Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[argentinator]

Ejercicio 6.2
Demuestre que si no es finito y , entonces no es finito.
Demostración:
Si es finito, como  entonces, por el corolario 6.6, es finito. Contradicción.

Eso es así, en virtud de las definiciones y resultados probados en teoría.

Pero también se puede usar la definición de Dedekind-finito, para obtener un resultado análogo:

Por definición, se tendría algo así:

Como B no es Dedekind-finito, existen un subconjunto propio C de B, y una biyección f de B en C.
Denotemos h a la función identidad de A \ B en sí mismo.

Ahora, E = A \ B U C es subconjunto propio de A, y además "pegando" las funciones f y h,
se obtiene una función biyectiva de A en E.
Esto nos dice que A no puede ser Dedekind-finito.

[argentinator]

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Eso del no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

Yo creo que sí, habría que probar esa igualdad.
Quizá esté en la lista de items de los ejercicios 4.1 y 4.2... no sé.

[enloalto]

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Eso del no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

Yo creo que sí, habría que probar esa igualdad.
Quizá esté en la lista de items de los ejercicios 4.1 y 4.2... no sé.

Nop, no está 

[enloalto]

Ejercicio 6.2
Demuestre que si no es finito y , entonces no es finito.
Demostración:
Si es finito, como  entonces, por el corolario 6.6, es finito. Contradicción.

Eso es así, en virtud de las definiciones y resultados probados en teoría.

Pero también se puede usar la definición de Dedekind-finito, para obtener un resultado análogo:

Por definición, se tendría algo así:

Como B no es Dedekind-finito, existen un subconjunto propio C de B, y una biyección f de B en C.
Denotemos h a la función identidad de A \ B en sí mismo.

Ahora, E = A \ B U C es subconjunto propio de A, y además "pegando" las funciones f y h,
se obtiene una función biyectiva de A en E.
Esto nos dice que A no puede ser Dedekind-finito.

Tons tendríamos esto: existe biyección, e es la identidad, entonces sea definimos , como cuando y ,

[argentinator]

Ejercicio 6.3
Sea . Encuentre una correspondencia biyectiva entre y un subconjunto de sí mismo.
Sea , luego , , y así sucesivamente, luego tenemos
. Humm no avanzo, a pensar un poco más

Si es un elemento de , entonces
también lo es.

La aplicación que manda cada u en su correspondiente u' es inyectiva, y no es sobre.

[argentinator]

Ejercicio 6.4
Sea un conjunto finito, no vacío, simplemente ordenado.
(a) Demuestre que tiene un máximo.
Demostración:
Sea , procedamos por inducción sobre .
Si , entonces , luego se cumple la afirmación.
Supongamos válido la afirmación para . Sea . Tomemos , luego por el Lema 6.1, , entonces por H.I. posee un elemento máximo, digamos . Como es simplemente ordenado, para y se cumple qué , o . Pero, , entonces si , el elemento máximo de es . Caso contrario, es decir, si , el elemento máximo de es . En ambos casos tiene elemento máximo. Es decir, se cumple la afirmación para .
El resultado sigue.

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

[argentinator]

Ejercicio 6.4
(b) Demuestre que tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
Demostración:
Debemos buscar una biyección con alguna sección , con . . Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea , y denotemos a su máximo , luego tenemos que , también tiene elemento máximo, sea este . Tenemos que . Ahora consideremos , sea su elemento máximo. Tenemos que . De esta manera, tenemos , con . Luego, definimos por . Claramente es biyectiva y se tiene lo pedido

En la última línea debe decir

Los detalles técnicos son un poco aburridos.
Por ejemplo, uno tendría que definir el proceso recursivo hacia atrás de manera más "formal".
Ahora bien, este tipo de procedimiento no parece estar justificado en la sección 6, porque se desarrolla el tema de la recurrencia en la sección 8.
Así que, ¿cómo arreglárselas con los elementos teóricos de la sección 6 y previas?

