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Autor Tema: Consultas y Comentarios del Curso/Taller: Cálculo de Límites (de números reales)  (Leído 9193 veces)
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« : 22/01/2011, 01:09:46 am »

Consultas y Comentarios del Curso/Taller:
Cálculo de Límites (de números reales)

Este es el hilo de Consultas y Comentarios del curso.
Aquí se postean los ejercicios resueltos, las dudas, y otros comentarios.

Para saber cuál es el objetivo del Curso/Taller, inscribirse al curso, y saber cómo participar, ir al hilo siguiente:


Para acceder a las notas teóricas y los enunciados de los ejercicios, ir al hilo siguiente:


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Darío Rivera
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« Respuesta #1 : 26/11/2011, 04:29:41 am »

Hola argentinator, ya he comenzado con la temática del curso "cálculo de límites en [texx]\mathbb{R}[/texx]", y aunque no voy tan rápido como quisiera he sido constante. Lo primero sería notificarte que se te ha pasado que [texx]a\cdot0=0\cdot a=\color{red}0[/texx] en "Ley de absorción del cero" (Respuesta 2).

Ahora, tengo una duda con lo siguiente: Definicón de límite

En la definición de límite lateral (por la izquierda), resumida como

[texx]\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\mbox{ tal que } x_0-\delta<x<x_0\mbox{ se cumple que } |L-f(x)|<\epsilon[/texx]

¿Valdría tomar [texx]f(x_0)-\epsilon<f(x)<L[/texx]?

Saludos!
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« Respuesta #2 : 27/11/2011, 03:21:22 pm »

Ok, Darío. Perdón por la demora en responder.

El error que has marcado ahora lo corrijo.

En cuanto a tu pregunta sobre el límite lateral, la respuesta es NO.

"Lateral" significa solamente "lateral en el dominio de la función".

En el conjunto imagen, la función puede oscilar por arriba y por debajo del límite L, hasta converger a él.

_______

Creería que el sentido de definir límite lateral es, entre otras cosas, el dar una definición de límite para funciones sobre intervalos cerrados [a, b], ya que si nos interesa por ejemplo el límite de la función cuando x tiende a b, y la función no está definida a la derecha de b, entonces necesariamente hay que considerar un límite por la izquierda de b.

Cuando se pide continuidad en un intervalo [a, b], basta pedir una condición de límite lateral en los extremos del intervalo.

Saludos
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Darío Rivera
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« Respuesta #3 : 07/12/2011, 02:35:01 am »

Muchas gracias por tu respuesta, me ha surgido otra duda  :sonrisa_amplia:

Para que el límite de una función [texx]f(x)[/texx] exista, debe tomarse un intervalo agujereado (entorno reducido) al rededor de un punto [texx]a[/texx]. De esto se debe cumplir según la definición de límite que para cada [texx]\epsilon[/texx] exista [texx]\delta[/texx] tal que [texx]|f(x)-\ell{}|<\epsilon[/texx] cuando [texx]0<|x-a|<\delta[/texx].

De esto, se sabe que la función no necesariamente debe estar definida en [texx]a[/texx] (para eso se tomar el entorno reducido), pero valdría también tomar [texx]0<|f(x)-\ell{}|<\epsilon[/texx]?

Saludos!
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« Respuesta #4 : 07/12/2011, 10:25:04 am »

En efecto, el límite sólo exige entornos agujereados en el dominio.

Pero en la imagen no.

Supongamos el siguiente ejemplo:

[texx]\displaystyle \lim_{x\to0} x\sen (1/x)[/texx]

Claramente esa función no está definida en [texx]x=0[/texx], así que en el dominio hay que tomar entornos agujereados.
Pero eso no es lo que me interesa, sino observar que la función [texx]f(x) = x\sen(1/x)[/texx] oscila muchísimo, pasando por 0 infinitas veces.
En realidad, lo hace cada vez que [texx]1/(\pi x)[/texx] es un entero [texx]k[/texx].

Si dibujamos la función, veremos que "a ojo", "intuitivamente", parece ser que [texx]f(x)[/texx] se aproxima cada vez más a 0 cuando [texx]x\to 0[/texx].

Si agujereamos la imagen de la función, como vos estás haciendo, entonces estaríamos diciendo que esta función no tiende a 0.
(Mientras que la definición correcta de límite respeta la intuición en este caso).


____________

Pero te pongo un caso más claro aún.

Si [texx]f(x) = L[/texx], al agujerear la imagen en [texx]L[/texx], estarías diciendo que ¡la función constante no tiende a nada!

____________

"Agujerear" el dominio se hace porque cuando uno estudia el límite, lo que le interesa es analizar lo que pasa "cerca" del punto [texx]x_0[/texx] al que uno desea acercarse.
Si uno "ve" que la función "tiende a algo" al acercarnos a [texx]x_0[/texx], aún cuando la función en [texx]x_0[/texx] no esté definida, o incluso esté definida pero tiene otro valor... entonces esa "tendencia" es lo que importa para definir límite.

¿Qué comportamiento o detalle cualitativo estarías analizando al "agujerear" la imagen?

_______

Entiendo que hayas preguntado esto, porque es natural darse cuenta la falta de "simetría" en el tratamiento del dominio y de la imagen.
Pero basta con analizar lo que se está haciendo en cada caso, y entender los motivos de una forma de proceder u otra.


