Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[enloalto]

Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Como comentó argentinator dicha topología debe contener a la unión de las topologías, para trabajar con subbases, tengo que buscar una colección de conjuntos tales que su unión sea todo X. sigo pensando...

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!

[enloalto]

Ejercicio 13.6. Pruebe que las topologías de y no son comparables.
Solución 13.6:
Recordemos que dos topologías y son comparables si
o .

Por tanto, decir que y NO son comparables quiere decir que
y .

Tambien recordemos que:
1)La topología del limite inferior sobre , , es la formada por los intervalos semi abiertos del tipo


2)Sea , La K-topología sobre , , es la topologia generada por los conjuntos de la forma
.

Sean y las topologías de y respectivamente.
i)
Tomemos un elemento básico de , sea . Supongamos que: , entonces tenemos dos casos existe un elemento básico de , ,tal que para todo (en particular a 0), se tiene, . Tenemos dos casos de elementos básicos en .

i-a) Si es un intervalo, es decir, .

Entonces, tenemos un ,tal que para todo (en particular a 0), se tiene,

Tenemos que y
lo cual es una contradicción.

i-b) Si es de la forma .
Entonces, tenemos un ,tal que para todo (en particular a 0), se tiene,

Nuevamente tenemos que y
lo cual es una contradicción.

Dichas contradicciones vinieron de suponer que
.
Por tanto,

ii)

Tomemos un elemento básico de , en particular, . Supongamos que , entonces para todo (en particular para 0), existe un elemento básico de , digamos tal que: . Como , existe un suficientemente grande tal que (en realidad existen infinitos, pero nos basta solo uno), es decir, , pero por definición, , es decir, , que es una contradicción. Dicha contradicción vino de suponer que .
Por tanto, .

De (i) y (ii), las topologías de y no son comparables.
CORREGIDO

[alefa]

Hola para probar que no son comparables yo hice lo siguiente:
si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.
Considero el conjunto B =(-1,1)-K y x=0 en este caso particular no existe un [0,b) que cumplo que este incluido en el B por lo tanto la topología del limite inferior no es menos fina que la k topologia
El otro caso lo demostre de forma analoga tomando el conjunto B=(a,b)-K
Pido disculpas por no usar el latex prometo estudiarlo porque nunca trabaje con él.
Saludos

[argentinator]

Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!

Bueno, la unión de todas las topologías es, ciertamente un conjunto.
A ese conjunto se lo toma como subbase, y fin de la historia.

Más concretamente, sin adelantar el tema de subbases si no se desea, se puede razonar así:
Sea la unión de todas las topologías sobre el conjunto X.
Ciertamente, ese gran conjunto está contenido en la topología P(X).

Por lo tanto, "existe" al menos una topología que contiene al conjunto .
Ahora tomamos la familia de topologías que contienen a . Como esta familia es no vacía, se puede calcular sin problemas su intersección.
Y esta intersección, que denotaremos , es de nuevo una topología por la parte (a) del ejercicio.

Ahora bien. Es claro que es la topología más pequeña que contiene a todas las , porque si hubiera una más pequeña... estaría estrictamente dentro de la intersección, y no puede ser.

En cuanto a la topología más grande contenida en todas las topologías , es la intersección de todas las , ya que toda otra topología contenida en todas las está contenida necesariamente en la intersección.

Saludos

[argentinator]

si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.

Hola. Para el razonamiento que has usado no hace mucha falta el Latex.
Lo que sí veo es que no está del todo claro lo que estás diciendo, aunque el razonamiento parece arrancar bien.
Pero habría que terminar de decirlo bien.

Usar las bases, como has hecho, es lo más adecuado, acorde a los teoremas de bases de topologias, porque simplifica el ejercicio. Así que eso está bien. Sólo te pido redactarlo más claramente para que entendamos bien lo que has hecho.

Saludos

[enloalto]

Puesto que el ejercicio 13.4 es muy largo, lo voy a hacer por partes.

Ejercicio 13.4.a
Si es una familia de topologías sobre , muestre que es una topología sobre .
¿Es una topología sobre ?
Solución:
(a)
1)¿ y pertenecen a ?

Puesto que son topologías , entonces tanto como pertenecen a   , luego, pertenecen a la intersección.

2) Sea , donde I es un conjunto de índices, tales que , , ¿ se tiene 
?

Como
, , entonces , , , luego , .

En consecuencia

.

3) Sea , tales que , , ¿se tiene ?

