy llegando bastante tarde a los contenidos, pido disculpas y agradezco el hecho de mi admisión, pese a ello tengo un gran interés por los temas aquí tratados así que pondré empeño en avanzar en la medida que el tiempo me lo permita.
Quiero adelantar que soy una de esas personas que tratan de entender más que de aprender, por ello me gusta cerrar los temas con la máxima comprensión posible. En función de lo dicho, me tomo el atrevimiento de plantear una pregunta que tiene que ver con temas ya tratados, espero no generar molestias.

Estoy leyendo: "Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos" y me topé aquí con una duda que ya me había surgido leyendo el libro: "Teoría de Conjuntos y temas afines" de "Seymour Lipschuts". Allí se menciona algo parecido a lo que observo en este curso (transcribo): "El vacío es subconjunto de cualquier
otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas."

En el libro que cite se plantean además los siguientes detalles:
a) {0} es un conjunto que contiene el elemento cero, no es ;
b) , es un conjunto que no tiene elementos "conjunto vacío";
c) el conjunto {} es un conjunto que tiene un elemento, el conjunto vacío .

1) Qué diferencia hay entre los conjuntos?
1-1- Desde mi modesto punto de vista es inevitable relacionar el cero del conjunto de números, (tratando este conjunto en particular pues puede haber conjuntos de otra naturaleza) con el conjunto vacío así que pregunto:
En el marco particular del conjunto de números, que diferencia tiene {0} con ? Digo esto porque el cero es neutro, en la antigüedad ciertas culturas lo representaban con un espacio VACIO, hoy con el símbolo cero "0" pero esto no cambia lo que representa.
1-2- Más conflictiva me resulta aún la diferenciación de vacío con {}, cual es la diferencia si al fin y al cabo un conjunto es vacío y por lo tanto un conjunto que contiene el vació también es vacío? Creo que podría pensarse que el conjunto contiene el vacío y este al vacío y al vacío y al vacío... indefinidamente. Vacío es vacío y punto. O es que acaso tengo que entender a los conjuntos como un lugar “disponible para que halla algo”, es decir si yo simplifico {} con , estaría perdiendo información pues habría un conjunto disponible para ser ocupado, el que contiene al conjunto , mientras que el conjunto vacío propiamente dicho es tomado estrictamente como un conjunto que no puede ser “ocupado” por ningún elemento en ninguna circunstancia. Es así?
1-3- Por otra parte qué debo interpretar (no pido una demostración aunque me sería muy didáctica) sobre el hecho de que todo conjunto contiene al conjunto ? Si yo entiendo el conjunto como un lugar “disponible a ser ocupado” entonces que contenga al significa que por más que yo quite todos los elementos del conjunto, este seguirá siendo un conjunto y no perderá su identidad, es decir, seguirá existiendo a pesar de no tener elementos. Desde ese punto de vista si lo podría comprender pues, que contenga al parece ser algo así como un artificio lógico para permitir que un conjunto cuyos elementos hayan sido extinguidos siga siendo conjunto, algo así como darle una razón de existencia (contener al conjunto vacío, y no ser el mísmo un conjunto vacío) para que no desaparezca, pero no se si es acertado mi razonamiento…

1-4- Por último, hace días estuve investigando en la Web y en los textos a los que pude acceder sobre las indefiniciones e indeterminaciones que involucran al elemento neutro de los números, el cero. Mi búsqueda demostró que hay gran cantidad de contenidos erróneos y muchas opiniones encontradas, por lo que traté de aferrarme a aquellos medios más "responsables" a la hora de brindar contenidos, pudiendo llegar a conclusiones aceptables. Dejando de lado el tema de las indeterminaciones quiero exponer continuación un texto de Wikipedia con el que me topé en mi búsqueda, trata particularmente de la indeterminación :

"En lógica formal se puede probar que , esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía."

Me encantaría entender esto pues parece ser muy didáctico ….

2-1-Cuando se dice que: : Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: y son disjuntos si y sólo si todo elemento no está en , y también todo no está en ."

No bastaría con decir y son disjuntos si y sólo si todo elemento no está en pues ya con eso no puede haber en ningun elemento que este en , es decir la segunda condición seda con la primera, no es así?

