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Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013  (Leído 54501 veces)
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« Respuesta #120 : 13/10/2012, 12:57:28 am »

Estuve pensando en tus dudas, y creo que estoy entendiendo por fin el estilo de demostración que estás buscando.

Sólo intento aprender el lenguaje de la matemática y apenas me estoy iniciando en ello. Por eso a veces no entiendo los ejercicios o no sé si estoy escribiendo de manera correcta una sentencia.  :indeciso: Mucho menos hablar de estilos! Pero el mayor favor que puedes hacerme, más allá del que haces leyendo mis respuestas, es mostrarme tu forma de escribir cada caso, sin importar el estilo que te nazca en el momento. A mi cerebro le agrada más la respuesta #117, pero yo sé que la #116 es la que dará frutos más dulces. 

Lo que tenés que hacer para aprender el lenguaje matemático es intentar escribir una misma sentencia, pero con diferentes estilos, grados de precisión, etc.

A veces es difícil explicar cómo lograr agilidad y seguridad en esto del dominio del lenguaje matemático,
pero es lo que intento lograr con este curso.

Me parece que una idea central que puede servir como guía sólida es esta:

Hay una correspondencia entre conjuntos y funciones proposicionales.
Esto permite pasar de la lógica a los conjuntos y viceversa con gran versatilidad.


Por ejemplo, si [texx]p(x)[/texx] y [texx]q(x)[/texx] son funciones proposicionales lógicamente equivalentes (esto quiere decir que [texx]\forall{x:(p(x)\Leftrightarrow{q(x)})}[/texx]), entonces definen el mismo conjunto:

[texx]A=\{x:p(x)\},\qquad B=\{x:q(x)\}[/texx] implica que [texx]A = B[/texx].

Luego, si aplicamos esto a [texx]p(x) \equiv (x\in E)\vee(x\in F)[/texx] y [texx]q(x) \equiv (x\in F)\vee(x\in E)[/texx], obtenemos que:

[texx]E\cup F=\{x:(x\in E)\vee(x\in F)\}=\{x:(x\in F)\vee(x\in E)\}=F\cup E.[/texx]

Esta igualdad entre conjuntos dada por la equivalencia de sus proposiciones lógicas que las definen, es algo que hay que animarse a usar.
Es una interrelación entre lógica y teoría de conjuntos que da soltura y habilidad.

__________________

Sin embargo hay que tener en cuenta una precaución técnica:

Para definir conjuntos en base a una función proposicional p(x), es necesario restringirse a un conjunto, o bien dar una función proposicional tal que ella misma está de algún modo restringida a un conjunto.

Por ejemplo, nos podemos restringir a un conjunto de números naturales N, al espacio tridimensional X de puntos de la geometría, o cualquier otro conjunto:

[texx]A=\{x\in\mathbb N: \exists{k\in \mathbb N(2k=x)}\}.[/texx]

A es el conjunto de números naturales pares, pues es el conjunto de números naturales x tales que existe otro natural k, tal que x = 2k. (Eso es ser par, por definición).

La función proposicional en este caso es [texx]p(x) \equiv \exists{k\in \mathbb N(2k=x)}[/texx], y así el conjunto A tiene este formato como definición:

[texx]A = \{x\in \mathbb N:p(x)\}.[/texx]

Como podés ver, el conjunto A se ha restringido a otro conjunto previo, el conjunto de números naturales [texx]\mathbb{N}[/texx].

Hay funciones proposicionales que, al no estar restringidas, no definen conjuntos.
El ejemplo típico es este: [texx]p(x)\equiv(x=x)[/texx].
Como todo x que se te ocurra cumple que [texx]x = x[/texx], si hubiera un conjunto U (universal) que se defina a través de [texx]p(x)[/texx], dicho conjunto contendría a todo objeto posible. Incluso el mismo U sería elemento de sí mismo.

Estas construcciones están prohibidas en teoría de conjuntos porque conducen a famosas paradojas (la de Russell).

_________________________

En cuanto a la formulación precisa y técnica de la correspondencia entre funciones proposicionales (también llamadas fórmulas de primer orden) y su uso para definir conjuntos (por comprensión),
se da a través del Axioma de Especificación, como podés ver en este enlace: http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,21322.msg86106.html#msg86106.

