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Autor Tema: Dictado del Curso de Topología (Munkres)  (Leído 36688 veces)
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« : 05/01/2010, 02:42:40 pm »

Curso de Topología

Objetivos: Desarrollar teoría y práctica hasta adquirir dominio de todos los conceptos fundamentales de Topología.
Bibliografía de base: Topology, Munkres, 2ed.
Bibliografía adicional: Topología general, Kelley.
Responsable: Argentinator
Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Nociones elementales de teoría de conjuntos, límites y continuidad de funciones.


Para participar del curso hay que inscribirse, lo cual es muy sencillo: hacer clic en el siguiente thread y postear un mensaje que diga "Me inscribo al curso de topología", o algo por el estilo.
>> Organización e inscripciones al curso: Topología (Munkres)

Para realizar comentarios, consultas, presentar ejercicios, etc., traten de ponerlos en el siguiente enlace:
>> Consultas y otros comentarios del curso: Topología (Munkres)



Inscriptos al 17/Enero/2010:

Jabato, aesede, mathtruco, legui, mvct, rcamino, Debor, QuantumWalrus, aladan, alefa, hector manuel, Sonata, kike0001, Elsilbon, Dibu, cristian25m, Paul Erdos, Quimey, Alejo, dilcia, chigui, morito14, quema, enloalto, Grisel, Stinson, David Carbajal.

Gracias por el apoyo, y anímense a opinar y preguntar.   :sonrisa:



Spoiler: ¿Qué es la Topología General? (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: ¿Qué es la Topología Algebraica? (click para mostrar u ocultar)

Vamos a desarrollar los temas en el orden en que aparecen en el texto de Munkres,
y los detalles se muestran cliqueando en el spoiler siguiente:


Los temas de teoría de conjuntos los iremos ampliando de a poco a lo largo del curso.
En cambio, los demás temás irán en orden.
Sin embargo, antes de comenzar con el capítulo 2 de Munkres, vamos a dar explícitamente la definición de Espacio Topológico, y vamos a ver los ejemplos más comunes e importantes, que han inspirado el desarrollo ulterior de la teoría topológica


Mecánica de presentación de ejercicios: si ustedes se han puesto a resolver ejercicios, estaría bueno que los publiquen en la sección de "Consultas, comentarios y ejercicios".
No hace falta que publiquen todo, pero sí alguno de vez en cuando, así no me siento tan solo  :llorando: .

Estaría bueno también que aprovechemos esto de estar en un foro para compartir opiniones entre todos. Si sólo hablo yo... no sé si estoy apuntando bien los tiros.  :rodando_los_ojos:
Recuerden que el curso les tiene que servir a todos los que se hayan inscripto, así que manténgase en contacto para que yo pueda adaptar los contenidos, o responder dudas.

Reseña e índice de los contenidos del curso, con enlaces dinámicos.

Antes de comenzar con el libro, vamos a hacer colocar un post de repaso general de teoría de conjuntos. Voy a hacer hincapié en aquellas cuestiones que serán de suma importancia en el trabajo posterior.
El material de dicho post es opcional.


>>> Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos.

>>> 1. Teoría de Conjuntos y Lógica.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En este etapa inicial vamos a interrumpir el temario del Munkres para dar directamente la definición de espacio topológico, y seguidamente una lista con los ejemplos más comunes de topología.
La topología se aprende mejor a través de sus ejemplos, reflexionando sobre lo que tienen en común y sobre sus mutuas diferencias.


>>>Definición axiomática de Topologías y Espacios Topológicos.
Una topología sobre un conjunto [texx]X[/texx] se define a través de 4 axiomas muy simples,
pero de amplias repercusiones. Veremos aquí los hechos y definiciones más elementales.


A continuación los ejemplos básicos que siempre tendremos en cuenta.

Spoiler: Acceso a Ejemplos (click para mostrar u ocultar)

>>> 2. Espacios topológicos y funciones continuas.

Aquí empieza el tema que nos interesa, y vamos a comenzar con ejemplos geométricos clásicos y fáciles de visualizar, para pasar después al concepto general de topología.

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« Respuesta #1 : 05/01/2010, 07:32:14 pm »

Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos.

Nota: La mayor parte de los contenidos del Tema 1 son opcionales. Aquellos que no se sientan demasiado confiados con las cuestiones de teoría de conjuntos, podrían echar una mirada a ver qué necesitan ajustar, o simplemente repasar.
Los contenidos necesarios se irán "rellenando" de a poco.

Para la teoría topológica, es de fundamental importancia el concepto de uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos. Así que veamos un poco esto.

Repasemos algunos conceptos de teoría de conjuntos que serán moneda de corriente en el estudio de la topología general.

Subconjuntos.

Dados dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], se dice que [texx]A[/texx] es subconjunto de [texx]B[/texx], y se escribe [texx]A  \subset  B[/texx], siempre que se cumpla la siguiente implicación, para todo [texx]x[/texx]:

[texx]x\in A \Rightarrow{x\in B}.[/texx]

Cuando queremos comprobar si un conjunto es subconjunto de algún otro, lo que tenemos que hacer es demostrar que, cualquiera sea el elemento [texx]x[/texx] que se tome en [texx]A[/texx], éste [texx]x[/texx] también está en [texx]B[/texx].