, , entonces , , , luego , .

Por tanto:

.

De (1), (2) y (3). es una topología.

Sin embargo, al igual que sucede con los espacios vectoriales, la unión de topologías no necesariamente es una topología, basta ver las topologias del item (c)

[enloalto]

Ejercicio 13.4.b.
Sea una familia de topologías sobre .
Muestre que hay una única topología más pequeña sobre que contiene a todas las colecciones , y que hay una única topología mayor que está contenida en todas las .
Solución:
1)Sea , luego , donde P(X) es la topología más grande sobre X.
Entonces, sea
, luego, , por tanto, , entonces podemos tomar su intersección
, puesto que T es topología, entonces por la parte (a), también es una topología.

Veamos que es la topología más pequeña que contiene a todas las topologías de la familia .

Sea una topología sobre X tal que para todo , entonces , por tanto , de donde se obtiene el resultado.

2) Sabemos por (a) que es una topología, probemos que es la más grande entre todas las que estan contenidas en toda .

Sea una topología sobre X tal que para todo , entonces

[enloalto]

Ejercicio 13.4.c.

Si , sea

Hallar la topología más pequeña que contiene a y a , y
la topología más grande contenida en y .

Solución:



1) Hallemos la topología más grande contenida en y a , por (b)
.

2) Hallemos la topología más pequeña que contenga a y a , por (b)
Primero hallamos su unión, S.

Luego, hallamos el conjunto


Aca tengo un problema, pues X tiene 29 topologías, y es muy trabajoso hallar todas.
pensando...
¿Alguna pista profesor?

[alefa]

hola
lo que hice fue encontrarr un elemento de la base de la k-topología (B=(-1,1)-K)  que contiene al 0 de manera que no existe un elemento de la topología del limite inferior de la forma B'=[0,b)que este incluido en B. Por lo que ahí se da la contradiccción porque si una es más fina que la otra para todo elemento de conjunto y para todo elemento de una de las base que lo contenga tiene que existir un elemento de la otra base que contenga al otro basico
No se si aclaré mi razonamiento

[argentinator]

No estoy muy seguro de que esté bien.

Lo que pasa es que "no ser más fina que la otra" es una condición que se debe verificar en las dos direcciones. Que una de las topologías no es más fina que la otra sale con ese ejemplo, y la ¿"viceversa"?
Creo que eso es lo que no veo claramente en lo que hiciste.

Además lo que has mirado son sólo los intervalos [0, b), eso no me parece suficiente.

Saludos

[argentinator]

Tomemos el ejemplo que has elegido de la base de :
.

Te has posicionado en el punto x = 0 para buscar una contradicción.
Bien. Es cierto que los intervalos [0, b) cumplen que y que además no está incluido en B. Basta tomar un lo bastante grande como para que , y listo.

Pero también hay otros intervalos que contienen a x = 0.
Todos los posibles son aquellos que .
Basta decir ahora que para un tal intervalo se obtiene también la contradicción, porque tomando , de nuevo ese punto no está en .

Faltaría ver la recíproca.
Es más fácil todavía.
Consideremos el elemento de la base de .
Supongamos que es un elemento de la base de que contiene al 0. Necesariamente entonces .
Si ahora exigimos que I esté contenido en , necesariamente .
Se obtienen las exigencias: , y , que son contradictorias.

Resta ver los elementos del tipo . Pero el razonamiento es casi el mismo.

Saludos

[enloalto]

Hola a todos, argentinator, vi tus mensajes y los de alefa, sobre el ejercicio 13.6, sólo los he ordenado en el mensaje numero 81, si puedes lo revisas, y me ayudas con el item (c) ejercicio 13.4.

Saludos.

[argentinator]

Solución 13.6:

Sean y las topologías de y respectivamente.
i)
Tomemos un elemento básico de , sea . Supongamos que: , entonces existe un elemento básico de , ,tal que para todo (en particular a 0), se tiene,

Tenemos que y
lo cual es una contradicción, dicha contradicción vino de suponer que
.
Por tanto,

Esta parte tiene un error, pequeño, pero importante.
Los conjuntos de la base de son de dos tipos, y por lo tanto, hay que considerar las dos posibles alternativas.
Pueden ser del tipo "intervalo abierto" (a, b) o del tipo (a, b) - K.
Si el elemento de la base a considerar es del tipo (a, b), la prueba sigue como has indicado.
Si fuera de la forma (a, b) - K, la prueba sigue de modo algo similar, pero hay que escribirlo.