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Darío Rivera
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« Respuesta #5 : 07/12/2011, 03:39:20 pm »

Hola, creo que con el contrajemplo de la función constante es suficiente para demostrar que en el rango son imposibles los entornos reducidos. Pero no me queda del todo claro el ejemplo de la función trascendente:

...
Si agujereamos la imagen de la función, como vos estás haciendo, entonces estaríamos diciendo que esta función no tiende a 0.
(Mientras que la definición correcta de límite respeta la intuición en este caso).
...

Ahora,

...
¿Qué comportamiento o detalle cualitativo estarías analizando al "agujerear" la imagen?
...

Parece lógico observando la siguiente función

[texx]f(x)=\dfrac{(x+3)(x-1)}{(x-1)}[/texx]

La cuál es una función lineal indefinida en [texx]f(1)[/texx]. No se cumpliría para esta función el tomar la definición con intervalos agujereados tanto en el dominio como en el contradominio?

PD: Ya debería haberlo entendido, pero en serio me cuesta un poco de trabajo entender este aspecto de la definición.

Saludos!
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« Respuesta #6 : 07/12/2011, 06:07:23 pm »

En efecto, con la función que tomaste, la definición de límite con el agujero L = 4 en los entornos tomados en la imagen... da el mismo resultado. "Se cumple" lo que vos estás buscando.

Pero con la función que te puse yo: [texx]f(x) = x\sen (1/x)[/texx] eso no se cumple.

Ahí, L = 0 es el límite de la función cuando x tiende a 0, según la definición usual.
Si ahora ponemos entornos agujereados, estamos exigiendo que:

[texx]0< |x|< \delta \implies 0< |f(x)-L|< \epsilon[/texx].

Y ahí ya no se cumple que L pueda ser L = 0, o sea, el límite ya no puede ser 0,
debido a que en todo entorno (agujereado) [texx]0< |x|< \delta[/texx] existe un valor de [texx]x[/texx] lo bastante pequeño tal que [texx]0=|f(x)-L|[/texx].
Para hallar ese valor, basta observar que existe un entero bastante grande, digamos [texx]N[/texx], que es mayor que el número [texx]1/\delta[/texx].
Luego [texx]0< 1/(N\pi)< 1/N< \delta[/texx]. Pero entonces para [texx]x= 1/(N\pi)[/texx] tenemos [texx]f(x) = 0[/texx].

Esto contradice la condición de límite (agujerado) [texx]0< |f(x)-L|< \epsilon[/texx], cualquiera sea el [texx]\epsilon[/texx].

(En el gráfico se ve claramente que sin importar cuán pequeño sea el radio [texx]\delta[/texx] del entorno alrededor de [texx]x=0[/texx], hay muchos puntos [texx]x[/texx] tales que la imagen  [texx]f(x)[/texx] cruza por el valor [texx]L=0[/texx], que coincide con el límite buscado cuando x tiende a 0).

El ejemplo que puse a propósito lo hago cruzar infinitas veces por el valor del límite mismo al que tiende la función... :guiño:

_________

En resumen: tenemos este ejemplo de una función en la cual el límite es claramente 0,
pero con la definición de "entorno agujereado en la imagen" no se puede llegar a la conclusión deseada de que ése es el límite.

Pienso que es un ejemplo claro de por qué la definición agujereada "no funciona".

Sólo espero haber sido claro yo al explicarlo... mmmm
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Darío Rivera
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« Respuesta #7 : 07/12/2011, 07:07:07 pm »

Ya lo he entendido, y si lo he hecho bien, a mi modo de ver sería de la siguiente forma:

Suponiendo que se cumple la definición de "entornos agujereados en el dominio y contradominio", y sabiendo que [texx]\lim_{x\to{0}}{f(x)}=0[/texx] se tiene que:

[texx]0<|x-a|<\delta\longrightarrow{0<|f(x)-L|<\epsilon}\Longrightarrow{}[/texx]

[texx]0<|x|<\delta\longrightarrow{0<|f(x)|<\epsilon}\Longrightarrow{}[/texx]

[texx]0<|x|<\delta\longrightarrow{0<\left|x\sen{\dfrac{1}{x}}\right|<\epsilon}[/texx]

De lo cual se llega a un absurdo ([texx]0<0[/texx]) al tomar [texx]x=\dfrac{1}{N\pi}[/texx], con [texx]N\in\mathbb{Z}[/texx]

Y esto es gracias a que

...
(En el gráfico se ve claramente que sin importar cuán pequeño sea el radio [texx]\delta[/texx] del entorno alrededor de [texx]x=0[/texx], hay muchos puntos [texx]x[/texx] tales que la imagen  [texx]f(x)[/texx] cruza por el valor [texx]L=0[/texx], que coincide con el límite buscado cuando x tiende a 0).

El ejemplo que puse a propósito lo hago cruzar infinitas veces por el valor del límite mismo al que tiende la función... :guiño:
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« Respuesta #8 : 07/12/2011, 07:12:08 pm »

Claro, ése es el razonamiento.

El único cuidado que hay que tener es que el entero N a elegir tiene que ser lo bastante grande, pues depende de qué tan chico sea el radio [texx]\delta[/texx] que se haya tomado.

Saludos
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