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Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)  (Leído 121161 veces)
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alejandra
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« Respuesta #520 : 13/05/2012, 10:14:18 pm »

Hola profe! En mi facultad me pidieron realizar una monografía respecto a los grupos topologicos, me podría sugerir alguna bibliografia, o página web en donde se trate con precisión el tema?

Gracias...
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« Respuesta #521 : 13/05/2012, 10:54:02 pm »

Uff, es un tema muy extenso, con muchas vertientes, dependiendo de qué enfoque quieras darle.

Ya que estás con el Munkres, hay un apéndice ahí como para arrancar con las definiciones básicas y algunos ejercicios.

En este momento me viene a la mente el libro "Topological Groups" de Pontryagin, el cual se consigue en castellano (Grupos Topológicos).

Si te vas por el área de Grupos de Lie, hay muchísimos libros, y seguro que cualquiera que encuentres te servirá.
Yo de este tema no sé nada.

Si tenés que armar una bibliografía, podrías arrancar por Wikipedia para ver si te da un contexto histórico y enlaces a bibliografía.

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_group

Allí menciona varias cosas, está interesante el artículo.
Por ejemplo habla de los grupos topológicos localmente compactos (para que te sirva de guía, los números reales forman un grupo localmente compacto), en los cuales se pueden generalizar nociones del análisis armónico, como series de Fourier y demás cosas, imagino.

En el Pontryagin se habla de este tema, más o menos, entre otros tantos, pues habla por ejemplo de los grupos duales.
Hay una relación entre la dualidad de grupos y los desarrollos tipo Fourier.

http://es.wikipedia.org/wiki/Dualidad_de_Pontryagin
__________

No obstante, tendrías que preguntar en clase qué es lo que tenés que hacer en la monografía.

Saludos
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alejandra
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« Respuesta #522 : 14/05/2012, 10:27:53 am »

jijijiji si, es un tema extenso, tenia que elejir entre espacios uniformes, redes, filtros, compactificacion, y grupos topologicos. Y este ultimo me llamó la atencion.

Desde ya muchas gracias!!

A trabajar!!!  :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #523 : 19/05/2012, 09:21:00 pm »

Ejercicio 16.10
[texx]\tau_p[/texx] topologia producto generada por [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V\textsf{\ abiertos en\ }I \}[/texx]
[texx]\tau_d[/texx] cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con [texx](a<c o a=c)\wedge b<d[/texx]
[texx]\tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \}[/texx]


Bueno, estuve revisando de nuevo este ejercicio.

Veo que está mal redactado el comienzo.

La topología producto [texx]\tau_p[/texx] está correctamente formulada.

La topología del orden de diccionario [texx]\tau_d[/texx] está incorrectamente formulada.
Lo que escribiste ahí son solamente los conjuntos básicos de la topología.
Es importante recordar que la topología [texx]\tau_d[/texx] es como cualquier otra topología del orden, es un caso particular, sin importar que tenga un aspecto bidimensional.

Por lo tanto, la topología [texx]\tau_d[/texx] es aquella generada por la base de los intervalos abiertos (y también se consideran los intervalos semiabiertos inicial y final, sin los hubiera, como elementos básicos).
Así que los conjuntos que describiste, los intervalos: [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], con [texx]a_1<  a_2[/texx] ó [texx]a_1=a_2,b_1< b_2[/texx], son sólo elementos de la base de [texx]\tau_d[/texx].

Pero como además en [texx]I\times I[/texx] tenemos un mínimo elemento, el [texx](0,0)[/texx], y un máximo elemento [texx](1,1)[/texx], también son elementos básicos los intervalos semiabiertos de la forma: [texx][(0,0),(b_1,b_2))[/texx] y [texx]((a_1,a_2),(1,1)][/texx].

La topología [texx]\tau_d[/texx] se forma tomando todas las uniones posibles de intervalos de la forma descrita.
_________

En la topología de orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx] los elementos de la base son sólo aquellos de la forma [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], ya que esta vez no hay ni mínimo ni máximo elemento.