2-2-En cuanto a las familias de conjuntos  "El conjunto de índices puede ser un conjunto arbitrario" esto es asi siempre y cuando los elemento sean números naturales no? En principio lo di por obvio pero luego me encontre con el siguiente comentario:

Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

Así por ejemplo la família podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

A partir de esto me pregunto: el conjunto de índices puede ser entonces de naturaleza real ? De esta forma la función que define la familia de conjuntos sería biyectiva y se definiría como ?

Desde ya gracias y perdón si incomodo a alguien pero cuando no comprendo algo me “enrosco” y me cuesta seguir, más cuando tengo que aplicarlo después…

GMARES

[argentinator]

Intentaré responder todas tus preguntas.
Repito tu mensaje en una cita, y en color azul voy intercalando mis respuestas.

Quiero adelantar que soy una de esas personas que tratan de entender más que de aprender, por ello me gusta cerrar los temas con la máxima comprensión posible.

No logro discernir la diferencie entre "entender" y "comprender". Para mí todo es lo mismo, jeje. De todas maneras, mi opinión es que para entender/comprender bien las matemáticas hay que hacer preguntas filosóficas, como las tuyas, o sea, preguntarse por las ideas, pero también hay que hacer cuentas, poner a prueba las definiciones y teoremas con ejercicios y ejemplos. Ambas cosas son fundamentales, porque una materia de matemática no se entiende hasta que no nos hemos peleado con ella.


(transcribo): "El vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas."

El problema aquí viene por la manera en que se hacen las demostraciones en la teoría de conjuntos.
La noción de "inclusión" de conjuntos estipula que:

sii

En otras palabras, si se puede demostrar que para todo elemento x de A también es cierto que x es elemento de B, entonces A está incluido en B.

Ahora bien, el problema es que el vacío no tiene elemento alguno, entonces de por sí, la implicación

pareciera que no tiene sentido, porque está suponiendo que hay algún elemento x que pertenece a .

Aunque eso genera "dudas" desde el punto de vista intuitivo, tenemos que darnos cuenta de que aquí gobierna la lógica, no la intuición.
No hay que llevar nuestra intuición de los conjuntos al extremo, sino que en algún momento tenemos que atenernos a las estrictas definiciones matemáticas.
Y también tenemos que atenernos a las reglas de demostración.

Por ejemplo: una implicación es "verdadera" en cualquier caso... excepto cuando p es Verdadera y q es falsa.
En cualquier otro caso, la implicación es verdadera.
Ahora bien, si el antecedente de la implicación fuera , y el consecuente fuera ,
claramente p sería falso.
Pero en ese caso la implicación sería Verdadera.
Y para ello no importa el valor de verdad de q.

Recordemos: si en una implicación, el antecedente es Falso, la implicación toda ella es verdadera.

Ahora bien. Vayamos a la fórmula proposicional siguiente:

en donde r(x) indica la función proposicional: .

Como ya hemos explicado arriba, para cada valor dado de x, se tiene que r(x) es una proposición Verdadera.
Como r(x) es verdadera para todo valor posible de x, se tiene que la proposición completa es ella misma Verdadera.

O sea, hemos probado que la proposición siguiente es verdadera:



Pero esta proposición es la "definición" de inclusión.
O sea, es exactamente lo mismo, porque con esa fórmula lógica se ha definido la inclusión de conjuntos.

Así que ahí tendrías una demostración de que el conjunto vacío está incluido en todo otro conjunto B posible.

La cuestión es que esta demostración, aunque lógicamente correcta, resulta para algunas personas algo contraintuitivo, porque se basa en una ristra de proposiciones r(x) con antecedente Falso.
Ese tipo de demostraciones que involucran el vacío o en general antecedente Falsos, son indeseadas, sobretodo porque pueden conducir a alguna que otra confusión, o una duda de si lo que se hace está correcto.

Pero te repito que en algunos detalles técnicos lo que cuenta es que los cálculos proposicionales sean correctos, y poco importa la intuición.
La intuición es una guía, pero no el último juez en cuestiones matemáticas.