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« Respuesta #121 : 13/10/2012, 01:08:35 am »

Lo dejo en spoiler porque luego me di cuenta que estos ya estaban en el foro.

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« Respuesta #122 : 13/10/2012, 01:12:13 am »

Otra idea: traducir todo el tiempo los conceptos, ideas y palabras al lenguaje lógico que utiliza sólo conjunciones, disyunciones, negaciones, implicaciones y cuantificadores.

Es como el ejemplo que te dí de los números pares.

¿Cómo se expresa que A es el conjunto de números naturales pares, usando lenguaje matemático?

Ese tipo de preguntas es la que hay que hacerse.
Y creo que la práctica en eso te dará un dominio enorme sobre el lenguaje matemático.

La construcción de la fórmula lógica vendría por ejemplo con estas ideas:

1. ¿Qué significa que un número natural x sea par?
2. Que se puede dividir por 2 y no queda resto.
3. ¿Y cómo se expresa esto algebraicamente?
4. Bueno, que x / 2 es entero.
5. O mejor, que x / 2 da como resultado un número k, que es entero.
6. O sea que x / 2 = k.
7. O bien que x = 2k.
8. ¿Pero qué número es k?
9. No sé, k es algún número que hay por ahí.
10. En lenguaje matemático eso se expresa con la palabra "existe"
11. Luego decimos, reordenando las palabras, y pensando en el formato de cuantificadores que hay que usar:

existe un número natural k tal que x = 2k.

12. Lo pasamos a símbolos: [texx]\exists{k\in\mathbb N}:(x=2k)[/texx].
13. Definimos la función proposicional que depende de x: [texx]p(x)\equiv [\exists{k\in\mathbb N}:(x=2k)][/texx].
14. La función proposicional p(x) es equivalente a la frase en lenguaje informal: "x es un número natural par".
15. Así que el conjunto A de números naturales pares es lo mismo que el conjunto:

[texx]A=\{x\in\mathbb N:p(x)\}=\{x\in\mathbb N:\exists{k\in\mathbb N}:(x=2k)\}.[/texx]


Hay que buscarle la vuelta a las frases y enunciados matemáticos informales para expresarlos en términos de operaciones lógicas y cuantificadores.

A veces hay que reordenar las palabras o ideas hasta que toma un formato técnico adecuado.
Esto se logra con ejercitación y prestando atención.

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« Respuesta #123 : 13/10/2012, 01:13:03 am »

Mañana sigo con los ejercicios del Munkres.
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« Respuesta #124 : 14/10/2012, 12:23:25 pm »

Los ejercicios de Munkres (algunos)
2)
a) ([texx]A\subset{B}\vee A\subset{C}) \Longleftrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]


Falso. Basta ver que [texx]A\subset{(B\cup{C})} \Rightarrow({A\subset{B}\wedge A\subset{C}})[/texx] no se cumple.
Considero los conjuntos [texx]A[/texx] no vacío; [texx]B[/texx] y [texx]C[/texx] conjuntos disjuntos. Entonces A no puede ser subconjunto de B y subconjunto de C puesto que ellos no tienen elementos en común.


Es correcta la resolución, pero me parece que conviene investigar más.

En primer lugar, la implicación [texx]\color{red}\Rightarrow{}[/texx] es verdadera, y entonces convendría demostrarla, y quizás tenerla anotada por ahí, por las dudas sea útil para después.

En cuanto a tu prueba de que la implicación [texx]\Leftarrow[/texx] es falsa, por un lado está bien pensado, pero estrictamente hablando, el ejercicio no está terminado.
Esto se debe a que no pusiste un contraejemplo concreto, sino que diste una idea que permite hallar toda una familia de contraejemplos.
Y entonces vos me dirás: ¿Si acaso un solo contraejemplo es bueno, dar un método o idea que conduce directamente a toda una familia de contraejemplos no es mucho mejor?

La respuesta es que sí... siempre y cuando tengas certeza de que esa "gran" familia es ¡no vacía!.
Pero para probar que es no vacía, no queda más remedio que poner, de nuevo, un ejemplito bien concreto.