Los abiertos allí son conjuntos formados por uniones arbitrarias de esos intervalos.

Ahora, la topología que se hereda de allí, al conjunto [texx]I\times I[/texx], que denotaste como [texx]\tau[/texx], se forma con la intersección de esos "abiertos" en [texx]R\times R[/texx] (con orden de diccionario) con el conjunto [texx]I\times I[/texx].

Los elementos de la base de [texx]\tau[/texx] se obtienen asimismo intersecando los elementos de la base en el espacio grande, con [texx]I\times I[/texx].
Así que una base para [texx]I\times I[/texx] está formada por los elementos de la forma [texx](I\times I)\cap((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], donde [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] es un intervalo abierto en [texx]R\times R[/texx] (siempre con orden de diccionario).


_________________

A continuación voy a resolver el ejercicio a mi modo,
ya que lamentablemente no soy capaz de meterme a fondo en tu resolución para marcarte los errores.

Así que te pido disculpas si es que paso por encima algo que vos ya hiciste correctamente.

Mi intención es simplemente mostrarte mi modo de resolver el ejercicio, para que puedas comparar con el tuyo, y detectar en qué has fallado, y también en qué has acertado.

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« Respuesta #524 : 19/05/2012, 09:22:04 pm »

____________


Ahora procedamos a comparar las topologías.

Como bien sabés, se pueden comparar usando elementos de la base.

Sea [texx]W[/texx] un elemento de la base de [texx]\tau_p[/texx].
En ese caso, [texx]W=(I\times I)\cap(U\times V)[/texx], donde [texx]U,V[/texx], son elementos de la base de [texx]R[/texx], o sea, intervalos abiertos.
Pero por otro lado [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx].

Se puede observar que, como [texx]I=[0,1][/texx] y [texx]U[/texx] es un intervalo abierto, de la forma [texx]U=(a,b)[/texx], en [texx]R[/texx], tenemos que [texx]U_0=I\cap U[/texx] es un intervalo contenido en el [texx][0,1][/texx].
Lo mismo pasa con [texx]V_0=I\cap V[/texx].

Fijate que, para cada [texx](x,y)\in W=U_0\times V_0[/texx], tenemos que el conjunto [texx]\{x\}\times V_0[/texx] es abierto en [texx]\tau[/texx] porque es la intersección del abierto [texx]\{x\}\times V[/texx] de la topología del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx] con [texx]I\times I[/texx].

Además, es claro que [texx](x,y)\in \{x\}\times V_0\subset U_0\times V_0=W[/texx].
Hemos podido hallar, pues, un elemento de la base de [texx]\tau[/texx], el [texx]B_0=\{x\}\times V_0[/texx], tal que [texx](x,y)\in B_0\subset W[/texx].

Como esto vale para un [texx](x,y)[/texx] genérico en [texx]W[/texx], hemos probado que [texx]W[/texx] es [texx]\tau[/texx]-abierto.

Usando los adecuados teoremas sobre bases y topologías finas, esto implica que [texx]\tau_p\subset \tau[/texx].

______________

Consideremos ahora un elemento básico de la topología [texx]\tau_d[/texx].
Tomemos [texx]W=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] un intervalo en [texx]I\times I[/texx].
Si [texx]a_1=a_2[/texx], entonces trivialmente [texx]W\in\tau[/texx], porque es un abierto del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx], el cual, al ser intersecado por [texx]I\times I[/texx] queda igual...
Así que analicemos el caso en que [texx]a_1\neq a_2[/texx].
En ese caso el intervalo [texx]((a_1,a_2),(a_1,1)][/texx] está contenido en [texx]W[/texx].
También está en [texx]W[/texx] el intervalo [texx][(b_1,0),(b_1,b_2))[/texx].
Finalmente, si [texx]a_1< c< b_1[/texx], entonces el "segmento vertical" completo [texx][(c,0),(c,1)][/texx] está contenido en [texx]W[/texx].