Ley transitiva de inclusión de conjuntos: Si [texx]A,B,C[/texx] son tres conjuntos tales que [texx]A\subset B[/texx] y [texx]B\subset C[/texx], entonces [texx]A\subset C[/texx].
Esto es fácil de demostrar. Es un hecho que usaremos asiduamente.

Observación: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.



Igualdad

Se dice que dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son iguales entre sí, y se escribe [texx]A = B[/texx], si se cumple la doble inclusión:

[texx]A\subset  B, B\subset  A[/texx]

La igualdad de dos conjuntos debe en general demostrarse, pues, mediante dos pasos obligatorios.
Primero, probar la implicación [texx]x\in A \Rightarrow{ x\in B}[/texx],
segundo, probar la implicación [texx]x\in B \Rightarrow{ x\in A}.[/texx]



Conjunto vacío y conjuntos disjuntos.

Spoiler: Clic para ver definiciones (click para mostrar u ocultar)



Familias de conjuntos.

Agrego aquí una exposición algo extensa sobre las ideas y notaciones que se usan al referirse a familias de conjuntos. Lo coloco en un spoiler.




Unión de conjuntos.

Dados dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], su unión se define por:

[texx]A\cup B := \{x:x\in A\textsf{\ ó\ }x\in B\}[/texx]

Esto quiere decir que, para que un elemento x esté en la unión, es suficiente conque pertenezca al menos a uno de los dos conjuntos.
Si tenemos una lista finita de conjuntos [texx]A_1,...,A_n[/texx], se puede generalizar la anterior definición:

[texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\}[/texx]

Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:

[texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\}[/texx]

Si leemos en castellano la igualdad anterior, nos está diciendo que la unión de los conjuntos [texx]A_1,\cdots, A_n[/texx] está definido como el conjunto de todos aquellos elementos [texx]x[/texx] tales que existe algún índice [texx]k[/texx] en el conjunto finito [texx]\{1,2,\cdots,n\}[/texx] tal que [texx]x\in A_k[/texx].

Ejercicio: Observar las dos definiciones de la unión finita [texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n[/texx] hasta comprender que son lógicamente equivalentes. Luego dudar un poquito, y volver a mirar hasta volver a convencerse. Reflexionar.

Esta forma del cuantificador existencial permite una inmediata generalización del concepto de unión para familias infintias de conjuntos.
En vez de la lista [texx]\{1,2,\cdots,n\}[/texx] consideramos ahora un conjunto I de índices cualquiera, que puede ser finito o infinito, como uno prefiera.
Supongamos además que por cada índice [texx]\iota \in I[/texx] hemos especificado algún conjunto [texx]A_\iota [/texx].
Nos queda definida una familia de conjuntos [texx]\mathcal A=\{A_\iota \}_{\iota \in I}[/texx].
Ahora queremos definir la unión de todos los elementos que pertenecen a la familia [texx]\mathcal A[/texx]. Lo hacemos así:

[texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\}[/texx]

En otras palabras, un elemento [texx]x[/texx] pertenece a la gran unión siempre y cuando haya al menos un elemento de la familia [texx]\{A_\iota \}_{\iota \in I}[/texx] al cual [texx]x[/texx] pertenezca.



Intersección.

La intersección de dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se define de la siguiente manera:

[texx]A\cap  B=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\in B\}[/texx]

O sea, para que un elemento [texx]x[/texx] esté en la intersección debe ocurrir que esté al mismo tiempo en los dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx].
Se puede generalizar al caso de intersecciones finitas, e incluso con un conjunto arbitrario de índices.
Para practicar un poco, se los dejo como ejercicio (basta copiar la idea de lo que se hizo para las uniones):

  • Ejercicio Anexo.1.1.a: Definir la intersección de una lista finita de conjuntos [texx]A_1,A_2,\cdots A_n[/texx], generalizando el caso de intersección de dos conjuntos.
  • Ejercicio Anexo.1.1.b: Reformular la definición anterior usando ahora el cuantificador universal "[texx]\forall{}[/texx]".
  • Ejercicio Anexo.1.1.c: Definir la intersección de una familia arbitraria de conjuntos [texx]\{A_\iota \}_{\iota \in I}[/texx] para algún conjunto de índices [texx]I[/texx] cualquiera.
  • Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos [texx]A, B[/texx] son disjuntos si, y sólo si, [texx]A\cap  B = \emptyset[/texx].
    (Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)






Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], su diferencia se define como:

[texx]A-B :=\{x:x\in A\textsf{\ y\ }x\not\in B\}[/texx]

  • Ejercicio Anexo.1.2.a. Sean [texx]A = \{3, 4, \pi, -1\}, B = \{1, 2, 3, -1\}[/texx]. ¿Cuál de los siguientes es su diferencia [texx]A - B[/texx]?

    [texx]C = \{2, 2, 0.141592653589..., 0\}, D = \{4, \pi, 1, 2\}, E = \{4,\pi \}[/texx]

  • Ejercicio Anexo.1.2.b. ¿Si al conjunto vacío le restamos cualquier otro conjunto, cuál es el resultado?

Complementos.

Supongamos que [texx]X[/texx] es un conjunto que dejamos fijo por un rato.

Si [texx]A[/texx] es un subconjunto de [texx]X[/texx], se define el complemento de [texx]A[/texx] respecto a [texx]X[/texx] como la diferencia [texx]X-A[/texx], y lo denotamos así:

[texx]A^{cX} = X-A[/texx]

Cuando se sabe ya quién es el conjunto [texx]X[/texx] de referencia, se puede dejar de escribirlo en el exponente, y se anota la forma más abreviada siguiente:

[texx]A^c = X-A[/texx]



Propiedades algebraicas de las operaciones de conjuntos.