En el libro que cite se plantean además los siguientes detalles:
a) {0} es un conjunto que contiene el elemento cero, no es ;
b) , es un conjunto que no tiene elementos "conjunto vacío";
c) el conjunto {} es un conjunto que tiene un elemento, el conjunto vacío .

1) Qué diferencia hay entre los conjuntos?

Lo que veo son dos cosas. Estás entendiendo mal tanto la idea intuitiva de conjunto como la formulación lógica del concepto.
Comencemos por la intuición de los conjuntos.

Un conjunto es una "caja" que puede contener otros objetos.
También puede haber "cajas vacías". Adentro de ella no hay objeto alguna, pero la caja está.
Ese sería el conjunto/caja que se denota con el símbolo .

Podemos también tener "cajas" hechas para albergar "otras cajas".
Esto es perfectamente posible, y no hay problema en ello.
Si tengo una "caja de zapatos", pero no tengo zapatos, mi caja está vacía.
Pero ahora me compro un gran cajón para poner adentro otras cajas, y sólo guardo allí mi caja de zapatos.
El "cajón" no está vacío, porque tiene adentro de él un objeto: "la caja de zapatos".
Pero la "caja de zapatos" está vacía.

¿Y qué? Son dos situaciones distintas.
La caja de zapatos está vacía, pero ella misma es un objeto concreto, y lo he puesto en una caja o cajón más grande. Este cajón grande contiene a dicho objeto, y por lo tanto no está vacío.

En teoría de conjuntos, las "cajas de cajas" se llaman "conjuntos de conjuntos".
También se les dice "familias de conjuntos", pero es sólo palabrerío.
Los términos "conjunto, familia, clase", etc., se suelen usar con el mismo significado (hay excepciones técnicas con el término "clase", pero por ahora no te preocupes por eso).

Si indagamos aún más profundo en los fundamentos de la teoría de conjuntos, vamos a ver que incluso todos los "elementos" de algún conjunto son ellos también "conjuntos", o sea que todos los elementos de la teoría, ya sea "cajas" u "objetos" que están en ellas... son conjuntos.
Todo es una "caja" en la teoría de conjuntos.

Pero esto no debe asustarte, se hace así solamente para simplificar el desarrollo de la teoría, no hay motivos filosóficos oscuros detrás de esta aparente anécdota.
Y te lo comento solamente para que no te dejes confundir con el palabrerío.
Cuando se habla de "objetos, elementos, conjuntos, familias, clases, colecciones, etc.", en general es todo lo mismo, y lo único que cambia es la "intuición" de lo que se está haciendo en cierto contexto.
Por ejemplo, el término "familia" se usa cuando uno trabaja a la vez con conjuntos, y con "conjuntos de conjuntos".



1-2- Más conflictiva me resulta aún la diferenciación de vacío con {}, cual es la diferencia si al fin y al cabo un conjunto es vacío y por lo tanto un conjunto que contiene el vació también es vacío? Creo que podría pensarse que el conjunto contiene el vacío y este al vacío y al vacío y al vacío... indefinidamente. Vacío es vacío y punto. O es que acaso tengo que entender a los conjuntos como un lugar “disponible para que halla algo”, es decir si yo simplifico {} con , estaría perdiendo información pues habría un conjunto disponible para ser ocupado, el que contiene al conjunto , mientras que el conjunto vacío propiamente dicho es tomado estrictamente como un conjunto que no puede ser “ocupado” por ningún elemento en ninguna circunstancia. Es así?

Ya te lo he explicado antes, y la respuesta es que: no, no es así.

El signo de las llaves {} se usa para indicar "conjunto de...", y entonces es el conjunto que contiene 1 solo elemento: el conjunto vacío.
El conjunto es el conjunto que contiene a un solo elemento: el "conjunto que contiene al conjunto vacío", y así sucesivamente, una caja que contiene a otra.

La noción de número natural admite muchas posibles definiciones.
La mejor de todas es la Axiomática, porque no depende de alguna implementación concreta que se haya elegido.
En efecto, los números naturales están definidos a través de sus propiedades aritméticas (se los define a través de cómo "funcionan", y no de "con qué material están hechos").