Sea [texx](x,y)\in W[/texx].
Si [texx]x=a_1[/texx], entonces [texx]a_2< y\neq 1[/texx]. Vemos que [texx]B=(I\times I)\cap (\{a_1\}\times (b_1,+\infty))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].
Si [texx]x=b_1[/texx], entonces [texx]0\leq y< b_2[/texx]. Vemos que [texx]B=(I\times I)\cap (\{b_1\}\times (-\infty,b_2))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].
Si [texx]a_1< x< b_1[/texx], entonces   [texx]B=(I\times I)\cap (\{c\}\times (-\infty,+\infty))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].

Esto muestra que [texx]W[/texx] es [texx]\tau[/texx]-abierto.

Nos falta analizar los casos en que [texx]W[/texx] es un intervalo "inicial" (o sea, que contiene al punto (0,0)) o bien "final" (o sea, que contiene al punto máximo (1,1)).

Esos casos se analizan de modo muy similar al anterior.

Entonces todo elemento básico de [texx]\tau_d[/texx] es un conjunto abierto de [texx]\tau[/texx].
Esto implica que [texx]\tau_d\subset \tau[/texx].

____________________


Esas son las dos inclusiones válidas.
Las otras 4 posibilidades son falsas, como veremos a continuación con los contraejemplos.


_____________

Con la misma notación anterior para [texx]W[/texx], intentaremos probar que [texx]W\in\tau_d[/texx].

Tomemos ahora [texx]W=(a,b)\times (c,1][/texx], con [texx]0<  a< b< 1[/texx], [texx]0< c<  1[/texx].
Supongamos, por absurdo, que [texx]\in\tau _d[/texx].
Sea [texx]p=(x,1)[/texx] para [texx]a< x< b[/texx].
Tendría que haber un elemento básico [texx]B=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] en [texx]i\times I[/texx] tal que [texx]p\in B\subset W[/texx].
Como [texx](x,0)\not\in W[/texx], para que [texx]B[/texx] esté contenido en [texx]W[/texx], no puede ocurrir que [texx]x< a_1[/texx].
Luego [texx]x=a_1[/texx] (ya que [texx](a_1,a_2)< (x,1)< (b_1,b_2)[/texx]).
Como [texx](z,0)\not\in W[/texx] para [texx]z>  x[/texx], tampoco puede ser que [texx]b_1> x[/texx].
Así que [texx]b_1=x[/texx].

Luego [texx]a_1=x=b_1[/texx], y esto obliga a que [texx]a_2< 1< b_2[/texx], lo cual es absurdo, porque [texx]b_2\leq 1[/texx] (pues [texx]B[/texx] es un intervalo dado en [texx]I\times I[/texx]).

Esto muestra que [texx]W\not\in \tau_d[/texx].

________________

Ahora, sea [texx]W=\{1/2\}\times (0,1)[/texx].
Este conjunto es un elemento básico tanto de [texx]\tau_d[/texx] como de [texx]\tau[/texx], como es fácil ver.
Sin embargo, no es un [texx]\tau_p[/texx]-abierto.
Si lo fuera, por ejemplo el punto [texx]p=(1/2,1/2)\in W[/texx] tendría que tener un entorno básico [texx]B[/texx] en [texx]\tau_p[/texx] tal que [texx]p\in B\subset W[/texx].
Este conjunto básico tiene la forma [texx]B=(I\times I)\cap ((a,b)\times (c,d))[/texx] con [texx]a< 1/2< b,c< 1/2< d[/texx].
Pero todo tal conjunto [texx]B[/texx] tiene necesariamente algún punto [texx](x,y)[/texx] con [texx]x\neq 1/2[/texx], con lo cual [texx](x,y)\not\in W[/texx], y así [texx]B[/texx] no puede estar contenido en [texx]W[/texx].

