Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[cuberomeli23]

Me inscribo al curso de topología. Qué buena idea. Gracias

[enloalto]

Ejercicio 17.8. Denotemos por , y a subconjuntos del espacio . Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones o se cumple.

(1) .

(2) .

(3) .
Solución:

(1) Falso. Tomemos dos contraejemplos.

• Sea , , luego
  , pero
• Sea y , luego y y . Luego,
  .

Lo que sí se cumple es
. En efecto, puesto que , de igual manera . Por tanto,

(2) Falso De (1) vemos que sólo se cumple .

(3) (1) Falso. Tomando como en (1) , , luego
, pero .
y lo que se cumple es
.
La demostración la encontré en este post:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5004.0.html

[enloalto]

Ejercicio 17.9. Sean y . Pruebe que en el espacio ,

.

Solución:

Sea , luego, todo entorno de p, intersecta a  , es decir, si es entorno de , se tiene . Pero  , donde son entornos de y respectivamente. Entonces

Y esto a su vez significa
y , de donde se tiene y y por tanto .


Es repetir lo anterior pero en orden inverso.

[enloalto]

Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
Solución:
¿A qué topologías se refiere?

[enloalto]

Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean e dos espacios de Hausdorff, tomemos diferentes, podemos tomar y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que y , al ser e dos espacios de Hausdorff, existen entornos tales que
y , luego
y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

[enloalto]

Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sea un espacio de Hausdorff, y un subespacio, tomemos , como es Hasudorff, existen entornos disjuntos de y respectivamente, luego los entornos de y respecto al subespacio , y también son disjuntos y por tanto es Hausdorff.

[enloalto]

Ejercicio 17.13. Pruebe que si es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal es cerrada en .
Solución:

Para probar que la diagonal es cerrada en , probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces , entonces y como es Hausdorff, existen entornos y de p y q respectivamente tales que . Sea , se tiene que es entorno de y . Por tanto es abierto, de donde es cerrado.


 Si la diagonal es cerrada en , entonces su complemento es abierto, luego tomando , se tiene que y al ser abierto, existe un entorno de , sea este , tal que , pero al ser este un entorno del espacio producto , es producto de dos entornos, es decir, existen entornos de y respectivamente tales que , luego
y por tanto es Hausdorff.

[argentinator]

Hola enloalto.

Ante todo me disculpo enormemente por la larga ausencia.
Ya te contaré los motivos.

El ejercicio 17.1 está muy bien.
Sólo tengo dudas en la forma más correcta de escribir la prueba, por ejemplo en la parte (2):

Ejercicio 17.1. Sea una colección de subconjuntos de . Supongamos que y están en , y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de están en . Pruebe que la colección

es una topología sobre .
Solución.

(...)



2) Sean , tal que para todo , entonces , para todo . Luego


Por hipótesis (...)
[size]

Fijate lo que marqué en rojo.
Aunque se entiende perfectamente, creo que la forma exacta de decirlo sería así:
"entonces, para todo existe tal que ".

Todo depende de que tan exactos queramos ser, o bien del estilo a emplear.
Tal vez lo que he puesto se pueda incluso escribir de una forma más parecida a la tuya.

Saludos

[argentinator]

Ejercicio 17.2. Pruebe que si es cerrado en e es cerrado en , entonces es cerrado en .
Solución.
es cerrado en , entonces , donde cerrado en y como también es cerrado en , entonces A es intersección de dos cerrados en X, luego es cerrado en X

Claro...

[argentinator]

Ejercicio 17.3. Pruebe que si es cerrado en y es cerrado en , entonces es cerrado en .
Solución.
Como es cerrado en , entonces es abierto.
Como es cerrado en , entonces , es abierto

Luego, es abierto, pero
, luego
es abierto, de donde es cerrado.

Este ejercicio es sencillo, pero no hay que dejarse confundir por la sencillez.