Todo sistema matemático que satisfaga las propiedades de los números naturales (que se llaman "Axiomas de Peano") pueden usarse en la vida diaria como "los números naturales".
No hay distinción entre ellos, y nadie puede asegurar que está usando un sistema u otro.

Ahora bien, a pesar de esa generalidad, es importante estar seguros de que "existe al menos un sistema que en efecto verifica los axiomas de los números naturales".
¿Existe tal cosa?
Para probarlo hay que construirse algún sistemita, y probar que cumple todas las propiedades.

Esto se puede hacer en la misma teoria de conjuntos, de la siguiente manera:

* Se define al 0 como el conjunto vacío .
* Se define al 1 como el conjunto que contiene al conjunto vacío: .

En tal caso, tenemos que , o sea, hemos "construido" al 1 como el "conjunto" cuyo único elemento es el 0. ¿Re-loco no? 

* Y ahora se construye el 2 como el conjunto que contiene al 0 y el 1:



Fijate que 2 se está considerando como un "conjunto" que tiene como elementos al conjunto vacío, y también al conjunto que contiene al conjunto vacío.
El 2 es "más loco todavía".

* En general, si ya están construidos los conjuntos 0, 1, 2, 3, ..., n, podemos "construir" el "siguiente" número natural n+1 así: .

O sea que te podés dar una idea de que n+1 es un "conjunto" algo complicado.
¿Cómo serían el 3, el 4, el 5?
Tratá de escribirlo en un papel, y vas a ver de qué se trata.
Cuando te cansés... poné n, como hice yo, jaja.

Se puede demostrar que esa construcción da lugar a un sistema que satisface los axiomas usuales de los números naturales.

SI TE INTERESA UNA DISCUSIÓN COMPLETA SOBRE EL TEMA DE LOS NATURALES, AHÍ TE PASO UN LINK A MI "KIOSQUITO" DE CAMPOS NUMÉRICOS:

Construcción de los Sistemas Numéricos

Te ruego paciencia porque tarda algo en cargarse...



1-3- Por otra parte qué debo interpretar (no pido una demostración aunque me sería muy didáctica) sobre el hecho de que todo conjunto contiene al conjunto ? Si yo entiendo el conjunto como un lugar “disponible a ser ocupado” entonces que contenga al significa que por más que yo quite todos los elementos del conjunto, este seguirá siendo un conjunto y no perderá su identidad, es decir, seguirá existiendo a pesar de no tener elementos. Desde ese punto de vista si lo podría comprender pues, que contenga al parece ser algo así como un artificio lógico para permitir que un conjunto cuyos elementos hayan sido extinguidos siga siendo conjunto, algo así como darle una razón de existencia (contener al conjunto vacío, y no ser el mísmo un conjunto vacío) para que no desaparezca, pero no se si es acertado mi razonamiento…

Más arriba te dí la demostración lógica rigurosa de este hecho.
La intuición del asunto es muy simple.
Supongamos que una "caja" X tiene ahora varios compartimentos A, B, C.
En el compartimento A pongo llaves, en el B pongo canicas, y en el C irían dólares, pero no pongo nada porque no tengo...
La caja X es un conjunto de "llaves, canicas y dólares".

El conjunto A de llaves es un subconjunto de X.
El conjunto B de canicas es un subconjunto de X.
El conjunto C de dólares es un subconjunto de X.

Sin embargo, el conjunto C además está vacío, así que hay una "parte" de X que está vacía.
Luego el conjunto vacío es subconjunto de X.

Pero la intuición de subconjuntos puede darse de otra manera.
Si tengo una colección X de objetos, puedo formarme una colección más pequeña Y, seleccionando tan sólo algunos de esos objetos.

Por ejemplo, si X es una colección de canicas con las cifras del 0 al 9, puedo formarme la colección Y de las canicas con cifra impar.

Ahora bien, ¿qué pasa si desea formarme el subconjunto Z de canicas que tienen estampado un número de dos cifras? Claramente no hay tales canicas en X, así que Z es una colección sin objetos, es vacía.
Y así, el vacío es subconjunto de X.