Con este solo ejemplo hemos dado "contraejemplo" para dos casos a la vez:

Que [texx]\tau_d[/texx] no está contenida en [texx]\tau_p[/texx], y que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_p[/texx].

__________________

Finalmente, nos falta ver que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_d[/texx].

Tomemos el conjunto [texx]W=(I\times I)\cap (\{1/2\}\times (-\infty,+\infty))=\{1/2\}\times [0,1][/texx], que es obviamente un abierto en [texx]\tau[/texx].
Veremos que no es abierto en [texx]\tau_d[/texx].

Si lo fuera, entonces para el punto [texx]p=(1/2,1)[/texx] existiría un elemento básico [texx]B[/texx] de [texx]\tau_d[/texx] tal que [texx]x\in B\subset W[/texx].
[texx]B[/texx] tiene la forma [texx]B=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], un intervalo en [texx]I\times I[/texx].
Esto quiere decir, por ejemplo, que hay algún punto [texx](c,d)\in B[/texx] tal que [texx](c,d)> p=(1/2,1)[/texx].

Esto nos dice que [texx]c> 1/2[/texx], pero [texx](c,d)[/texx] no pertenece a [texx]W[/texx].
Así, [texx]B[/texx] no puede estar contenido en [texx]W[/texx].

Esto muestra que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_d[/texx].
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alejandra
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« Respuesta #525 : 23/05/2012, 10:03:28 pm »

____________


Ahora procedamos a comparar las topologías.

Como bien sabés, se pueden comparar usando elementos de la base.

Sea [texx]W[/texx] un elemento de la base de [texx]\tau_p[/texx].
En ese caso, [texx]W=(I\times I)\cap(U\times V)[/texx], donde [texx]U,V[/texx], son elementos de la base de [texx]R[/texx], o sea, intervalos abiertos.
Pero por otro lado [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx].


Aquí cuando decis que U V son abiertos de R, estos a su vez deben estar contenidos en I, porque sino cuando hago la intersección
 [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx] existiría el caso en que me quedara semiabierto y deja de ser W elemento básico para la topologia producto o no?
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« Respuesta #526 : 23/05/2012, 10:46:03 pm »

Si los intervalos quedan semiabiertos, todavía sirven para la base de la topologíá producto.

Por ejemplo, [texx](1/3,1]\times [0,1/4)[/texx] es un elemento básico de la topología producto, si consideramos el espacio [texx]X=I\times I[/texx].

No importa que haya algunos casos en que aparezcan intervalos semiabiertos.
Esos casos sólo corresponden al "borde" del cuadrado [texx]I\times I[/texx].
Lejos del borde, coinciden los abiertos de [texx]I\times I[/texx] con los de [texx]R\times R[/texx].

Pero en el borden no coinciden.
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Gustavo
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« Respuesta #527 : 10/06/2012, 05:51:14 am »

Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:

Ubicar la elipse en un sistema de coordenadas adecuado de tal forma que los semiejes estén sobre los ejes del sistema, así se tiene que la ecuación de la elipse será de la forma [texx]a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2.[/texx] Luego, dado un punto P dentro de la elipse, plantear una función que me dé la distancia del punto P a los puntos del borde de la elipse. Después encontrar el punto Q más cercano a P que esté sobre el borde, hallo la distancia entre P y Q, y la uso como radio para la bola abierta alrededor de P que va a estar contenida en E. Haciendo éso para todo P dentro de la elipse ya se prueba que es abierto, pero las cuentas no son nada bonitas, y lo peor es que se vuelven peores si se piensa hacer lo mismo para probar que el elipsoide es un conjunto abierto. ¿cómo atacar el problema de una mejor forma?