Recordar que para demostrar igualdades de conjuntos, se ha de usar la doble inclusión.
Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

  • Ejercicio Anexo.1.3.a. [texx]A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)[/texx]
  • Ejercicio Anexo.1.3.b.[texx]A\cup (B\cap  C)=(A\cup  B)\cap (A\cup C)[/texx]
  • Ejercicio Anexo.1.3.c.[texx](A\cup B)^c=A^c\cap  B^c[/texx]
  • Ejercicio Anexo.1.3.d.[texx](A\cap B)^c=A^c\cup  B^c[/texx]
  • Ejercicio Anexo.1.3.e.[texx](\bigcup_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcap_{\iota \in I}A_\iota ^c[/texx]
  • Ejercicio Anexo.1.3.f.[texx](\bigcap_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcup_{\iota \in I}A_\iota ^c[/texx]

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.

Para reflexionar: ¿Se pueden generalizar las leyes distributivas a familias infinitas de conjuntos? ¿Cuándo y cómo?



Partición de un conjunto.

Esto que sigue es sólo una reflexión.
Supongamos que tenemos un conjunto prefijado [texx]X[/texx], y sean [texx]A, B[/texx] dos subconjuntos de [texx]X[/texx] cualesquiera.
Entonces [texx]X[/texx] puede particionarse en cuatro conjuntos disjuntos:

[texx]X = (A\cap B)\cup (A^c\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c)[/texx]

Nota: El complemento [texx]A^c, B^c[/texx], lo estamos tomando respecto a X.
Queda como ejercicio demostrar que los cuatro conjuntos [texx]A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c[/texx], son disjuntos tomados de a pares,
y que [texx]X[/texx] es la unión de todos ellos.

  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar [texx]X[/texx] respecto una familia finita de subconjuntos [texx]A_1,A_2,\cdots,A_n[/texx]?
  • Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.2: ¿Cómo se puede particionar [texx]X[/texx] respecto una familia numerable de subconjuntos [texx]\{A_\iota \}_{\iota \in N}[/texx], con [texx]N=\{1,2,3,\cdots\}[/texx]?



Para practicar la notación de familias de conjuntos y las operaciones con uniones e intersecciones infinitas, ahí va otro ejercicio:

  • Ejercicio Anexo.1.5.a.
    Para cada número natural [texx]n=1, 2, 3,\cdots[/texx] definamos el conjunto

    [texx]A_n = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que su n-ésimo dígito detrás del punto decimal es 0.}\}[/texx]

    Cada conjunto [texx]A_n[/texx] definido consta de números reales, como se puede apreciar.

    Esto nos deja definida una familia de conjuntos [texx]\{A_n\}_{n\in N}[/texx], donde [texx]N[/texx] es el conjunto de índices [texx]N=\{1,2,3,\cdots\}[/texx], o sea, todos los números naturales.

    Ahora definamos otra familia de conjuntos cuyo conjunto de índices será el conjunto finito [texx]I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}[/texx] mediante:

    [texx]C_k = \{x: x\textsf{\ es un número real tal que todo dígito detrás del punto decimal es mayor o igual que\ } k.\}[/texx]

    (Estamos suponiendo la manera estándar de denotar números reales, en la que no se permite que todos los dígitos terminales sean "9"s).

    Se pide verificar si es cierta o no la igualdad de conjuntos siguiente:
    [texx]\bigcup_{n\in N}A_n = \bigcap_{k\in I}C_k^c.[/texx]

    La moraleja de este ejercicio es que de un lado tengo un conjunto de índices infinito, y del otro uno finito, y en ambos casos se obtiene el mismo resultado.
  • Ejercicio Anexo.1.5.b. Sea [texx]N[/texx] el conjunto de números naturales, y sea [texx]I[/texx] el conjunto finito [texx]I = \{0,1,2\}[/texx].
    Definimos la familia de conjuntos [texx]\{A_n\}_{n\in N}[/texx] mediante:

    [texx]A_n = \{x:x \textsf{\ es un número entero que da el mismo resto que n al dividir por 3}\}.[/texx]

    Definimos la familia de conjuntos [texx]\{B_j\}_{j=0}^2[/texx] mediante:
    [texx]B_j = \{x:x \textsf{\ es un número entero que al dividirlo por 3 da resto j}\}.[/texx]

    Se pide demostrar que [texx]\{A_n\}_{n\in N}=\{B_j\}_{j=0}^2[/texx].

    La prueba es casi directa.
    Lo que se pretende es mostrar que aunque la familia de índices puede ser infinita,
    la familia de conjuntos en realidad puede que sea finita.
    O sea, la notación de "índices" para familias de conjuntos permite "repeticiones".




En el Munkres hay una lista de ejercicios para practicar propiedades de las operaciones con conjuntos.
Si ustedes lo desean, las podemos ir agregando, o me las consultan, como quieran.
Incluso pueden preguntar cosas sobre operaciones de conjuntos que hayan sacado de cualquier otro libro.



Pares ordenados.

Los pares ordenados [texx](a,b)[/texx] son objetos de la teoría de conjuntos que tienen la propiedad siguiente:
Los pares [texx](a,b)[/texx] y [texx](c,d)[/texx] son iguales si y sólo si [texx]a= c[/texx] y [texx]b=d[/texx].




