Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

[argentinator]

Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:



Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:



Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:



Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

Ahora bien, como , su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:



Juntado todo, usando que , podemos concluir que:

.

Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

.

Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
 


Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que .
Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.

[mabelmatema]

está todo casi bien, agrego algunas cositas en color que me quedaron medio colgadas

Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:



Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:



Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:
aquí la apliqué unas 5 veces para darme cuenta bien segura de lo que era

Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

Ahora bien, como , su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:



Juntado todo, usando que , podemos concluir que:

.

auí se me perdió
Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

.

Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
(esasa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
 


Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que .
Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.

[argentinator]

Hola.

No he sabido nada de vos en estos días.
A lo mejor esperabas que te responda algo, en ese caso disculpame, pero a lo mejor no entendí lo que me planteabas.

Por lo que has puesto en azul, parece que al final te salió, por eso no dije más nada.

Pero no sé si todo esto está claro.

Saludos

[mabelmatema]

hola gracias profe:
 en cuanto a la demostración anterior, estas serían mis consultas, a ver si puedo hacerlas de a una por vez

Ahora bien, como , su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:




Juntado todo, usando que
, podemos concluir que:


.

aquí se me perdió

[mabelmatema]

otra que no se notó en la copia
Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

.


Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
(esa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
¿Cómo sabes que es de Cauchy?

[mabelmatema]

y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones   y también
En la primera

(E,d) es un espacio metrico completo, tal que la sucesión converge a c y se cumple que se cumple

pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

[argentinator]

Bien, para ser de Cauchy se requiere que para cada existe un N tal que para todo par de índices n, m, que sean mayores que M, se obtiene .

Ahora bien, prestá atención a la condición que encontré con los "q"s.

Agarrate un , ahora definir .

Si m, n, son mayores que N, suponiendo que m > n > N, definimos k = m - n, y quedamos en la situación de la desigualdad anterior:

(por la manera en que elegimos N).

Así que hemos logrado que se cumpla la condición de Cauchy, tal como corresponde al formato "original".

La pista para conseguirlo fue que estuve buscando una "cota" que no depende de k, y que para n, k "grandes" (mayor que algún N, quién sabe cuál...) la resta de los elementos de la sucesión quede acotada por algo que depende de N... pero ese algo tiene que tender a 0 con N.
Esa es la intención.

Al obtener una cota "uniforme" en n, k, para N grande, y esa cota tender a 0 cuando N tiende a infinito, es fácil buscarle la vuelta para que se cumpla la condición de Cauchy.

O sea, es un "truquillo".

Y estas cosas se aprenden con la práctica.

Además, fijate que en vez de trabajar con n, m grandes, trabajé con n y n+k.
El lugar de m lo ocupó el n+k.

Eso depende de la situación planteada. En este caso usé n+k porque me quedó más cómodo, ya que así podía expresar con más claridad las relaciones de recurrencia.

Son trucos o técnicas que uno puede intentar aplicar casi siempre al tratar de demostrar que una sucesión es de Cauchy.
Hay que buscar que las diferencias de términos con índice grande... tienda uniformemente a 0.
Con la intención basta, después hay que ir viendo qué se puede tocar para lograrlo... si es que sale, jeje.

En este caso salió porque se trata de un caso típico. Yo no recordaba la prueba exacta, pero "sentía" que me iba a salir.
En cierto modo lo ví fácil.
Y espero que con la costumbre y la práctica lo veas así también.  

Saludos

[mabelmatema]

 y sigo con la vuelta

El encaje de bolas cerradas sería algo así?
; K(x,delta/n) K(x,delta/n) y
K(x,delta/n) K(x, delta)
Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
gracias. mabel

[mabelmatema]

mañana miro tus respuestas, hoy ya no me da para pensar más
la aclaración de la demostración anterior me pareció excelente y la forma en que se puede llegar a la sucesión de Cauchy también, mañana sigo
gracias. mabel

[mabelmatema]

hola profe:
pudiste ver el teorema del espacio completo y el encaje de bolas cerradas?
espero tus respuestas, gracias. mabel.

[mabelmatema]

ahí va de nuevo por si no lo leíste
y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones
  y también

En la primera 


(E,d) es un espacio metrico completo,
 tal que la sucesión
 converge a c y se cumple que
  se cumple


pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

[mabelmatema]

y sigo con la vuelta


El encaje de bolas cerradas sería algo así?
; K(x,delta/n) K(x,delta/n) y
K(x,delta/n)  K(x, delta)

Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
gracias. mabel

[mabelmatema]

hola argentinator, nuevamente yo con estas demostraciones....
La siguiente, la hice un poco desordenada, pero me pareció que la idea estaba, espero tus observaciones
"Sea (E,d) un espacio métrico y A un sub-conjunto denso en E tal que toda sucesión de Cauchy en A converge a un punto de E. Entonces E es completo"

la idea es " como A es denso en E, la sucesión en A es sucesión en E y como es convergente a un punto de E, tenemos una sucesión convergente en E, entonces E es completo"
Y la simbología de todo esto sería
A es sub-conjunto denso en E, entonces cl(A) = E
Si cl(A)= E se cumple (1)
Como se cumple que (2)
De (1) y (2) , luego si es sucesión en A, también lo es en E
Como converge a , se tiene una sucesión convergente en E, lo que indica que E es completo
espero haber sido mínimamente clara.mabel

[argentinator]

Hola.