Sobre esta parte:

Cita
Ejercicio. Si [texx]\mathcal B[/texx] es una base en [texx]X[/texx] , se define la familia [texx]\tau[/texx] mediante la siguiente propiedad: un subconjunto U de [texx]X[/texx] es elemento de [texx]\tau[/texx] si, para cada [texx]x\in X[/texx] existe [texx]B[/texx] en la base [texx]\mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in B\subset U[/texx] . En símbolos:

[texx]\tau=\{U\subset X| \exists B\in \mathcal B(x\in B\subset U)\}[/texx]

Tienes una pequeña errata: debe ser "para cada [texx]x\in U[/texx]". Y en la presentación de la topología [texx]\tau[/texx] con sólo símbolos, ¿no debería escribirse también la condición de "para cada [texx]x\in U[/texx]"? Es decir, yo pensaba en algo como [texx]\tau =\{U\subset X\;:\; (\forall x\in U)(\exists B\in \mathcal B)(x\in B \mbox{ y }B\subset U)\}[/texx].


Estos son algunos ejercicios de la sección 13:

1. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada [texx]x\in A[/texx] existe un conjunto abierto [texx]U[/texx] que contiene a [texx]x[/texx] tal que [texx]U\subset A.[/texx] Pruebe que A es abierto.

Para cada [texx]x\in A,[/texx] denotemos con [texx]U_x[/texx] al conjunto abierto que por hipótesis cumple que [texx]x\in U_x[/texx] y [texx]U_x \subset A.[/texx]

Consideremos ahora [texx]B=\bigcup_{x\in A}U_x.[/texx] Veamos que [texx]B=A.[/texx]

[texx]B\subset A.[/texx] Si [texx]x\in \bigcup_{x\in A}U_x,[/texx] existe [texx]y\in A[/texx] tal que [texx]x\in U_y,[/texx] como [texx]U_y\subset A,[/texx] entonces [texx]x\in A.[/texx]

[texx]A\subset B.[/texx] Si [texx]x\in A,\; x\in U_x,[/texx] luego pertenece a la unión de los [texx]U_x,[/texx] es decir [texx]x\in \bigcup_{x\in A}U_x=B.[/texx]

Como todos los [texx]U_x[/texx] son abiertos, su unión, A, sera un conjunto abierto.

3. Pruebe que [texx]\mathcal{T}_c =\{U\subset X\;:\; X-U\mbox{ es numerable o }X\}[/texx] es una topología sobre X.  ¿Es [texx]\tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \}[/texx] una topología sobre X?

Hay que verificar que [texx]\mathcal{T}_c[/texx] es una topología con los cuatro axiomas:

i) [texx]\emptyset \in\mathcal{T}_c[/texx] porque es finito. ii) [texx]X\in\mathcal{T}_c[/texx] por definición.

iii) Sea [texx]\{A_i\}_i[/texx] una familia de abiertos de [texx]\mathcal{T}_c.[/texx] Debemos ver que [texx]\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}_c,[/texx] pero para ésto es suficiente ver que [texx]X-\bigcup A_i[/texx] es numerable. [texx]X-\bigcup A_i =\bigcap (X-A_i)\subset X-A_{i_1}[/texx] para algún [texx]i_1[/texx] en el conjunto de índices. Como [texx]A_{i_1}\in \mathcal{T}_c,\, X-A_{i_1}[/texx] es numerable, y un subconjunto de un conjunto numerable es numerable, por tanto [texx]\bigcup_i A_i[/texx] pertenece a [texx]\mathcal{T}_c.[/texx]

iv) Si A y B están en [texx]\mathcal{T}_c,[/texx] se debe ver que [texx]A\cap B[/texx] está en [texx]\mathcal{T}_c.[/texx] [texx]X-(A\cap B)=(X-A)\cup (X-B),[/texx] y dado que la unión de un par de conjuntos numerables es numerable, se tiene que [texx]A\cap B[/texx] pertenece a [texx]\mathcal{T}_c.[/texx]

Como se verificaron los cuatro axiomas, [texx]\mathcal{T}_c[/texx] es una topología sobre X.