Tu idea fue la siguiente: tomar un conjunto A no vacío, contenido en la unión de dos conjuntos disjuntos B y C.
Falta un contraejemplo concreto de eso. Pongamos por ejemplo: A = {x,y,z}, B = {x,y}, C = {z},
donde x, y, z, son tres objetos matemáticos que suponemos distintos (pueden ser números, puntos geométricos, otros conjuntos, etc.).

Pero ahora volvamos un rato a la resolución del ejercicio, y supongamos que estás en la situación de tener que presentarle el resultado a un profesor, por ejemplo.
¿Qué te conviene escribir? ¿La idea, el contraejemplito concreto, o ambas cosas?

Primero y principal: para que el ejercicio esté correcto, lo mejor es escribir el contraejemplo concreto.
Pero para mostrar dotes de "investigación" :guiño: está bueno agregar previamente la idea, ya que es una buena idea, que luego te permite encontrar fácilmente un contraejemplo adecuado.

Las dos cosas son importantes en un ejercicio en que hay que probar falsedad.

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« Respuesta #125 : 14/10/2012, 12:28:53 pm »

Los ejercicios de Munkres (algunos)
2)
a) ([texx]A\subset{B}\vee A\subset{C}) \Longleftrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]


Falso. Basta ver que [texx]A\subset{(B\cup{C})} \Rightarrow({A\subset{B}\wedge A\subset{C}})[/texx] no se cumple.
Considero los conjuntos [texx]A[/texx] no vacío; [texx]B[/texx] y [texx]C[/texx] conjuntos disjuntos. Entonces A no puede ser subconjunto de B y subconjunto de C puesto que ellos no tienen elementos en común.
 
b) [texx](A\subset{B}\vee A\subset{C}) \Longleftrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]

i)  ([texx]A\subset{B}\vee A\subset{C})\Rightarrow {A\subset{(B\cup{C})}}[/texx];
ii)  [texx] {A\subset{(B\cup{C})} \Rightarrow (A\subset{B}\vee A\subset{C})}[/texx]

i)  ([texx]A\subset{B}\vee A\subset{C})\Rightarrow {A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]

Sea [texx]x\in({A\subset{B})[/texx] ó [texx]x\in (A\subset{C})}[/texx]. Si [texx]x\in({A\subset{B})[/texx] por definición de unión [texx]x\in{(A\subset{B\cup{C})}[/texx]. Si [texx]x\in({A\subset{C})[/texx], nuevamente por definición de unión [texx]x\in{(A\subset{B\cup{C})}[/texx]. Se concluye [texx]{A\subset({B\cup{C})}[/texx].

ii)  [texx] {A\subset{(B\cup{C})} \Rightarrow (A\subset{B}\vee A\subset{C})}[/texx]

Sea [texx]x\in {A}[/texx]. Por hipótesis todo elemento de A es elemento de [texx]B\cup{C}[/texx], esto es, todo elemento de A lo es de B, ó, todo elemento de A lo es de C; por definición de inclusión [texx]x\in({A}\subset{B})[/texx] ó [texx]x\in({A}\subset{C})[/texx]. Se concluye [texx]({A}\subset{B})[/texx] ó [texx]({A}\subset{C})[/texx].



El inciso 2(a) está mal copiado, porque la conjunción a usar es "y".

Lo que te comenté en el post anterior corresponde en realidad al inciso 2(b).
Como allí tanto vos como yo pusimos un contraejemplo, tu demostración de la parte ii) tiene que estar mal, ya que es falso el resultado.
Sólo vale el caso i), el cual está correctamente la idea de la demostración o procedimiento, pero está mal escrito.

No se puede poner algo como [texx]x\in(A\subset B)[/texx] porque no tiene ningún sentido.

La expresión [texx](A\subset B)[/texx] es una proposición o afirmación que involucra los conjuntos A y B.
El elemento [texx]x[/texx] no puede pertenecer a una tal "proposición", sino que tiene que pertenecer a algún conjunto.

Así que un modo correcto de poner tu prueba sería así:

Sea [texx]x\in A[/texx]. Por hipótesis o bien [texx]({A\subset{B})[/texx] ó [texx](A\subset{C})}[/texx].
Si [texx]({A\subset{B})[/texx], por definición de inclusión, se obtiene que [texx]x\in B[/texx].