Productos cartesianos.

Dados dos conjuntos [texx]A, B,[/texx] el producto cartesiano de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se denota [texx]A\times B[/texx], y se define como el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx], en ese orden, más precisamente:

[texx]A\times B =\{(a,b):a\in A, b\in B\}.[/texx]

Ejemplito: Si [texx]A[/texx] es un conjunto de señoritas, y [texx]B[/texx] es un conjunto de caballeros, el producto cartesiano [texx]A\times B[/texx] muestra todas las maneras posibles de casar una señorita de [texx]A[/texx] con un caballero de [texx]B[/texx].



Relaciones.

Una relación [texx]\mathcal R[/texx] entre objetos de un par de conjuntos [texx]A, B[/texx], es todo subconjunto del producto cartesiano [texx]A\times B[/texx].
Si [texx](x,y)\in\mathcal R[/texx], podemos escribir también [texx]x \mathcal R y[/texx], y decir que [texx]x[/texx] está [texx]\mathcal R[/texx]-relacionado con [texx]y[/texx].
Más detalles en el desplegable que sigue:

Spoiler: Detalles sobre relaciones (click para mostrar u ocultar)

Funciones.

Una función [texx]f[/texx] de un conjunto [texx]A[/texx] en un conjunto [texx]B[/texx] se define como una relación con dominio [texx]A[/texx] e imagen [texx]B[/texx], con las siguientes propiedades:
  • Dominio efectivo: Todo elemento [texx]x \in A[/texx] tiene al menos una imagen [texx]y\in B[/texx] tal que (x,y)\in f
  • Unicidad de la imagen: [texx](x,y),(x,z)\in f\Longrightarrow{y=z}[/texx].

Para indicar que el dominio y la imagen de [texx]f[/texx] son [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] respectivamente, se escribe [texx]f:A\to B[/texx].
Para indicar que [texx](x,y)\in f[/texx] se suele escribir mejor [texx]y=f(x)[/texx]. La notación de igualdad no es contradictoria ni ambigua porque a cada [texx]x\in A[/texx] le corresponde por [texx]f[/texx] un, y sólo un elemento [texx]y\in B[/texx].
También se puede escribir [texx]x\to y[/texx], o bien [texx]x\to f(x)[/texx], etc.

A diferencia de las relaciones, el dominio de una función está claramente determinado.

Otras notaciones para funciones: Se pueden usar subíndices. Supongamos una función [texx]\alpha:I\to B[/texx]. En vez de escribir [texx]\alpha(\iota)[/texx] para la imagen de [texx]\iota\in I[/texx] por la función [texx]\alpha[/texx], podemos más bien describir la función como [texx]\{\alpha_\iota\}_{\iota\in I}[/texx]. En este caso I se llama conjunto de índices.
En vez de decir [texx]\alpha:I\to B, \iota\to\alpha(\iota)[/texx], podemos anotar de forma más compacta [texx]\{\alpha_\iota\}_{\iota\in I}\subset B[/texx].

Más detalles sobre funciones en el desplegable:

Spoiler: Más comentarios sobre funciones (click para mostrar u ocultar)



Productos cartesianos generalizados.

Volvamos a los productos cartesianos.


En el desplegable anterior se explica la manera de enfrentarse al problema de definir correctamente el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos [texx]A_1,A_2,\cdots, A_n[/texx].

Se pueden evitar todas las complicaciones allí comentadas apelando a otro modo de construir o visualizar las cosas. Para ello, reformularemos la manera de definir listas ordenadas de [texx]n[/texx] elementos. Los detalles, en el siguiente desplegable:


Lo que hemos hecho es un "cambio de paradigma" en la noción de producto cartesiano.
Una vez acostumbrados a este paradigma, veremos que es muy útil para poder generalizar la noción de producto cartesiano al caso de infinitos factores.

En efecto, en vez de tomar como dominio a un conjunto finito [texx]\{1,2,\cdots,n\}[/texx], me permito ahora tomar un conjunto de índices cualquiera [texx]I[/texx].
Ahora tomo además una familia de conjuntos [texx]\{A_\iota\}_{\iota\in I}[/texx], o sea, una familia tal que a cada [texx]\iota\in I[/texx] le corresponde algún conjunto [texx]A_\iota[/texx].

Ahora decimos que [texx]f[/texx] es una función de elección de la familia [texx]\{A_\iota\}_{\iota\in I}[/texx] si :
  • El domino de la función [texx]f[/texx] es el conjunto de índices [texx]I[/texx].
  • Los valores de llegada de [texx]f[/texx] están contenidos en el conjunto imagen [texx]W[/texx] dado por:

    [texx]\displaystyle W=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota.[/texx]
  • Para cada [texx]\iota\in I[/texx] se cumple que [texx]f(\iota)\in A_\iota[/texx].

Ahora se define el producto cartesiano de todos los elementos de la familia [texx]\{A_\iota\}_{\iota\in I}[/texx] mediante:

[texx]\displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota :=\big\{f:f\textsf{\ es una función de elección de\ }\{A_\iota\}_{\iota\in I}\big\}[/texx]

En la exposición cotidiana, puede que uno escriba estas cosas usando esta otra notación intuitivamente más clara:

[texx]\displaystyle\prod_{\iota\in I}A_\iota =\big\{\{a_\iota\}_{\iota\in I}:a_\iota\in A_\iota,\iota\in I\big\}[/texx]

Observación: El producto cartesiano de [texx]n[/texx] factores iguales [texx]A,A,\cdots,A[/texx] es el conjunto de todas las funciones de [texx]\{1,2,\cdots,n\}[/texx] en [texx]A[/texx].
En tal caso, se escribe:

[texx]A^n = \underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n}[/texx].