[texx]\tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \}[/texx] no es una topología sobre X.

Para verlo, consideremos [texx]X=\mathbb{R}, A=\mathbb{Q}-\{0\}[/texx] y [texx]B=\mathbb{I}. [/texx] [texx]X-A=\mathbb{I}\cup \{0\}[/texx] que es infinito. [texx]X-B=\mathbb{Q}[/texx] que es infinito. Se debería entonces cumplir que la unión de A y B esté en [texx]\tau_\infty,[/texx] pero [texx]X-(A\cup B)=X-(\mathbb{R}-\{0\})=\{0\}[/texx] que no es ni infinito, ni vacío, ni X, luego [texx]A\cup B\not\in \tau_\infty.[/texx]

4. a) Si [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] es una familia de topologías sobre X, pruebe que [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es una topología sobre X. ¿Es [texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] una topología sobre X?

Debemos comprobar los cuatro axiomas:

i) Ya que [texx]\emptyset \in \tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] [texx]\emptyset\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

ii) [texx]X\in\tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] luego [texx]X\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

iii) Sea [texx]\{A_i\}\subset \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx] Para todo [texx]\alpha,[/texx] puesto que [texx]\tau_\alpha[/texx] es una topología, tenemos que [texx]\bigcup_i A_i \in \tau_\alpha,[/texx] por ende [texx]\bigcup_i A_i \in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

iv) Si A y B están en [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha,[/texx] A y B están en [texx]\tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] y como cada uno de éstos es una topología, entonces [texx]A\cap B \in \tau_\alpha,[/texx] y por ende [texx]A\cap B\in \bigcap \tau_\alpha.[/texx]

[texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] puede no ser una topología sobre X. Consideremos [texx]X=\{a,b,c\},\; \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\}\},\; \tau_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}.[/texx] Entonces [texx]\tau_1 \cup \tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\}\}[/texx] debería ser unatopología, pero no lo es ya que la unión de abiertos es abierto y sin embargo [texx]\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}\not\in \tau_1\cup \tau_2.[/texx]

b) Sea [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] una familia de topologías sobre X. Pruebe que existe una única topología sobre X más pequeña entre todas las que contienen a todas las colecciones [texx]\tau_\alpha,[/texx] y una única topología más grande entre todas las que están contenidas en toda [texx]\tau_\alpha.[/texx]

-- [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es la topología más grande contenida en toda [texx]\tau_\alpha.[/texx] Para mostrarlo, veamos que, efectivamente, si [texx]\tau[/texx] es una topología contenida en toda [texx]\tau_alpha,[/texx] entonces [texx]\tau \subseteq \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx] Si [texx]U\in \tau,[/texx] por hipótesis se tiene que [texx]U\in\tau_\alpha[/texx] para toda [texx]\alpha,[/texx] luego U está en su intersección [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

-- Sean [texx]\mathcal S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] y [texx]\tau[/texx] la topología generada por la subbase [texx]\mathcal S[/texx] (que es subbase ya que la unión es todo X porque cada [texx]\tau_\alpha[/texx] es una topología). [texx]\tau[/texx] es la topología más pequeña que contiene a toda [texx]\tau_\alpha.[/texx] Para probarlo necesitamos mostrar que si [texx]\tau '[/texx] es una topología tal que contiene a [texx]\tau_\alpha[/texx] para toda [texx]\alpha,[/texx] entonces [texx]\tau \subseteq \tau '.[/texx]

Sea [texx]U\in \tau,[/texx] es decir que U es unión de intersecciones finitas de elementos de [texx]\mathcal S:\; U=\bigcup_\beta \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n_\beta } A_{(\beta, i)}\right).[/texx] [texx]A_{(\beta ,i )}\in \tau '[/texx] para toda [texx]\beta[/texx] e [texx]i[/texx] ya que [texx]\tau_\alpha \subseteq \tau '[/texx] para toda [texx]\alpha.[/texx] Como [texx]\tau '[/texx] es una topología, la intersección finita de elementos de [texx]\tau '[/texx] está en [texx]\tau ',[/texx] y así mismo con las uniones arbitrarias. Por tanto [texx]U\in \tau '.[/texx]