Como es cierto que [texx]B\subset B\cup C[/texx] (esto que está en azul hay que demostrarlo aparte),
nuevamente por definición de inclusión tenemos que [texx]x\in B\cup C[/texx].

Como [texx]x[/texx] es genérico (o arbitrario) se concluye [texx]{A\subset({B\cup{C})}[/texx].

En el caso que [texx]A\subset C[/texx] se procede de modo similar...

_______________-

En la demostración anterior hemos usado un hecho intuitivamente obvio, a saber, que si a un conjunto [texx]B[/texx] "le unimos" otro conjunto [texx]C[/texx], resulta que esta unión contiene a [texx]B[/texx].
Es lo que te escribí en azul.

Ahora bien, esa parte en azul puede hacerse ahí directamente, o bien puede demostarse aparte, como estoy haciendo acá, como si fuera un ejercicio o teorema previo.
Entonces hacemos la
demostración de que [texx]B\subset B\cup C[/texx].

Si [texx]x\in B[/texx] es verdadera, entonces la disyunción [texx](x\in B)\vee (x\in C)[/texx] es verdadera también.
Esto se dice brevemente así:

Si [texx]x\in B[/texx] entonces [texx](x\in B)\vee (x\in C)[/texx].
Como [texx]x[/texx] es genérico, por definición de inclusión podemos afirmar ahora que [texx]B\subset B\cup C[/texx].


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« Respuesta #126 : 14/10/2012, 01:03:46 pm »

Sigo con Munkres.

c) [texx](A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Longleftrightarrow{A\subset{(B\cap{C})}}[/texx]

i) [texx](A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}}[/texx];
ii) [texx]{A\subset{(B\cap{C})} \Rightarrow(A\subset{B})\wedge(A\subset{C})}[/texx]

i) [texx](A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}}[/texx]

Sea [texx]x\in{A}[/texx], por hipótesis [texx]x\in{A}\Rightarrow{x\in{B}}[/texx]  y  [texx]x\in{A}\Rightarrow{x\in{C}}[/texx], entonces [texx]x\in{B}[/texx] y [texx]x\in{C}[/texx], por definición de intersección de conjuntos esto es [texx]x\in{B\cap{C}}[/texx]. Se concluye [texx]A\subset({B\cap{C}})[/texx].

ii) [texx]{A\subset{(B\cap{C})} \Rightarrow(A\subset{B})\wedge(A\subset{C})}[/texx]

Sea [texx]A\subset{(B\cap{C})}[/texx], se tiene que [texx](B\cap{C})\subset B[/texx]  y  [texx](B\cap{C})\subset C[/texx]. Por la propiedad de transitiva para la inclusión de conjuntos, [texx](A\subset{B})[/texx]  y  [texx](A\subset{{C}})[/texx].



Estas demostaciones son correctas y están bien escritas.

Pero para no dormirnos en los laureles te hago algunos comentarios:

En la parte (i) estás usando la hipótesis, es cierto, pero no la nombraste.
La hipótesis es [texx]A\subset B\wedge A\subset  C[/texx].
Luego pasaste directamente a la definición de inclusión, y escribiste [texx]x\in A\Rightarrow x\in B[/texx], por ejemplo, lo cual está bien.

Pero ya que estás practicando el lenguaje matemático, te recomiendo ensayar otras formas de escribir tu prueba, porque aunque se ve correcta, se olfatea que en tu mente estás atando algunos cabos un poco a la fuerza.

Creo que esto tiene que ver con la manera en que estás trabajando la conjunción "y" en el razonamiento de todo el inciso (i).
Fijate esta forma de pensarlo:

Demostrar que: [texx](A\subset{B})\wedge(A\subset{C})\Rightarrow{A\subset{(B\cap{C})}}[/texx]

Hipótesis: [texx](A\subset{B})\wedge(A\subset{C})[/texx].

Aquí se puede aplicar la regla de simplificación (de la conjunción lógica) dada por: Si [texx](p\wedge q) [/texx] entonces [texx]p[/texx].

