Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:
Ubicar la elipse en un sistema de coordenadas adecuado de tal forma que los semiejes estén sobre los ejes del sistema, así se tiene que la ecuación de la elipse será de la forma
Luego, dado un punto P dentro de la elipse, plantear una función que me dé la distancia del punto P a los puntos del borde de la elipse. Después encontrar el punto Q más cercano a P que esté sobre el borde, hallo la distancia entre P y Q, y la uso como radio para la bola abierta alrededor de P que va a estar contenida en E. Haciendo éso para todo P dentro de la elipse ya se prueba que es abierto, pero las cuentas no son nada bonitas, y lo peor es que se vuelven peores si se piensa hacer lo mismo para probar que el elipsoide es un conjunto abierto. ¿cómo atacar el problema de una mejor forma?
Sobre esta parte:
Ejercicio. Si
es una base en
, se define la familia
mediante la siguiente propiedad: un subconjunto U de
es elemento de
si, para cada
existe
en la base
tal que
. En símbolos:
Tienes una pequeña errata: debe ser "para cada
". Y en la presentación de la topología
con sólo símbolos, ¿no debería escribirse también la condición de "para cada
"? Es decir, yo pensaba en algo como
.
Estos son algunos ejercicios de la sección 13:
1. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada
existe un conjunto abierto
que contiene a
tal que
Pruebe que A es abierto.
Para cada
denotemos con
al conjunto abierto que por hipótesis cumple que
y
Consideremos ahora
Veamos que
Si
existe
tal que
como
entonces
Si
luego pertenece a la unión de los
es decir
Como todos los
son abiertos, su unión, A, sera un conjunto abierto.
3. Pruebe que
es una topología sobre X. ¿Es
una topología sobre X?
Hay que verificar que
es una topología con los cuatro axiomas:
i)
porque es finito. ii)
por definición.
iii) Sea
una familia de abiertos de
Debemos ver que
pero para ésto es suficiente ver que
es numerable.
para algún
en el conjunto de índices. Como
es numerable, y un subconjunto de un conjunto numerable es numerable, por tanto
pertenece a
iv) Si A y B están en
se debe ver que
está en
y dado que la unión de un par de conjuntos numerables es numerable, se tiene que
pertenece a
Como se verificaron los cuatro axiomas,
es una topología sobre X.
no es una topología sobre X.
Para verlo, consideremos
y
que es infinito.
que es infinito. Se debería entonces cumplir que la unión de A y B esté en
pero
que no es ni infinito, ni vacío, ni X, luego
4. a) Si
es una familia de topologías sobre X, pruebe que
es una topología sobre X. ¿Es
una topología sobre X?
Debemos comprobar los cuatro axiomas:
i) Ya que
para todo
ii)
para todo
luego
iii) Sea
Para todo
puesto que
es una topología, tenemos que
por ende
iv) Si A y B están en
A y B están en
para todo
y como cada uno de éstos es una topología, entonces
y por ende
puede no ser una topología sobre X. Consideremos
Entonces
debería ser unatopología, pero no lo es ya que la unión de abiertos es abierto y sin embargo
b) Sea
una familia de topologías sobre X. Pruebe que existe una única topología sobre X más pequeña entre todas las que contienen a todas las colecciones
y una única topología más grande entre todas las que están contenidas en toda
--
es la topología más grande contenida en toda
Para mostrarlo, veamos que, efectivamente, si
es una topología contenida en toda
entonces
Si
por hipótesis se tiene que
para toda
luego U está en su intersección
-- Sean
y
la topología generada por la subbase
(que es subbase ya que la unión es todo X porque cada
es una topología).
es la topología más pequeña que contiene a toda
Para probarlo necesitamos mostrar que si
es una topología tal que contiene a
para toda
entonces
Sea
es decir que U es unión de intersecciones finitas de elementos de
para toda
e
ya que
para toda
Como
es una topología, la intersección finita de elementos de
está en
y así mismo con las uniones arbitrarias. Por tanto
5. Demuestre que si
es una base para una topología sobre X, entonces la topología generada por
es igual a la intersección de todas las topologías sobre X que contienen a
Sea
la topología generada por
Sea
la familia de topologías que contienen a
Debemos ver que
Sea
Como
es una base para
podemos escribir a U como unión de elementos de
Como todo
contiene a
para todo
y dado que cada una es una topología, la unión de los
o sea, U, estará en todos los
y en su intersección.
La otra contenencia aún no la he podido demostrar.
6. Pruebe que las topologías de
y
no son comparables.
Para este ejercicio es suficiente mostrar un abierto y un punto "rebelde" en cada una de las dos topologías.
Consideremos el conjunto
abierto en
y el punto 0. No hay abierto
de la forma
tal que
y
Si
entonces
y podemos encontrar un
tal que
con lo que
no estaría contenido en
Consideremos el abierto
y el punto
No hay ningún abierto
tal que
ya que, por definición, los abiertos allí no tienen los puntos de la forma
con n entero positivo.
Si hay algo que deba corregir o justificar mejor, por favor, no dudes en mencionarlo. Gracias.