5. Demuestre que si [texx]\mathcal{A}[/texx] es una base para una topología sobre X, entonces la topología generada por [texx]\mathcal{A}[/texx] es igual a la intersección de todas las topologías sobre X que contienen a [texx]\mathcal{A}.[/texx]

Sea [texx]\tau '[/texx] la topología generada por [texx]\mathcal{A}.[/texx] Sea [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] la familia de topologías que contienen a [texx]\mathcal{A}.[/texx] Debemos ver que [texx]\tau ' =\bigcap _\alpha \tau_\alpha.[/texx]

[texx]\tau ' \subset \bigcap _\alpha \tau_\alpha.[/texx] Sea [texx]U\in \tau '.[/texx] Como [texx]\mathcal{A}[/texx] es una base para [texx]\tau ',[/texx] podemos escribir a U como unión de elementos de [texx]\mathcal{A}: U=\bigcup_i A_i.[/texx] Como todo [texx]\tau_\alpha[/texx] contiene a [texx]\mathcal{A},[/texx] [texx]A_\i \in \tau_alpha[/texx] para todo [texx] \alpha,[/texx] y dado que cada una es una topología, la unión de los [texx]A_\i,[/texx] o sea, U, estará en todos los [texx]\tau_\alpha[/texx] y en su intersección.

La otra contenencia aún no la he podido demostrar.

6. Pruebe que las topologías de [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx] y [texx]\mathbb{R}_K[/texx] no son comparables.

Para este ejercicio es suficiente mostrar un abierto y un punto "rebelde" en cada una de las dos topologías.

Consideremos el conjunto [texx]V=(-1/2,1/2)-K[/texx] abierto en [texx]\mathbb{R}_K[/texx] y el punto 0. No hay abierto [texx]U[/texx] de la forma [texx][a,b) \in\mathbb{R}_{\ell}[/texx] tal que [texx]0\in U[/texx] y [texx]U\subseteq.[/texx] Si [texx]0\in U,[/texx] entonces [texx]0<b[/texx] y podemos encontrar un [texx]n\in\mathbb{Z}^+[/texx] tal que [texx]0<\frac{1}{2^n}<b[/texx] con lo que [texx]U[/texx] no estaría contenido en [texx]V.[/texx]

Consideremos el abierto [texx][0,1) \in\mathbb{R}_\ell[/texx] y el punto [texx]1/2.[/texx] No hay ningún abierto [texx]U\in \mathbb{R}_K[/texx] tal que [texx]1/2\in U[/texx] ya que, por definición, los abiertos allí no tienen los puntos de la forma [texx]\frac{1}{2^n}[/texx] con n entero positivo.

Si hay algo que deba corregir o justificar mejor, por favor, no dudes en mencionarlo. Gracias. :sonrisa:
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« Respuesta #528 : 10/06/2012, 09:21:11 am »

Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:



Bueno, eso depende de cómo esté planteado el ejercicio.
No recuerdo quién me lo preguntó, ni en qué contexto estaba.

Si hay que demostrarlo desde cero, sin herramientas, entonces sí, hay que "renegar con la distancia al borde".
Sin embargo sale en forma muy sencilla con argumentos de continuidad.

Por ejemplo, podemos decir que la función de dos variables [texx]f(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2[/texx] es continua, y en tal caso la preimagen del conjunto abierto [texx]A=(-\infty,1)[/texx] por [texx]f[/texx] es un conjunto abierto del plano.
Pero justamente este conjunto abierto es el interior de la elipse:
[texx]U=\{(x,y):x^2/a^2+y^2/b^2< 1\}=f^{-1}(-\infty,1)[/texx]
que es abierto.