Estos días he estado muy ocupado y no pude responderte.
Pero pronto contestaré todos tus últimos mensajes.
Se trata de cuentas muy interesantes, y no quiero dejarlas pasar!!!

Pero ando medio complicado. Disculpame. Igual no te voy a hacer esperar mucho, a lo sumo uno o dos días más.

Saludos

[mabelmatema]

gracias argentinator, te tomo la palabra como siempre me has ayudado. mabel

[argentinator]

ahí va de nuevo por si no lo leíste
y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones
  y también

En la primera 


(E,d) es un espacio metrico completo,
 tal que la sucesión
 converge a c y se cumple que
  se cumple


pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

Supongamos (i) y tratemos de probar (ii).

Sea un encaje de bolas en E.
Eso quiere decir que para todo m, y que cada es una bola cerrada.
O sea, , donde es un punto de E, y .

El diámetro de cada bola es menor o igual que .

Eso no nos dice nada de los radios ...

Sin embargo, podemos olvidarnos de eso, y quedarnos con los diámetros.
Ya que los diámetros tienden a 0, resulta que, dado , existe N tal que .

Tomando m, n > N, obtenemos que

Por lo tanto, la sucesión de "centros" de las bolas, es una sucesión de Cauchy.
Como E es completo, dicha sucesión converge a un punto x de E.

Supongamos que los diámetros son todos números positivos (si no, todo esto se vuelve trivial...).

Supongamos que x no está en alguna de las bolas .
Esto quiere decir que existe tal que , para todo y en dicha bola, ya que la bola en cuestión es cerrada.
Existe N tal que n > N implica , pues la sucesión de centros converge a x.
Tenemos que .
Pero entonces .
Pero esto no es posible para puntos en la bola N-ésima.

La constradicción viene de suponer que x no está en alguna de las bolas.
Luego x está en todas las bolas , y así, x es un punto de la intersección de todas ellas.
Asi, la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía.

[argentinator]

Supongamos (ii) y tratemos de demostrar (i).

Sea una sucesión de Cauchy en E.

Consideremos el número

A partir de algún valor grande de n, cada es finito. (Probarlo usando que la sucesión es de Cauchy).
Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que todos los son finitos.

Además, es claro que la sucesión de números es "decreciente" (en realidad es "no creciente", pero no quiero confundir la intuición del asunto).

Usando que la sucesión de puntos es de Cauchy, se puede probar también que tiende a 0.


Mediante recurrencia, se puede extraer una subsucesión que satisfaga y .

Consideremos bolas cerradas .

Si z es un punto de , entonces
.

Esto muestra que , para todo índice k.

Como los radios de esas bolas tienden a 0, los diámetros tienden a 0, y por hipótesis (ii), la intersección de dichas bolas es un conjunto C no vacío.
Sea x un punto de C.

Tenemos que , todo k, o sea, que la subsucesión tiende a x en E.

De paso, notemos que (pues se trata de los índices de una subsucesión).

Sea ahora .
Existe N tal que k > N implica
Por otro lado, existe M tal que m, n > M satisface , por ser la sucesión de Cauchy.

Elijamos ahora K = max(M, N). Claramente , y en tal caso, para n > K:
.

Esto implica que converge a x.

[argentinator]

Bueno Mabel, ahí te pude responde lo del tema de Cauchy.

Disculpá que no respondí antes, tuve una semana complicada.

Aún así, puse las cuentas de un modo algo "sistemático".
Al menos quería dejar las cuentas "asentadas" para que las tengas a mano, y después podemos analizar la idea de la demostración con más tranquilidad, o ver qué pasa con algunos detalles.

Así no más como está a lo mejor no se entiende nada, jeje, escupí una chorrera de cálculos.
Pero hay una idea atrás de todos esos pasos, así que preguntá lo que haga falta.

[argentinator]

Extraño a mi alumna 

[sanmath]

Ejercicio 16.4. Una aplicación se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto de , el conjunto es abierto en . Pruebe que y son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que es definida por y es definida por .

Sea un elemento básico de , entonces existe elementos básicos de e respectivamente tales que , entonces como es sobreyectiva, tenemos que , luego es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora un abierto, entonces existen elementos básicos tales que , es decir, existen y elementos básicos de  e respectivamente tales que y .

Entonces , es decir, es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, es abierta.

De la misma manera, se prueba que es abierta.

hola en lo alto, me podrìas explicar por que dices que la aplicaciòn es sobreyectiva y por que ,

saludos