Bueno, la prueba de la primer parte ya estaría "matemáticamente" correcta.
La corrección "lógica" falta pulirse, pero eso de a poco se va logrando.
Una prueba está bastante correcta, según mi opinión, cuando uno comienza "exactamente" con la hipótesis, en el medio reemplaza hipótesis por definiciones o viceversa, se encadenan hechos o resultados intermedios de una manera clara y ordenada, y se llega al último paso con la "tesis" deseada, "tal cual" se indica en el enunciado.
Porque si uno pone una conclusión "equivalente", es que al menos falta "un pasito" en la prueba.
En el último paso, está correcto que si el ínfimo es menor que 1/n, todo n, entonces tiene que dar 0.
En realidad es "solamente"
, y uno podría agregar, si es muy quisquilloso, un pasito que diga: "y además sabemos que toda distancia es no negativa, así que el ínfimo no puede ser negativo".
Para la vuelta, no veo claramente cómo lo que has dicho es una prueba "completa" de lo que querés probar.
Te doy mi versión.
(1) Partimos de la hipótesis: d(x, A) = 0.
(2) Como A es un conjunto, y no un punto, esta notación significa que:
(3) Usando una propiedad bien conocido de los supremos y los ínfimos, sabemos ahora que para cada
existe algún
tal que
.
(4) Consideremos, para un n fijo, la bola de centro x y radio 1/n. Por lo visto en (3), vemos que al menos existe un punto z, digamos el
, tal que
.
(5) Por lo tanto, para todo
, la bola B(x,1/n) contiene algún punto de A.
Ya hemos "casi" probado que x es de adherencia de A. Nos falta un paso, que es sencillo pero importante, porque puede que un contexto más general no tengamos "tanta suerte" de que el paso (5) alcance para hablar de "adherencia".
(6) Sea U un entorno (abierto) cualquiera del punto x. Por ser entorno, existe alguna bola B con centro x tal que
. Sea r > 0 el radio de la bola. Tenemos que
.
Como r > 0, "se sabe" (usamos acá propiedades de tipo "arquimediana" de los números) existe un número natural n tal que 0 < 1/n < r.
Entonces, juntando hechos ya probados:
.
(7) Como cada
es un elemento de A, lo que hemos probado en (6), en definitiva, es que todo entorno U del punto x contiene algún punto de A.
(8) La conclusión de (7) es equivalente a decir que "x es punto de adherencia de A".
Desde el punto de vista "lógico" estricto, me parece que la línea (8) es innecesaria.
Pero en el trabajo matemático se suelen dar enunciados con más "palabrerío", porque los matemáticos prefieren trabajar mejor con las ideas y la explicación de las cosas, y no ser tan rígido con la lógica pura.
Entonces aparecen "definiciones" que son más bien de lenguaje hablado que de lógica misma.
Decir "x es punto de adherencia si... blabla" no tiene ninguna utilidad lógica, pero sirve en un texto matemático para llevar mejor el tema.
Sin embargo, cuando insisto con el rigor lógico es porque en definitiva la lógica es nuestro último juez: en caso de duda, o de enunciado difuso o arriesgado, siempre tenemos la lógica pura y estricta para hilar fino en los pasos de la deducción, y obtener mayor certeza de lo que estamos diciendo.
O sea, al menos sabemos que hay precisión si la buscamos.