Si no podemos usar argumentos de continuidad, porque todavía no lo hemos aprendido, entonces hay que demostrar que cada punto de la región interna de la elipse es un "punto interior" del conjunto.
Para ello, sea [texx](x_0,y_0)[/texx] un punto tal que [texx]x_0^2/a^2+y_0^2/b^2< 1[/texx].
Tenemos que encontrar una bola abierta en torno a ese punto, tal que todos los puntos estén aún en el interior de la elipse.

Supongamos que la bola buscada tiene radio [texx]r> 0[/texx]. Nos preguntamos qué radio [texx]r[/texx] será suficiente.
En ese caso hacemos el cálculo y después estimamos el valor de [texx]r[/texx].

Geométricamente uno ve más o menos lo que tiene que pasar.
Podemos considerar un punto [texx](x,y)[/texx] del borde de la elipse, y tenemos que minimizar la distancia hasta el punto [texx](x_0,y_0)[/texx], lo cual puede hacerse con cálculo de 2 variables, o algún otro análisis parecido.
Una vez hallado ese punto de mínima distancia, llamamos [texx]r[/texx] a la distancia que ese punto tiene hasta [texx](x_0,y_0)[/texx].

Luego, tomamos la bola [texx]B_r(x_0,y_0)[/texx], y verificamos que dicha bola está contenida en el interior de la elipse.
Entre otras razones, esto ocurre porque la distancia [texx]r[/texx] es mínima, y así todo punto de la bola, por tener distancia menor que [texx]r[/texx], no puede estar en el borde de la elipse, ni tampoco fuera de ella..
En caso de dudas, hay que hacer una verificación algebraica de las desigualdades pertinentes.

O bien achicar aún más el valor de [texx]r[/texx] a fin de que se simplifiquen los cálculos.

____________

Ya corregiré la errata.
Gracias.

Nos estamos viendo, y bienvenido al curso.

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« Respuesta #529 : 10/06/2012, 03:13:44 pm »

Hola.

Estuve revisando tus ejercicios de la Sección 13.
En general me parece muy bien cómo están planteados y escritos, y casi no importan las pequeñas faltas que pudiera haber.
Es muy clara la exposición y el razonamiento, y tiene un estilo "topológico" adecuado.

En el ejercicio 3 pareciera que has pasado por alto los casos triviales, por ejemplo cuando U es el conjunto vacío.
En cuanto a los incisos (i) y (ii) allí, hay que justificar con más cuidado, puesto que X está en la topología por ser X - X numerable, mientras que el conjunto vacío está por "decreto".
Entonces se razona al revés.

Es comprensible que esos pequeños casos estén mal, porque son los más tontos y aburridos, y ni te has fijado si estaba bien.
Lo que se puede decir en esos casos es que "los casos triviales los damos por sentado", y suponemos un abierto U no trivial... o algo por el estilo.

____________

Luego voy a revisar bien el Ejercicio 5 para ver qué te faltó.

_________

En cuanto al Ejercicio 6, habría que cambiar la última parte.

Ahí te conviene tomar un intervalo [a, b) alejado de la "zona de desastre", o sea, del conjunto K, ya que lejos del 0 los abiertos de [texx]\mathbb R_K[/texx] son los mismos que los de la topología usual.
Así que, por ejemplo, [2, 3) es un abierto en [texx]\mathbb R_\ell[/texx] tal que no es abierto en [texx]\mathbb R_K[/texx] ni en [texx]\mathbb R[/texx], ya que el punto x = 2 no es un punto interior en estas últimas topologías.
(Si lo fuera, habría un intervalo abierto [texx](2-\epsilon ,2+\epsilon )[/texx] contenido completamente dentro de [2, 3), lo cual es absurdo, pues no puede haber puntos a la izquierda de x = 2).

Saludos
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