La moraleja de esto es que, dado un conjunto X cualquiera, siempre puedo formarme una colección de objetos de X... que en realidad no tenga objeto alguno.
Dicha colección es vacía.
Podría quedar la duda de si acaso no es mejor pensar que "cada conjunto X tiene su propia subcolección vacía". Sería un "vacío que depende de X", y se denotaría .
Se puede demostrar que, aún en este caso, todos los conjuntos son en verdad "iguales".
Pero no creo que valga la pena enredarse en estos piolines.

Hay un sólo conjunto vacío, y está incluido en todo otro conjunto.
La demostración está arriba, y punto final.
(Claro que, si te sigue dando comezón... no hay punto final, jeje).



1-4- Por último, hace días estuve investigando en la Web y en los textos a los que pude acceder sobre las indefiniciones e indeterminaciones que involucran al elemento neutro de los números, el cero. Mi búsqueda demostró que hay gran cantidad de contenidos erróneos y muchas opiniones encontradas, por lo que traté de aferrarme a aquellos medios más "responsables" a la hora de brindar contenidos, pudiendo llegar a conclusiones aceptables. Dejando de lado el tema de las indeterminaciones quiero exponer continuación un texto de Wikipedia con el que me topé en mi búsqueda, trata particularmente de la indeterminación :

"En lógica formal se puede probar que , esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía."

Me encantaría entender esto pues parece ser muy didáctico ….

Supongamos que hay un conjunto A de m elementos, y un conjunto B de n elementos.
¿Cuántas funciones se pueden formar de A en B?
Si te pones a calcularlo verás que te da .

Ahora bien, supongamos que el conjunto B es vacío, o sea, tiene 0 elementos.
¿Cuántas funciones hay de A en B?
Si A es un conjunto no vacío (m > 0), no hay funciones posibles.
¿Por qué? Bueno, muy simple, supongamos que sí hay alguna función h de A en B.
Como A es no vacío, tiene algun elemento x, y a ese x hay que hacerle corresponde algún elemento de B. Pero no hay elementos en B, así que la función h no se puede definir, porque se contradice la propiedad fundamental de las funciones: todo elemento del dominio tiene una imagen.

Así que en este caso, la cantidad de funciones de A en B es igual a 0, y eso se corresponde con la aritmética que conocemos: .

Ahora supongamos que A es vacío (0 elementos) y que B no es vacío (n > 0).
¿Existen funciones de A en B?
Bueno, el conjunto vacío podría considerarse una función de A en B.
¿Por qué? Porque el vacío es una "colección de pares ordenados con preimagen en A e imagen en B", aunque la pobre está "vacía".
Cuando nos preguntamos "¿es cierto que a cada elemento de A le corresponde algún elemento de B?", estamos escribiendo una implicación con antecedente Falso, como ya nos ha ocurrido antes:



Lo que está entre paréntesis es verdadero siempre, porque es una implicación con antecedente Falso, y no importa el valor de verdad del consecuente.
Esto prueba que la función "vacía" es un elemento de la clase de "funciones de A en B".
Se puede probar también, como es muy obvio, que ninguna colección "no vacía" puede ser función de A en B, porque eso implicaría que habría una componente con preimagen en A, pero no hay elementos en A... en fin.

En resumidas cuentas, la clase de las funciones de A en B en este caso tiene 1 elemento: la función vacía, y eso es consecuente con la operación aritmética .

Finalmente consideremos el caso en que A y B son vacíos, o sea, ambos tienen 0 elementos.
Otra vez se puede decir que la función vacía es una función de A en B.
Es la misma fórmula proposicional, y tiene el mismo valor de verdad.
Así que la familia de funciones de A en B tiene de nuevo 1 elemento.

Así que, en lo que a conjuntos se refiere, se tiene que .

¿Pero en qué sentido está esto?
Bueno, en el sentido de "cardinalidad de clases".
Las clases de funciones son conjuntos, y como tales tienen un cardinal, y se puede operar entre cardinales como con los números.
De hecho, las operaciones entre números naturales y cardinales son muy similares...

Pero no tienen por qué ser la misma cosa.
Los números naturales se definen en forma axiomática, y tienen reglas de suma, multiplicación y potencia dadas acorde a "axiomas algebraicos".
Mientras que las operaciones sobre "cardinales" no están interesadas en "preservar" propiedades algebraicas, sino que sólo "dan cuenta del cardinal de un conjunto".