¿Qué pasa si tenemos un producto cartesiano de infinitos factores iguales?
Bueno, en este caso recurrimos al último paradigma y cambiamos el conjunto de índices [texx]\{1,2,\cdots,n\}[/texx] por un conjunto de índices arbitrario [texx]J[/texx], que puede ser finito o infinito.

Si por cada [texx]\iota\in J[/texx] tenemos que [texx]A_\iota = A[/texx], o sea, todos los elementos de la familia de conjuntos son el mismo [texx]A[/texx], entonces se puede demostrar que el producto cartesiano de todos ellos coincide con el conjunto de todas las funciones de [texx]J[/texx] en [texx]A[/texx].
A este conjunto se lo suele denotar como [texx]A^J[/texx].

Debemos advertir que hay aquí dos notaciones distintas para el caso finito:

[texx]A^n=A^{\{1,2,\cdots,n\}}.[/texx]

Se usa comunmente la primera por brevedad.

Si [texx]J[/texx] y [texx]K[/texx] son dos conjuntos disjuntos, se puede demostrar que [texx]A^J\times A^K=A^{J\cup K}[/texx].
Cuando [texx]J, K[/texx], no son disjuntos, se los debe "maquillar" para que sean considerados disjuntos.
Esto se puede lograr de varias maneras, que no voy a explicar aquí.

En particular, se tiene la sugestiva igualdad:

[texx]A^m\times A^n = A^{m+n}[/texx].



En el post siguiente retomaremos todo esto, pero en estilo "resumido" y con más precisión, siguiendo el esquema de contenidos de Munkres. También hay más ejercicios.




>> Clic aquí para Opiniones, preguntas y otros comentarios del curso: Topología (Munkres)
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« Respuesta #2 : 06/01/2010, 02:24:04 pm »

Capítulo 1. Repaso de Teoría de Lógica y Teoría de Conjuntos.

De este capítulo del libro de Munkres pondremos muy poca teoría, salvo que algo me llame la atención.
En cambio, listaremos todos los ejercicios para quienes quieran hacerlos.

Sección 1. Conceptos Fundamentales.

Hechos y observaciones sobre la parte teórica del texto:

[texx] \bullet[/texx] Significado de la conjunción "ó": En matemáticas, la conjunción "ó" siempre se interpreta de forma inclusiva: P ó Q significa: "P es cierta, o Q es cierta, o ambas son ciertas". Cuando se desea indicar que la conjunción es no inclusiva, se debe agregar la partícula "pero no son ciertas ambas a la vez", o más breve: "pero no ambas".

[texx] \bullet[/texx] Tablas de verdad para las operaciones lógicas elementales, tautologías y reglas de inferencia. Las resumimos en el desplegable:

Spoiler: Tablas de verdad (click para mostrar u ocultar)

[texx] \bullet[/texx] Funciones proposicionales y Cuantificadores. Una función proposicional [texx]p(x)[/texx] es una premisa lógica cuyo valor de verdad depende de la variable [texx]x[/texx].  Los detalles sobre esto, y el uso de cuantificadores, en el siguiente desplegable:

[spoiler=Proposiciones lógicas y cuantificadores]

Si para toda sustitución posible de la variable [texx]x[/texx] la proposición [texx]p(x)[/texx] es verdadera, se escribe:

[texx]\forall{x}:p(x)[/texx]

Si para al menos una sustitución de todas las posibles de la variable [texx]x[/texx] la proposición [texx]p(x)[/texx] es verdadera, se escribe:

[texx] \exists{x}:p(x)[/texx]

Las expresiones [texx]q=\forall{x}:p(x)[/texx] y [texx]r= \exists{x}:p(x)[/texx] son ellas mismas proposiciones lógicas.
Su valor de verdad o falsedad es siempre el mismo, no depende ya de la variable x, sin embargo, sí que depende de la estructura de la función proposicional [texx]p[/texx].

El símbolo [texx]\forall{}[/texx] se llama cuantificador universal, y
el símbolo [texx]\exists{}[/texx] se llama cuantificador existencial.

El símbolo [texx]\forall{}[/texx] puede verse como una conjunción "y" generalizada a un número arbitrario de casos.
El símbolo [texx] \exists{}[/texx] puede verse como una disyunción "ó" generalizada a un número arbitrario de casos.

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« Respuesta #3 : 08/01/2010, 12:27:08 am »

Sección 6. Conjuntos Finitos.

Hay al menos un par de alternativas a la hora de definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Sin entrar en demasiada polémica, vamos a usar de aquí en adelante las definiciones tal como aparecen en el texto de Munkres, y quizá en algún momento discutamos alguna alternativa.