Creo que es incorrecta la igualdad de conjuntos:


Habría que hacer un dibujo, por ejemplo con intervalos de la recta real, y ver qué está sucediendo.
La igualdad correcta a emplear sería:


Luego, basta verificar que cada corchete es un conjunto abierto en .

Saludos

[argentinator]

Ejercicio 17.4. Pruebe que si es abierto en y es cerrado en , entonces es abierto en y es cerrado en .
Solución.
Como es abierto en , entonces es cerrado en .
Como es cerrado en , entonces es abierto en .

Luego es abierto en y
es cerrado en .

Bien.

[argentinator]

Ejercicio 17.5. Sea un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que . ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
Solución.
¿Es necesario saber si X tiene elemento máximo o mínimo? hummmm, profe deme una pista como empezar.

con la topología del orden tiene tres tipos de elementos básicos, a saber,
, donde es el mínimo de X y , donde  es el máximo de X, en caso los haya.

Por definición, .

Como , entonces es un cerrado, y claramente contiene a , entonces .

Por otra parte, también sabemos que
, para tener la igualdad se tiene que cumplir que
.

¿Es correcto?

Bueno, has analizado el caso en que el orden tiene máximo y mínimo.
En caso de que eso no sea así, como una semirrecta real, o la recta real misma, los racionales, y muchos otros ejemplos, también debiera funcionar tu prueba.
La diferencia estaría en que al considerar intervalos de la forma , ya no sería un elemento de la base, sino que tendría que escribirse como unión de "muchos" intervalos abiertos.

Para unificar todos esos casos, se puede usar la notación en lugar de .
Fijate que en el caso de que haya un mínimo en el espacio, aún así se tendría algo como , y entonces todo marcha.

Es peculiar esto de que un intervalo con notación "de infinito" sea en realidad "finito", pero así está usado en el texto, y si uno lo interpreta correctamente, no hay problemas.

Ahora bien. No voy a obligarte a que escribas esa parte de nuevo.

Tu conclusión final es que los puntos frontera deben ser "los" puntos límite del intervalo (a, b).
Esto no funcionaría, porque por ejemplo, en un intervalo (a, b) de la recta real, también los puntos interiores son puntos límite del intervalo. O sea, (a, b)' = [a, b] en ese caso.

La condición a pedir es, pues, que {a, b} sea subconjunto de (a, b)'.
Ahora bien, no sé si el ejercicio pretende ir más allá de esto, y tratar de analizar qué significa esa condición topológica en un conjunto ordenado.
Si lo analizamos un poco más, vemos que si por ejemplo, b no fuese un punto límite del intervalo (a, b), entonces estaría aislado, intuitivamente hablando.
¿Significa esto que es el siguiente de algún otro punto del intervalo (a, b)?
En ese caso el intervalo abierto (a, b) tendría, en realidad, un máximo.

Fijate este ejemplo: consideremos el conjunto ordenado .
El intervalo en este conjunto X coincide con (0, 1]. ¿No es cierto?
En este caso, el punto b = 2 es el siguiente del punto x = 1.

Yo pienso que esta situación se cumple en general, en todo conjunto ordenado.
¿Te animas a demostrarlo?
O sea, habría que probar que si b, por ejemplo, no pertenece al conjunto de puntos límites del intervalo (a, b), entonces es el siguiente de un punto c, tal que, o bien c está en (a, b), y además es máximo en (a, b), o bien c = a, si (a, b) fuese un conjunto vacío.

Saludos

[enloalto]

Hola enloalto.

Ante todo me disculpo enormemente por la larga ausencia.
Ya te contaré los motivos.

El ejercicio 17.1 está muy bien.
Sólo tengo dudas en la forma más correcta de escribir la prueba, por ejemplo en la parte (2):

Ejercicio 17.1. Sea una colección de subconjuntos de . Supongamos que y están en , y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de están en . Pruebe que la colección

es una topología sobre .
Solución.

(...)



2) Sean , tal que para todo , entonces , para todo . Luego


Por hipótesis (...)
[size]

Fijate lo que marqué en rojo.
Aunque se entiende perfectamente, creo que la forma exacta de decirlo sería así:
"entonces, para todo existe tal que ".