Algebraicamente, las operaciones entre números naturales no tienen obligación de interpretarse como cardinales de nada, y son simplemente una "escala" que puede tener muchas aplicaciones.
Por ejemplo, sirve también para hacer aritmética de los números ordinales.

En teoría de conjuntos, los ordinales y los cardinales son cosa muy distinta.
Las operaciones entre ordinales son simplemente "el resultado de concatenar dos conjuntos ordenados y ver el tipo de orden resultante".
Cuando esto se hace así, no tiene mucho sentido hablar de .

Y en aritmética en general, la potencia no está definida, porque requiere que se satisfagan las leyes algebraicas:

indeterminado.




2-1-Cuando se dice que: : Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: y son disjuntos si y sólo si todo elemento no está en , y también todo no está en ."

No bastaría con decir y son disjuntos si y sólo si todo elemento no está en pues ya con eso no puede haber en ningun elemento que este en , es decir la segunda condición seda con la primera, no es así?

Sí, es una redundancia.

2-2-En cuanto a las familias de conjuntos  "El conjunto de índices puede ser un conjunto arbitrario" esto es asi siempre y cuando los elemento sean números naturales no? En principio lo di por obvio pero luego me encontre con el siguiente comentario:

Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

Así por ejemplo la família podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

A partir de esto me pregunto: el conjunto de índices puede ser entonces de naturaleza real ? De esta forma la función que define la familia de conjuntos sería biyectiva y se definiría como ?

El conjunto de índices I puede ser cualquier conjunto de cualquier cosa: números, puntos de una superficie, partes de un conjunto, tipos de frutas, colores del arco iris... lo que se te ocurra, jeje.

Lo importante del conjunto de índices es que esté claramente especificado o sobreentendido a partir de una cierta regla (una función, bah), cuyo dominio sea I, y cuya imagen sea la colección de conjuntos dada.

Por ejemplo, supongamos que tengo la familia de conjuntos F = {A, B, C} donde A es el conjunto de presidentes mundiales del año 2000, B es el conjunto de ciudades capitales del mundo en donde no hubo atentados terroristas en el 2005, y C es el conjunto de equipos de fútbol participantes del mundial de sudáfrica,
puedo indicar a esa familia de conjuntos F en forma "subindicada", o sea, con ayuda de un conjunto de índices cualquiera, que se establece con alguna regla (léase: función).

Tomo I como el conjunto I = {Sol, Mercurio, Saturno}.
Ahora defino la función mediante:



claramente tengo que la familia de conjuntos F es igual a:



Fijate que he usado como índices a los astros del sistema solar, y ellos no son números naturales ni reales.

Es cierto también que el conjunto I de índices puede tener cardinal arbitrario.

Y más aún, una familia de conjuntos puede usarse como conjuntos de índices de "ella misma". 

Suponte que es una familia de conjuntos.
Defino como la función .
En este caso, el conjunto de índices I es la misma familia que estoy tratando de describir.

Y entonces tengo se cumple la igualdad: .

Las familias de conjuntos son simplemente, "conjuntos de conjuntos".
No necesitan del uso de "subíndices" para indicar sus elementos.
La gracia está en que uno se ayuda con "índices" para poner de relieve alguna estructura de la familia que a uno le interesa, para llevara a cabo alguna construcción, o demostración, o lo que sea.




Desde ya gracias y perdón si incomodo a alguien pero cuando no comprendo algo me “enrosco” y me cuesta seguir, más cuando tengo que aplicarlo después…

El curso presente es más bien de Topología y no de Teoría de Conjuntos, así que las preguntas sobre conjuntos no estarían del todo "acordes" al espíritu del curso.
Pero tampoco te lo puedo reprochar, porque si yo he puesto en el curso notas de teoría de conjuntos, cualquiera tiene el derecho de preguntarme cosas sobre esas notas.
Así que tus preguntas no molestan.