La importancia del error está justamente en que "no se lo ha visto".
Todas las alternativas han de ser consideradas, porque justo lo que se escapa puede ser lo que haga la diferencia.
En este caso no, pero... nunca se sabe.

Saludos

[enloalto]

Hola argentinator, ya corregí mi solución, pero me queda una espina, es que en el caso de que el elemento básico es (c,d)-K, he hecho lo mismo, ¿está bien?
Saludos.

[enloalto]

Ejercicio 13.7. Considere las siguientes topologías sobre :
la topología usual.
la topología de .
la topología de los complementos finitos.
la topología del límite superior, con todos los conjuntos como base.
la topología con todos los conjuntos como base.

Determine las posibles relaciones de inclusión entre estas topologías
Solución 13.7:

Sabemos que


donde la inclusión es estricta y no se da en sentido contrario.
..........

[enloalto]

Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable

es una base que genera la topología usual sobre .
(b) Demuestre que la colección

es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre .

Solución 13.8:
(a)
Lema 13.2. Sea un espacio topológico. Supongamos que es una colección de conjuntos abiertos de tal que, para cada conjunto abierto de y cada , existe un elemento de tal que . Entonces   es una base para la topología de .

Entonces, debemos probar que para cualquier conjunto abierto,, de (especto a la topología usual), y para cada , existe un elemento de de tal que .

Bien, con eso en mente, elijamos un abierto de la topología usual, , sea un elemento arbitrario, entonces existe un intervalo abierto , tal que , entonces tenemos
. Como y , por el ejercicio 9(d) del capítulo 1 sección 4(Los enteros y los números reales) existen un a,b racionales, tales que y , es decir, existe un intervalo abierto con racionales, esto es, existe tal que y , y por el Lema 13.2 se tiene el resultado.

(b)

Dame una manito argentinator, ya??
Saludos.
CORREGIDO VER RESPUESTA 127

[enloalto]

Bueno siguendo con los ejercicios, paso a los ejercicios de la seccion 16, que comprende, La Topología del orden, La Topología del producto sobre y La Topología de subespacio.
Ejercicio 16.1. Pruebe si es un subespacio de y es un subconjunto de , entonces la topología que hereda como subespacio de es la misma que la topología que hereda como subespacio de .

Solución 16.1:
Sea la topología de X, entonces sabemos que
Como , entonces
pero también , por tanto, también existe .

Probemos que .



Una manera más detallada es:
i) Sea , entonces existe tal que
, pero como , entonces existe un tal que , luego
, con , luego
, con , de donde se tiene que .
Por tanto, .

ii) Sea , entonces existe tal que
, pero como , entonces , luego
.
Como , entonces , de donde
, con , luego .
En consecuencia .

De (i) y (ii) se tiene que:
.

[enloalto]

Ejercicio 16.2. Si y son dos topologías sobre y es estrictamente más fina que , ¿qué puede decir sobre las correspondientes topologías de subespacio sobre el subconjunto de ?

Solución16.2:
Como es estrictamente más fina que , .

Sean y las topologías de subespacio sobre heredadas respecto a las topologías y .

Sea , entonces existe un tal que
, como , entonces

Corregido

Por tanto, .

Es decir es más fina que

[enloalto]

Ejercicio 16.3. Consideremos el conjunto como subespacio de . ¿Cuál de los siguientes conjuntos son abiertos en ?¿Cuales son abiertos en ?






Solución 16.3:
. Como no dicen que topología se utilizará, trabajaré con la usual, a saber, la generada por la colección de todos los intervalos abiertos en la recta real.

1)


Para que A sea un abierto en , debemos probar que existe un abierto
de tal que .
Sea , entonces, y , de aquí,
o y , es decir

.

Por tanto .
Como , entonces.
Como y son abiertos en , entonces también es abierto en , luego
, con abierto de , entonces es abierto en .

[enloalto]

Ejercicio 16.4. Una aplicación se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto de , el conjunto es abierto en . Pruebe que y son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que es definida por y es definida por .

Sea un elemento básico de , entonces existe elementos básicos de e respectivamente tales que , entonces como es sobreyectiva, tenemos que , luego es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora un abierto, entonces existen elementos básicos tales que , es decir, existen y elementos básicos de  e respectivamente tales que y .

Entonces , es decir, es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, es abierta.

De la misma manera, se prueba que es abierta.