[texx] \bullet[/texx] Definición. Sección inicial de enteros positivos. Se denomina sección o sección inicial de enteros positivos a todo conjunto de enteros positivos [texx]S_n[/texx], para algún [texx]n[/texx] entero positivo, donde:

[texx]S_n=\{1,2,\cdots,n\}.[/texx]

[texx] \bullet[/texx] Un conjunto [texx]A[/texx] se dice finito si, o bien es vacío, o bien existe una función biyectiva [texx]f:A\to\{1,\cdots,n\}[/texx] para algún entero positivo [texx]n[/texx]. En el primer caso, se dice que [texx]A[/texx] tiene cardinal [texx]0[/texx], y en el último caso se dice que [texx]A[/texx] tiene cardinal [texx]n[/texx].

En particular, el conjunto [texx]\{1,\cdots,n\}[/texx] es un ejemplo trivial de cardinalidad [texx]n[/texx], por ser biyectivo consigo mismo, que es la sección [texx]S_n[/texx].

Por ser demasiado obvio a nuestra experiencia cotidiana, se nos ha pasado por alto quizá un tecnicismo matemático importante.
Hemos dado por obvio que dos conjuntos finitos que tienen cardinales distintos, tienen en verdad distinta "cantidad" de elementos, sin precisar demasiado bien lo que esto significa.
Y también hemos dejado entrever que si dos conjuntos finitos no son biyectivos entre sí, entonces sus cardinales son distintos.
¿Pero es esto cierto?


Digamos que dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si son biyectivos entre sí, o sea, si hay una biyección entre ambos. Esta misma definición se usa también para el caso de conjuntos que no son finitos, pero lo veremos más adelante.
Munkres no define este término de equicardinalidad en esta sección, pero me parece apropiado hacerlo.


Aquellas cuestiones que nos parecen obvias sobre los números y los cardinales finitos, son susceptibles de ser demostradas matemáticamente, y en tal caso la prueba debe darse y estudiarse con seriedad.
Las pruebas en sí mismas ilustran sutilezas del trabajo matemático mismo, y es esa su importancia.


[texx] \bullet[/texx] Lema 1. Sea [texx]n[/texx] un entero positivo. Sea [texx]A[/texx] un conjunto; sea [texx]a_0\in A[/texx]. Entonces existe una biyección [texx]f[/texx] de [texx]A[/texx] con [texx]\{1,\cdots,n+1\}[/texx] si, y sólo si, hay una biyección [texx]g[/texx] del conjunto [texx]A-\{a_0\}[/texx] con [texx]\{1,\cdots,n\}[/texx].

La demostración queda como ejercicio, como es costumbre en estas proposiciones de fácil deducción.
Aunque no duden en preguntar si no sale, o no se entiende.
Tan sólo recordar que como es una demostración con "si, y sólo si", requiere de dos partes, una "de ida" y otra "de vuelta".
Primero se supone que efectivamente existe la biyección [texx]g[/texx] y se procura construir la biyección [texx]f[/texx].
Y luego se parte de suponer la existencia de [texx]f[/texx] y se construye [texx]g[/texx], reordenando los elementos si hiciera falta, o sea, "rebuscándosela" para que la construcción funcione.

[texx] \bullet[/texx] Teorema 2. Sea [texx]A[/texx] un conjunto; suponer que existe una biyección [texx]f:A\to\{1,\cdots,n\}[/texx] para algún [texx]n\in \mathbb Z_+[/texx]. Sea [texx]B \subsetneqq A[/texx]. Entonces no existe biyección alguna [texx]g:B\to\{1,\cdots,n\}[/texx]; pero si [texx]B\neq\emptyset[/texx], existe una biyección [texx]h:B\to\{1,\cdots,m\}[/texx] para algún [texx]m<n[/texx].

De nuevo, la demostración queda como ejercicio. Demos, sin embargo, algunas indicaciones de cómo proceder con la prueba. Se comienza estudiando el caso en que B es un conjunto vacío. Este caso es trivial, y es bueno descartarlo de entrada por ser diferente a los otros.
Luego se realiza una prueba por inducción en el número [texx]n[/texx] del enunciado del Teorema (que corresponde al cardinal del conjunto de "llegada" de la biyección [texx]f[/texx]).
Se forma la colección [texx]C[/texx] de enteros positivos para los cuales el Teorema es cierto, y luego se procura demostrar que [texx]C[/texx] es un conjunto inductivo. Es decir, que primero se debe demostrar que el Teorema es cierto cuando [texx]n=1[/texx]. A continuación se supone que el Teorema es válido para un valor [texx]n[/texx] genérico, y se procura demostrar que bajo ese supuesto, aún es cierto el Teorema para el valor [texx]n+1[/texx]. En este paso inductivo se debe usar el Lema 1.
Se requiere un poco de reflexión y trabajo hasta que la prueba sale bien, pero tras unos minutos de atención, las cuentas salen sin dificultad.
En el texto de Munkres está completa, y si no, como siempre, pueden consultar si no sale o no se entiende.
Les recomiendo que presten mucha atención a los hechos que el Teorema exige demostrar, y que lo hagan con el detalle pertinente. Nada de dejar cabos sueltos. Es un ejercicio de exactitud, antes que todo, y por ello se requiere paciencia.

[texx] \bullet[/texx] Corolario 3. Si [texx]A[/texx] es finito, no existe una biyección de [texx]A[/texx] con un subconjunto propio de sí mismo.

La demostración es un sencillo ejercicio, que consiste en hacer una prueba por reducción al absurdo, y aplicando el Teorema 2. Es, de nuevo, más tecnicismo.

La moraleja de este último resultado es que todo conjunto que es biyectivo con una parte propia de sí mismo, no puede ser finito.