Todo depende de que tan exactos queramos ser, o bien del estilo a emplear.
Tal vez lo que he puesto se pueda incluso escribir de una forma más parecida a la tuya.

Saludos

Holaaaaaaaaaaaaa, bueno tienes mucha razón, así se comprende mejor.

[enloalto]

Creo que es incorrecta la igualdad de conjuntos:

Aca utilicé la igualdad q del ejercicio 1 del capítulo 1, para ser exactos.

• (q)

[argentinator]

Bueno, pero ese ejercicio dice: "Determine cuál de las igualdades siguiente es cierta".
Esa pareciera que no es cierta.

Y bastaría visualizarlo dibujando intervalos en la recta real, y tomar su producto cartesiano.
Fijate con ese ejemplito, y te vas a convencer.

[argentinator]

Aprovecho a citarme a mí mismo:

¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!

[argentinator]

17.6 Denotemos por y a subconjuntos del espacio . Pruebe lo siguiente:
(a) Si , entonces .
(b) .
(c) ; dé un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.

Solución:
(a) Por definición y

Como y es cerrado, entonces, es un cerrado que contiene a , y por definición se tiene ..

Otra forma:

(*)Si tomemos , entonces , para todo cerrado con .

Tomemos un cerrado arbitrario con . Como , entonces , con G cerrado, luego por (*) . Por tanto, , para todo cerrado con , es decir . En consecuencia .

(b)


........(*)
Como son cerrados, entonces también es cerrado, y también , por tanto en (*)

La parte (a) me encantó por lo sintética de la prueba.
Está muy bien.

En cuanto a la parte (b), no entiendo bien lo que has querido poner, creo que hay errores en algunas letras en los índices al tomar intersecciones...
Tampoco me queda claro por qué ha de dar una igualdad...

Lo que has probado ahí parecer ser es que es un conjunto cerrado que contiene a , pero no necesariamente todos los "H"s tendrían que venir de la forma en que los has descripto...
Tengo mis dudas.

Es claro que .
Lo mismo con B'.
También , y lo mismo con B.

Ahora escribimos:
.

En general, para una familia sería lo mismo:



Y por lo tanto .

(Eso es ya la parte (c))

Siguiendo con el inciso (b), falta la inclusión recíproca .

Veamos. Usando razonamientos parecidos a los que usaste en la parte (a), es muy fácil, porque es un conjunto cerrado que contiene ciertamente a y a , y por lo tanto contiene a .
Pero está necesariamente contenido en todos los cerrados que contienen a , y así .

¿No?

(c)

Como es cerrado, y sabemos que la unión arbitraria de cerrados no necesariamente es cerrado, se tiene que


Respecto al ejemplo, sea , luego .

Por otra parte, se tiene que , es decir es un conjunto abierto, y no se cumple la igualdad pues es cerrado.

Bueno, el ejemplo está bien... pero encierra una sutileza muy importante en topología, y que se te ha pasado por alto:

Abierto no es lo opuesto de cerrado.

Demostraste que una unión de cerrados da un conjunto abierto... ¿quiere decir eso que el intervalo (a, b) no es un conjunto cerrado?

Eso depende de cada espacio topológico.
Puede haber conjuntos abiertos y cerrados a la vez.
Así que hay que probar que el conjunto obtenido es no-cerrado.
Y para eso hay que probar por ejemplo que no contiene al menos a uno de sus puntos límite.

Por ejemplo, el punto b es un punto límite, porque todo entorno abierto de él tiene intersección con (a, b).
Y eso prueba que (a, b) no es cerrado.


Para que la cosa no quede en lo teórico, te pongo un ejemplo.

Supongamos el espacio topológico ,
con la topología de subespacio heredada de la recta real.