Así que escribimos dos conclusiones a partir de la hipótesis:

(1) [texx]A\subset B[/texx]
(2) [texx]A\subset C[/texx]

Sea [texx]x\in{A}[/texx],
por definición de inclusión, [texx]x\in{A}\Rightarrow{x\in{B}}[/texx].
Entonces, por (1), [texx]x\in B[/texx].
De modo análogo, por (2), vale que [texx]x\in C[/texx].

Entonces [texx]x\in{B}[/texx] y [texx]x\in{C}[/texx].
Entonces, por definición de intersección de conjuntos esto es [texx]x\in{B\cap{C}}[/texx].
Se concluye [texx]A\subset({B\cap{C}})[/texx].

______________

¿Cuáles son las pequeñas diferencias entre mi forma de escribir y la tuya?
Sospecho que te falta pulir un poquito más la diferencia entre "implicación" y "deducción".

Las deducciones son encadenamientos de afirmaciones sólidas a través de "implicaciones".
Pero las "implicaciones" por sí solas son sólo "razonamientos sueltos".
Así, no es lo mismo escribir [texx]x\in A\Rightarrow x\in B[/texx] (que es tan sólo una definición de inclusión de conjuntos, que no demuestra nada), que escribir lo siguiente:

Demostramos o suponemos que [texx]x\in A[/texx].
Demostramos o suponemos que [texx]x\in A\Rightarrow x\in B[/texx].
Entonces podemos deducir por modus ponens que [texx]x\in B[/texx] es verdadero.

Te recuerdo el esquema de razonamientos "Si... entonces...":

Si p entonces q, quiere decir esto:

[texx]p[/texx]
[texx]p\Rightarrow q[/texx]
_____
q

Apoyarse en verdades sólidas es el modo de demostrar correctamente algo,
y usar las implicaciones (o sea, operaciones de la forma [texx]p\Rightarrow q[/texx]) sólo como pasos intermedios que van hilvanando el razonamiento.
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« Respuesta #127 : 14/10/2012, 01:24:19 pm »

En relación al último ejercicio, tal vez sea bueno reflexionar sobre la mescolanza entre conjunciones e implicaciones, y sobre cómo manejarlas.

Fijate que el razonamiento usado fue algo de este tipo:

Si [texx](p\Rightarrow{q})\wedge(p\Rightarrow{r})[/texx] entonces [texx]p\Rightarrow{(q\wedge r)}[/texx].

Hay que convencerse de que un razonamiento de ese tipo siempre es válido,
y así podrá usarse con confianza en el futuro, siempre que aparezca algo de ese tipo.

Si llamamos [texx]s\equiv [(p\Rightarrow{q})\wedge(p\Rightarrow{r})][/texx], [texx]t\equiv [p\Rightarrow{(q\wedge r)}][/texx],
bastará demostrar que [texx][s\wedge (s\Rightarrow{t})]\Rightarrow{t}[/texx] es una tautología, o sea, que siempre es verdadero.

Te lo dejo como un ejercicio (porque hoy no tengo ganas de hacer cálculos con operaciones lógicas).
Pero lo importante es que el razonamiento antes indicado es siempre válido,
y estar segura de eso te facilitaría el camino en el ejercicio 2(c) anterior.

Saludos
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« Respuesta #128 : 14/10/2012, 09:14:31 pm »

Espero no volverme pesado con todas estas recomendaciones, pero es que estoy tratando de enfocar las cosas acorde en lo que según mi experiencia me han brindado solidez en los razonamientos matemáticos, en el sentido de que me siento seguro de lo que estoy escribiendo cuando escribo una demostración.

(Cosa muy distinta es resolver un problema concreto o darse cuenta de una demostración que resulta difícil de encontrar, cuestiones para las cuales estamos todos en igualdad de condiciones).
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« Respuesta #129 : 15/10/2012, 11:20:47 pm »

Los ejercicios de Munkres (algunos)
2)
a)
([texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}) \Longleftrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx] (corregido el enunciado)
 

Falso. Basta ver que [texx]A\subset{(B\cup{C})} \Rightarrow({A\subset{B}\wedge A\subset{C}})[/texx] no se cumple.
Considero los conjuntos [texx]A[/texx] no vacío; [texx]B[/texx] y [texx]C[/texx] conjuntos disjuntos. Entonces A no puede ser subconjunto de B y subconjunto de C puesto que ellos no tienen elementos en común.
 