Por esta razón, Dedekind tomó el camino de usar estas propiedades como base para definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Decimos que un conjunto [texx]A[/texx] es Dedekind-finito si es vacío o no existe biyección con una parte propia de sí mismo.

El Corolario anterior nos estaría diciendo ahora que un conjunto es finito si, y sólo si, es Dedekind-finito.
O sea, ambas definiciones resultan lógicamente equivalentes.
¿Y entonces para qué preocuparse? ¿Por qué no dejar la definición más clara de finitud, que habla de tener un cardinal [texx]n[/texx], y punto?
Bueno, la ventaja de la definición de Dedekind es que el concepto de finitud no está atado a la existencia de un sistema como el de los enteros positivos.


[texx] \bullet[/texx] Corolario 4. [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] no es finito.

Esto se deduce del simple hecho de que existe una biyección de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] con un subconjunto propio, digamos [texx]\mathbb{Z}_+-\{1\}[/texx]. ¿Cuál sería?

[texx] \bullet[/texx] Corolario 5. La cardinalidad de un conjunto finito [texx]A[/texx] está unívocamente determinada por [texx]A[/texx].

Esa manera tan pintoresca de enunciar un Corolario tan sólo significa que si [texx]A[/texx] tiene asociado dos cardinales [texx]m,n,[/texx] entonces en realidad son necesariamente el mismo, vale decir, [texx]m=n[/texx].
La prueba se deja como ejercicio, y basta considerar por ejemplo el caso en que [texx]m<n[/texx] y jugar con biyecciones, hasta obtener una contradicción con el Corolario 4.

[texx] \bullet[/texx] Corolario 6. Si  [texx]A[/texx] es un conjunto finito, y si [texx]B\subset A[/texx], entonces [texx]B[/texx] es finito. Si [texx]B \subsetneqq A[/texx], entonces la cardinalidad de [texx]B[/texx] es menor que la cardinalidad de [texx]A[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Corolario 7. Sea [texx]B[/texx] un conjunto no vacío. Entonces las siguientes aserciones son equivalentes:
  • (1) [texx]B[/texx] es finito.
  • (2) Hay una función suryectiva de una sección de los enteros positivos sobre [texx]B[/texx].
  • (3) Hay una función inyectiva de [texx]B[/texx] en una sección de los enteros positivos.

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[texx] \bullet[/texx] Corolario 8. Uniones finitas y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos, son de nuevo finitos.

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Sección 7. Conjuntos Numerables y No Numerables.

[texx] \bullet[/texx] Definición. Un conjunto [texx]A[/texx] se dice infinito si no es finito. Se dice que es infinito enumerable si hay una función biyectiva [texx]f:A\to\mathbb{Z}_+[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. El conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] de los enteros es infinito enumerable. ¿Qué biyección serviría para demostrarlo?

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 2. El conjunto [texx]\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+[/texx] es infinito enumerable. Para probarlo, sea [texx]A=\{(x,y)\in\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+|x \leq y\}[/texx], y defínanse las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to A[/texx], [texx]f(x,y)=(x+y-1,y)[/texx], y [texx]g:A\to\mathbb{Z}_+[/texx], [texx]g(x,y)=\frac12(x-1)x+y[/texx]. Esas dos funciones son biyectivas (probarlo), y su composición es la biyección buscada.

[texx] \bullet[/texx] Un conjunto se dice contable o numerable o enumerable si es finito o bien infinito enumerable. Si un conjunto no es numerable, se dice no-numerable.

Munkres enuncia y demuestra aquí un Teorema que, a fin de cuentas, necesita de una propiedad de los números enteros positivos denominada Principio de Definición Recursiva.
Lo que haremos nosotros es enunciarlo antes del Teorema, para que la estructura de la Sección sea más idónea.
Dicho Principio se da sin demostración, pero puede probarse. La prueba se da en la Sección 8.
La manera en que se enuncia este Principio a continuación es algo informal.


[texx] \bullet[/texx] Principio de Definición Recursiva. Sea [texx]A[/texx] un conjunto. Dada una fórmula que define [texx]h(1)[/texx] como un elemento único de [texx]A[/texx], y para [texx]i>1[/texx] define [texx]h(i)[/texx] unívocamente como un elemento de [texx]A[/texx] en términos de los valores de [texx]h[/texx] para enteros positivos menores que [texx]i[/texx], resulta que esta fórmula determina una única función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to A[/texx].

Este Principio permite utilizar ciertas fórmulas de recurrencia para definir algunas funciones cuyo dominio es [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].
Cuando esto se lleva a cabo, suele decirse que se hace una definición por inducción o por recurrencia.
Sin un Principio de Definición por Recurrencia, las definiciones recursivas no podrían aceptarse.


[texx] \bullet[/texx] Teorema 1. Sea [texx]B\neq\emptyset[/texx]. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  • (1) [texx]B[/texx] es enumerable.
  • (2) Hay una función suryectiva [texx]f:\mathbb{Z}_+\to B[/texx].
  • (3) Hay una función inyectiva [texx]g:B\to\mathbb{Z}_+[/texx].

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[texx] \bullet[/texx] Lema 2. Si [texx]C[/texx] es un subconjunto infinito de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx], entonces [texx]C[/texx] es infinito enumerable.

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[texx] \bullet[/texx] Corolario 3. Un subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

La demostración queda como ejercicio.