El intervalo es abierto y cerrado a la vez. ¿O no?
Fijate que contiene a todos sus puntos interiores, por lo tanto es abierto, y contiene a todos sus puntos límite, por lo tanto es cerrado.
O si prefieres, puedes verlo así: es intersección de un abierto de R con X: , y también es intersección de un cerrado de R con X: .

Luego es abierto y cerrado relativo a la topología de X, heredada de R.

Saludos

[argentinator]

17.7 Discuta la siguiente "prueba" de que : si es una colección de conjuntos de y si , entonces cada entorno de interseca a . Así, debe intersecar a algún , por lo que debe pertenecer a la clausura de algún . Por consiguiente, .
Solución

Estoy utilizando la famila de conjuntos del ejercicio 17.6.c para ver si hay una falla, pero todavía no la encuentro

Bueno, si bien se prueba que cada entorno U de x intersecta a algún , lo que se debería probar, para que la demostración sea correcta,
es que dado un x, existe un tal que todo entorno U de x intersecta a .

Eso es mucho más fuerte que lo que se ha probado, ya que en todo caso se tiene que
dado un x, existe un tal que existe algún entorno U de x intersecta a .

[argentinator]

Ejercicio 17.8. Denotemos por , y a subconjuntos del espacio . Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones o se cumple.

(1) .

(2) .

(3) .
Solución:

(1) Falso. Tomemos dos contraejemplos.

• Sea , , luego
  , pero
• Sea y , luego y y . Luego,
  .

Lo que sí se cumple es
. En efecto, puesto que , de igual manera . Por tanto,

(2) Falso De (1) vemos que sólo se cumple .

(3) (1) Falso. Tomando como en (1) , , luego
, pero .
y lo que se cumple es
.
La demostración la encontré en este post:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5004.0.html

Muy lindo todo el ejercicio.

[argentinator]

Ejercicio 17.9. Sean y . Pruebe que en el espacio ,

.

Solución:

Sea , luego, todo entorno de p, intersecta a  , es decir, si es entorno de , se tiene . Pero  , donde son entornos de y respectivamente. Entonces

Y esto a su vez significa
y , de donde se tiene y y por tanto .


Es repetir lo anterior pero en orden inverso.

Esta prueba tiene muchas trampas.
Una de las cosas que observo es que estás pensando que si es un entorno de entonces , donde y son entornos de respectivamente.

Eso en general es falso, porque no todo entorno en el espacio producto es producto de entornos de los espacios coordenados.

Sin embargo, sí que es cierto que todo entorno básico del espacio producto es producto de entornos abiertos de los espacios coordenados.
Así que corrigiendo eso, tu prueba marcharía por mejor camino.

Sin embargo aún detecto errores.
Estás razonando así: tomo un entorno cualquiera de p en el espacio producto, y veo que su intersección con el conjunto es no vacía. De ahí deduzco que su primer coordenada es punto límite de A...

Pero eso no es del todo exacto. ¿Has probado que todo entorno de tiene intersección no vacía con A?

Creo que la prueba andaría mejor por este otro lado, siguiendo ideas tuyas en ejercicios previos:

* .
* El conjunto es cerrado por ser producto de cerrados (fijate si esto está demostrado en alguna parte, ya sea teoría o práctica).
* Luego, como es el mínimo cerrado que contiene al producto de A, B, resulta que:

Para ver la recíproca, observemos que si , entonces .
Ahora, sea W = U x V un entorno abierto de la base de la topología producto, que contiene al punto p = (x, y).
En tal caso U, V son entornos abiertos de cada uno de los puntos x, y, respectivamente,
y sus respectivas intersecciones con A, B, son no vacías, por el modo en que elegimos a los puntos x, y.
Entonces W = U x V tiene intersección no vacía con A x B. ¿Por qué? 

Pero entonces (x, y) pertenece a .

¿De acuerdo? Me creo que lo hice bien, pero puedo haber fallado en algo.

No obstante, la clave del ejercicio es usar la caracterización de la topología producto en términos de bases.
Más aún, con topología producto casi siempre es conveniente trabajar con la base.