Es claro que existe una biyección b entre y el conjunto finito A.
Definimos la relación de orden en de manera que si .
Esto hace que tenga el mismo tipo de orden que .

Ahora, basta probar que tiene el mismo tipo de orden que .

Quizá este resultado general pueda probarse por inducción para todo n.

En resumen, creo que la clave está en trabajar con órdenes "arbitrarios" dentro del mismo , confiando en que todo orden lineal allí en realidad es una mera permutación del orden usual.

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(b) Si , demuestre que existe exactamente un tal que .
Supongo lo contrario, es decir que para todo o , como no es posible, entonces para todo , es decir que el conjunto es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un tal que . La unicidad no veo como probarlo.

Otra manera que encontré es la siguiente. Como , entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un tal que , luego el conjunto es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este . Luego , entonces , pero como , no puede suceder que , por lo que

El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: .

La primer demostración que hiciste me parece más clara.
Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  , o bien .

Luego, 1.
Esto da x < x, absurdo.

Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?
Modificado
Creo que el enunciado está bien, no puede ser , pues ya que por hipotesis

De acuerdo

[argentinator]

Ejercicio 6.5
Si es finito, ¿se deduce que y también lo son?
Demostración
Estas clases de preguntas son buenas, pues nos hace pensar mucho y se obtienen buenos contraejemplos. Pensando

Si alguno de ellos, digamos B, fuese infinito, entonces {x} X B sería infinito para todo elemento x en A.
Como {x} X B es subconjunto de A X B, nos daría que A X B es finito.

Pero aquí estamos usando que A es no vacío.

Creo que el problema está en el caso en que A ó B es vacío.
Allí el producto cartesiano es vacío, aún cuando el otro conjunto sea infinito.

[argentinator]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.

En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857

[enloalto]

Ejercicio 6.4
(b) Demuestre que tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
Demostración:
Debemos buscar una biyección con alguna sección , con . . Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea , y denotemos a su máximo , luego tenemos que , también tiene elemento máximo, sea este . Tenemos que . Ahora consideremos , sea su elemento máximo. Tenemos que . De esta manera, tenemos , con . Luego, definimos por . Claramente es biyectiva y se tiene lo pedido

En la última línea debe decir

Los detalles técnicos son un poco aburridos.
Por ejemplo, uno tendría que definir el proceso recursivo hacia atrás de manera más "formal".
Ahora bien, este tipo de procedimiento no parece estar justificado en la sección 6, porque se desarrolla el tema de la recurrencia en la sección 8.
Así que, ¿cómo arreglárselas con los elementos teóricos de la sección 6 y previas?

Precisamente hay una observación que hace el mismo Munkres, y menciona el principio de definición recursiva, pero es en la sección 7.

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(d) Si , demuestre que existe un número racional tal que
Como , por el ejercicio 4.2(k), , tomando tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.

Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.

En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857

es trabajadito, me gusta mucho

[enloalto]

Bueno hoy sí hemos avanzado bastante, ya es hora de descanzar, mañana seguimos, un abrazo argentinator.
varios 

[argentinator]

Bueno, gracias a vos.
Has trabajado duro.

Justamente los cursos funcionan cuando hay participación.
Yo podría intentar escribir todo un largo apunte de teoría con algunos ejercicios resueltos,
pero es difícil encontrar las ganas yendo en solitario.

Nos vemos

[enloalto]

Ejercicio 4.10
(d) Demuestre que si y son positivos y , entonces

Pensando

Si , entonces y , como se tiene
contradicción. De igual manera con el caso

[enloalto]

Ejercicio 6.6
(A) Sea . Demuestre que existe una biyección entre y el producto cartesiano , donde es el conjunto de dos elementos
Demostración
Dame una idea argentinator, no sé cómo empezar.
Gracias

[argentinator]

El conjunto es .

El conjunto consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
entonces es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica .
La aplicación que manda A en es la biyección buscada.

[enloalto]

opps