GMARES

[gmares]

Hola, muchas gracias por tu respuesta, se ve muy completa, la leí por encima pero en cuanto pueda le voy a dedicar el tiempo necesario para comprenderla. No era mi intención desviar el tema, solo que tenía un par de dudas "frescas" y al leer la introducción se me dispararon nuevamente. Además como tenía al maestro Argentinator  disponible, era un sin sentido no aprovechar.
Con entender y comprender tal vez no fui preciso quise establecer diferencia clara entre "conocer algo" y tener realmente una comprensión profunda de algo. Por lo menos es lo que intento, je.
Saludo amigo seguiré avanzando...

[argentinator]

Ya que tu perfil dice que sos argentino, supongo no te será problema encontrar el "Introducción a a la Teoria de Conjuntos" de Oubiña, Eudeba.

Una vez manejes esa teoría, podrás profundizar en otros textos sobre Teoría Axiomática de Conjuntos, como los libros online de Ivorra, o el thread de Axiomas que puse en la sección de Lógica, o bien un curso aquí en el futuro que anda flotando en la mente de algunos...

Saludos

[mabelmatema]

hola! recién iniciando el curso, ya estoy consultando algo que puede ser una tontería pero posteriormente seguro me servirá.
Esta unión de conjuntos que defines para una lista finita de conjuntos, es decir
es lo que llamamos unión numerable, si no es así, podrías aclararme lo de la unión numerable o no numerable, por favor, gracias. mabel

[mabelmatema]

hola! recién iniciando el curso, ya estoy consultando algo que puede ser una tontería pero posteriormente seguro me servirá.
Esta unión de conjuntos que defines para una lista finita de conjuntos, es decir


es lo que llamamos unión numerable, si no es así, podrías aclararme lo de la unión numerable o no numerable, por favor, gracias. mabel

[argentinator]

Hola.

Primero que nada, te indico cómo poner subíndices en Latex:

[tex]A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n[/tex]

Produce:




En cuanto a tu pregunta, la respuesta sería que NO, pero también hay varias sutilezas, por culpa de ciertas imprecisiones en los libros.

Cuando los objetos involucrados forman una lista con cardinal finito, , se dice que el conjunto es finito, y una unión de ellos es entonces una unión finita.
El valor de n puede ser cualquier número natural: n = 1, 2, 3, 4, etc.
Incluso muchas veces se deja sin especificar, y se pone simplemente "n".

Cuando los objetos involucrados pueden ponerse en correspondencia con los números naturales en una lista infinita , y observando que dicha lista "no tiene fin", entonces se dice que su cardinal es infinito numerable.
Si se los une, entonces la unión es infinita numerable.

La palabra infinito indica que el conjunto no es finito, o sea, no hay ningún número natural n que sea el cardinal del conjunto.
La palabra numerble indica que se pueden poner en una lista "enumerada", vale decir, hay un primero, un segundo, un tercer elemento, etc.
Dicho formalmente, hay una función que hace corresponder a cada número natural k, un elemento de la lista, para k = 1, 2, 3, etc.

En teoría de conjuntos se suele usar la palabra numerable tanto para los conjuntos que son finitos, como los infinito-numerables.
La razón es que los finitos también se pueden "poner en una lista con índices 1, 2, 3, etc."
La diferencia es que la lista finita "se termina en algún n". Mientras que la infinita no termina.

A mí no me gusta usar la palabra numerable para conjuntos finitos.
Y en esto puede haber divergencia también en distintos autores.
Hay gente (yo por ejemplo) que insiste en considerar que el numerable es un término que se refiere mejor a un único cardinal posible, y en ese caso corresponde al infinito-numerable.

Pero vas a encontrar en muchos textos que numerable se refiere a una lista de la cual en principio no se sabe, no se especifica, o no importa, si el conjunto es finito o infinito-numerable.

En los textos de la OEA de matemática he visto que se usan las palabras numerable y enumerable para distinguir ambas situaciones.
No recuerdo cuál palabra se usa para qué.
Creo que enumerable se refiere a un conjunto que se puede "enumerar", o sea, finito o infinito-nmerable, y numerable se refiere al cardinal de los números naturales, que es infinito-numerable.

La unión que me pusiste, en la cual figura explícitamente un valor de "n" como último objeto de la lista, se dice mejor unión finita, porque ahí está claro que la lista de objetos a unir se termina en un "n" determinado, aunque no está indicado el valor de n.

Saludos