Bueno, aunque corregiste el enunciado, tu prueba es la misma y sirve igual, y los comentarios que te hice en su momento al respecto también sirven de todos modos.

Pero ahora se puede incluso buscar un contraejemplo más directo.
Por ejemplo, basta tomar A no vacío, B = A y C vacío.
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« Respuesta #130 : 16/10/2012, 08:32:39 pm »

Hola, traté de hacer este ejercicio con funciones proposicionales, pero sólo gané dudas.

[texx]
F\subset{E}\Longleftrightarrow{E\cup{F}=E}
[/texx]


i) [texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})\wedge({E\subset{E\cup{F}})[/texx];
ii) [texx]E\cup{F}=E\Rightarrow{F\subset{E}}
[/texx]

i) [texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})\wedge({E\subset{E\cup{F}})[/texx]
1)[texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})[/texx]
2)[texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\subset{E\cup{F}})[/texx]

1)[texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})[/texx]
Sea [texx]x\in E\cup{F}[/texx]. Por definición de unión de conjuntos [texx]x\in{E}[/texx] ó [texx]x\in{F}[/texx]. Si [texx]x\in{E}[/texx], entonces [texx]x\in{E}[/texx] y por definición de inclusión de conjuntos [texx]E\subset{E}[/texx]. Si [texx]x\in{F}[/texx], por hipótesis [texx]F\subset{E}[/texx]. Luego [texx]{E\cup{F}\subset{E}[/texx].

2)[texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\subset{E\cup{F}})[/texx]
Sea [texx] F\subset{E}[/texx], por definición de inclusión [texx]x\in{F}[/texx] implica que [texx]x\in{E}[/texx]. Si  [texx]x\in{E}[/texx], entonces [texx]x\in{E}[/texx] ó [texx]x\in{F}[/texx]. Esto es, si [texx]x\in{E}[/texx], entonces por definición de unión [texx]x\in{E\cup{F}}[/texx] y por definición de inclusión [texx]E\subset{E\cup{F}}[/texx].

ii) [texx]E\cup{F}=E\Rightarrow{F\subset{E}}[/texx]

Sea [texx]x\in{F}[/texx], entonces [texx]x\in{F}[/texx] ó [texx]x\in{E}[/texx] y por la unión de conjuntos [texx]x\in{F\cup{E}}[/texx]. Por lo tanto, si [texx]x\in{F}[/texx], entonces [texx]x\in{F\cup{E}}[/texx]. Por definición de inclusión [texx]F\subset{F\cup{E}}[/texx], y por la propiedad conmutativa de la unión de conjuntos [texx]F\subset{E\cup{F}}[/texx] (a).
Por hipótesis [texx]E\cup{F}=E[/texx] y por definición de doble inclusión de conjuntos [texx](E\cup{F}\subset{E})\wedge (E\subset{E\cup{F}})[/texx]. En particular [texx]E\cup{F}\subset{E}[/texx] (b). Por la propiedad transitiva para (a) y (b), [texx]F\subset{E}[/texx].

******
Si quiero utilizar funciones proposicionales, ¿puedo tomar estas? [texx]p(x)\equiv [x\in{F}\Rightarrow{x\in{E}}][/texx], [texx]q(x)\equiv [x\in{}E \vee{x\in{}F}][/texx];  [texx]r(x)\equiv [x\in{E}][/texx], [texx]s(x)\equiv [x\in{F}][/texx]
¿Hay algún número mínimo de funciones a tomar?

¿Lo que intento demostrar correspondería a esta fórmula [texx]p(x)\Leftrightarrow{(q(x)\equiv{}{r(x)})}[/texx]?

Cuando intenté demostrarlo con las funciones me quedó algo así, no tengo idea de si al menos me aproximo a lo que debiera ser XD.

[texx]p(x)\Leftrightarrow{s(x)\Rightarrow{r(x)}}\Leftrightarrow{(s(x)\Rightarrow{r(x)})\vee s(x)}\Leftrightarrow{q(x)}\equiv{r(x)}[/texx]
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« Respuesta #131 : 16/10/2012, 10:09:19 pm »

Hola Sidarta.

Yo lo que hago es escribir las deducciones según me parecen correctas, ya sea por experiencia o por intuición.
Y sólo después me fijo cuáles de los pasos no los he justificado bien,
y recién es ahí donde me pongo a hilar más fino utilizando funciones proposicionales.

Aún así, luego voy a mirar tu resolución para ver si puedo comentarte algo útil.

Saludos
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« Respuesta #132 : 17/10/2012, 12:15:27 am »


Aún así, luego voy a mirar tu resolución para ver si puedo comentarte algo útil.

Hola, te lo agradezco pero no creo que sea de ayuda. Ya me conseguiré mejor un libro de lógica o lo que haga falta-
Si estás de acuerdo prefiero traer algo de Munkres o lo que reste de ejercitación que hayas dejado.

Saludos.
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« Respuesta #133 : 17/10/2012, 01:07:34 am »

Como quieras.

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« Respuesta #134 : 19/10/2012, 06:51:50 pm »


1)[texx]F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})[/texx]
Sea [texx]x\in E\cup{F}[/texx]. Por definición de unión de conjuntos [texx]x\in{E}[/texx] ó [texx]x\in{F}[/texx]. Si [texx]x\in{E}[/texx], entonces [texx]x\in{E}[/texx] y por definición de inclusión de conjuntos [texx]E\subset{E}[/texx]. Si [texx]x\in{F}[/texx], por hipótesis [texx]F\subset{E}[/texx]. Luego [texx]{E\cup{F}\subset{E}[/texx].



Está casi bien, pero me marean algunos de tus pasos.

Creo que la dificultad del ejercicio está en que es... demasiado fácil!!
Entonces cuesta expresarlo sin enredarse.

El comienzo es correcto: "Sea [texx]x\in E\cup F[/texx]".
Eso es importante, haber empezado bien.
Lo que me parece que hiciste mal fue concluir resultados parciales intermedios como [texx]E\subset E[/texx] o [texx]F\subset  E[/texx].

Esos resultados son ciertos, pero no te llevan a la conclusión que estás buscando.

Reescribo tu prueba así:

Sea [texx]x\in E\cup{F}[/texx].
Por definición de unión de conjuntos [texx]x\in{E}[/texx] ó [texx]x\in{F}[/texx].
Si [texx]x\in{E}[/texx], entonces [texx]x\in{E}[/texx] (punto aparte)[/tex].
Si [texx]x\in{F}[/texx], como por hipótesis [texx]F\subset{E}[/texx], resulta [texx]x\in E[/texx].
Luego, en cualquier caso se obtuve que [texx]x\in E[/texx].
Luego [texx]{E\cup{F}\subset{E}[/texx].

__________

Tu prueba de (2) es correcta, pero fijate el hecho interesante de que no parece que sea necesario usar la hipótesis [texx]F\subset  E[/texx] en ningún momento.
Es irrelevante, o superfluo.

Es importante aprender a reconocer cuáles de todas nuestras hipótesis fueron realmente necesarias en una demostración.

Y si una hipótesis no fue usada, preguntarse si nos faltó algo en la prueba,
o si realmente esa hipótesis era superflua.


____________

Consejos como el anterior que te dí son más importantes que lo que me preguntaste de las funciones proposicionales.

_____________

Tu prueba de (ii) tiene unos enredos en el medio que no me gustan.

Creo que tenés que limitarte a usar la hipótesis [texx]E\cup F =E[/texx] en el momento que sea oportuno, y listo.
No hay que darle tantas vueltas a las cosas.

Te la recorto un poco:
 
Sea [texx]x\in{F}[/texx], entonces [texx]x\in{F}[/texx] ó [texx]x\in{E}[/texx] y por la unión de conjuntos [texx]x\in{F\cup{E}}[/texx]. (.... saco todo lo que pusiste acá ...)
Por hipótesis [texx]E\cup{F}=E[/texx] y
entonces [texx]x\in E[/texx].

Por lo tanto [texx]F\subset E[/texx].

_________________

Con funciones proposicionales, tendrías algo así para la parte (1) de (i):

[texx]p(x)\equiv [x\in{F}\Rightarrow{x\in{E}}][/texx], [texx]q(x)\equiv [x\in{}E \vee{x\in{}F}][/texx];  [texx]r(x)\equiv [x\in{E}][/texx].

Te queda lo siguiente:
[texx]\big(\forall x:p(x)\big)\Rightarrow \big(\forall x:q(x)\Rightarrow r(x)\big)\wedge\big(\forall x:r(x)\Rightarrow q(x)\big)[/texx].

_________________
Cita
¿Hay algún número mínimo de funciones a tomar?



Vos podés usar funciones proposicionales tan pequeñas o tan extensas como quieras, y en la cantidad que quieras.
Lo importante es que estén correctamente formadas.

Con esto me refiero a que "efectivamente" una función proposicional como p(x) depende "efectivamente" de x.

Algo como [texx]\forall x:(x\in E)[/texx] no es una función proposicional, porque el cuantificador [texx]\forall x[/texx] afecta a la variable x, y se refiere a "todos los valores posibles de x a la vez", con lo cual, ya no es cierto que para cada x "eso" sea una proposición específica.

En cambio [texx]x\in E[/texx] sí es función proposicional con la variable x, debido a que es posible sustituir la variable x con diversas "constantes" (o valores), y en cada caso se obtiene una proposición concreta distinta.

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« Respuesta #135 : 19/10/2012, 06:56:40 pm »

Las pruebas que vos sabés hacer son de este tipo:

Tomar un elemento x en un conjunto A, y luego demostrar que ese x está en el conjunto B.

Eso en símbolos es así [texx]x\in A \Rightarrow x\in B[/texx].

Según la regla lógica de generalización, una vez que vos probaste eso, podés agregar el cuantificador,
y escribir lo siguiente:

[texx]\forall x: (x\in A \Rightarrow x\in B).[/texx]

Esto último recién es la definición de [texx]A\subset B[/texx].

Por eso tus pruebas sirven, y están bien.
Pero tenés que tener en cuenta que cuando concluís algo como [texx]A\subset  B[/texx],
en el interín estás haciendo esa "generalización" (o sea, agregando el cuantificador [texx]\forall[/texx]).

Hay que confiar en eso, pues es una regla de deducción correcta.

En general, si probaste que, dado un x fijo, la proposición p(x) es cierta,
entonces es cierto esto otro: [texx]\forall x: p(x)[/texx].

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« Respuesta #136 : 03/02/2013, 05:37:45 pm »

Hola, me gustaria saber cuanto conocimiento previo sobre algebra demanda para poder llevar adelante este curso.
si me inscribo y no se lo sufuciente puedo consultar?
si es asi me inscrobo un saludo
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« Respuesta #137 : 03/02/2013, 08:20:17 pm »

Creería que no hacen faltas conocimientos de álgebra.

Aunque el libro en el que me estoy basando tiene una parte que es un "repaso" de cosas anteriores de álgebra y análisis,
esas partes se pueden evitar, o bien estudiamos directamente los ejercicios que aparecen de las correspondientes secciones de álgebra.

Los aspectos algebraicos se refieren sobretodo a propiedades de los números,
lo cual no hay problema en repasarlas.

Lo que sí hay bastante es sobre la propiedad de inducción de los números naturales.
Pero eso está explicado muy detalladamente.

Podrías tomar del curso lo que te sirva, y después vas viendo.

Un saludo
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« Respuesta #138 : 06/02/2013, 03:35:29 pm »

vadenuevo, hola, no manejo para nada el tema foros asi que recien vi tu respuesta gracias.
pregunta estoy incripto entonces?

donde busco lo estas dando?
un saludo
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« Respuesta #139 : 06/02/2013, 04:07:02 pm »

Sí, estás inscripto.

La información del curso está toda en el primer post de este hilo (tendrías que ir a la primer página de este hilo y buscar el primer mensaje).

Te pongo el enlace:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=48431.msg192209#msg192209

Hay 3 enlaces asociados al curso:

Este mismo, el de Organización,
el de Dictado,
el de Comentarios.

Las notas están en la parte de Dictado (o "Notas del Curso").
Basta hacer clic en los enlaces que aparecen ahí.

Saludos
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