[texx] \bullet[/texx] Corolario 4. El conjunto [texx]\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+[/texx] es infinito numerable.

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[texx] \bullet[/texx] Ejemplo. El conjunto [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] de números racionales positivos es infinito enumerable. Se deja como ejercicio. Digamos al menos que se puede aprovechar la función suryectiva [texx]g:\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Q}_+[/texx] dada por [texx]g(n,m)=m/n[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Teorema 5. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable.


[texx] \bullet[/texx] Teorema 6. El producto finito de conjuntos numerables es numerable.

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¿Es cierto que el producto cartesiano numerable de conjuntos numerables es también numerable? Respuesta: NO.

[texx] \bullet [/texx] Teorema 7. Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]. Entonces [texx]X^\omega[/texx] es un conjunto no-numerable.

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[texx] \bullet [/texx] Ejercicio. Demostrar que si [texx]B\neq\emptyset [/texx], y [texx]f:B\to C[/texx] es inyectiva, entonces existe una función sobreyectiva [texx]g:C\to B[/texx]. ¿Cómo se construye [texx]g[/texx]?

El siguiente Teorema da otro ejemplo de conjunto no-numerable, con [texx]A=\mathbb{Z}_+[/texx], por ejemplo.

[texx] \bullet [/texx] Teorema 8. Sea [texx]A[/texx] un conjunto. No existe aplicación inyectiva [texx]f:\mathcal{P}(A)\to A[/texx], y tampoco existe aplicación sobreyectiva [texx]g:A\to \mathcal{P}(A)[/texx].

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En un capítulo posterior se demostrará que [texx]\mathbb{R}[/texx] es un conjunto no-numerable.
No se hace aquí, porque sólo hemos dado los axiomas de los números reales, y faltaría agregar una larga serie de construcciones para tener más claro cómo proceder.

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Sección 8. El Principio de Definición Recursiva.


Esta sección es interesante, pero tiene resultados muy estandarizados de la teoría de conjuntos.
No quisiera perder tiempo con ellos, aún cuando a mí mismo me gustan muchísimo estos temas de las definiciones por recurrencia y cuestiones relacionadas.
No obstante, si cualquiera de ustedes desea más detalles, explicaciones, o quiere profundizar en todo esto, basta conque lo diga y nos sumergimos en el tema.


Sea [texx]C\subset  \mathbb{Z}_+[/texx] un conjunto infinito.
Nos preguntamos si es posible definir una función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to C[/texx] que satisfaga:

[texx] (*)\qquad h(1)=\min(C),\qquad h(i)=\min(C-h(\{1,\cdots,i-1\})),\qquad i> 1.[/texx]

Primero se estudian funciones definidas por secciones [texx]\{1,\cdots,n\}[/texx], y luego se pasa al caso de todo [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Lema 1. Dado [texx]n\in\mathbb{Z}_+[/texx], existe una función

[texx]f:\{1,\cdots,n\}\to C[/texx]

que satisface [texx](*)[/texx] para todo [texx]i=1,\cdots,n[/texx].

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[texx] \bullet [/texx] Lema 2. Si [texx]f:\{1,\cdots,n\}\to C[/texx] y [texx]g:\{1,\cdots,m\}\to C[/texx] son funciones que verifican [texx](*)[/texx] en sus respectivos dominios, entonces [texx]f(i)=g(i)[/texx], para todo [texx]i[/texx] que esté en ambos dominios al mismo tiempo.

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[texx] \bullet [/texx] Teorema 3. Existe una única función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to C[/texx] que verifica [texx](*)[/texx] para todo [texx]i\in\mathbb{Z}_+[/texx].

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[texx] \bullet [/texx] Teorema 4 (Principio de definición recursiva). Sean [texx]A[/texx] un conjunto y [texx]a_0\in A[/texx]. Supongamos que [texx]\rho [/texx] es una función que asigna un elemento de [texx]A[/texx] a cada función [texx]f[/texx], con dominio una sección no vacía de enteros positivos e imagen en [texx]A[/texx]. Entonces existe una única función

[texx]h:\mathbb{Z}_+\to A[/texx]

tal que

[texx](*)\qquad h(1)=a_0,\qquad h(i)=\rho (h|\{1,\cdots,i-1\}),\qquad i> 1.[/texx]

Demostración: Sigue ideas muy similares a los resultados previos. Salvo que ahora la función [texx]h[/texx] no cumple [texx](*)[/texx] sino una regla general.

_____________

[texx] \bullet [/texx] La fórmula [texx](*)[/texx] se llama fórmula recursiva para [texx]h[/texx].

La idea general es que uno está "autorizado" a definir una función mediante una fórmula de recurrencia.
Vale decir, si uno especifica una fórmula de recurrencia, ésta nos define correctamente una función, y sin ambigüedad, ya que el Teorema anterior nos garantiza que existe al menos una función que satisface la recurrencia (la recurrencia es algo con "sentido"), y además dicha función es única (la recurrencia es "inambigua").


Notemos algunos detalles técnicos. El dominio de la función [texx]\rho [/texx] del Teorema 4 es un conjunto muy complicado.
Sea [texx]\mathcal{F}_n[/texx] la familia de todas las funciones [texx]f:\{1,\cdots,n\}\to A[/texx].
Entonces el dominio de [texx]\rho [/texx] es la unión [texx]\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+} \mathcal{F}_n[/texx].
La imagen de [texx]\rho [/texx] es un subconjunto de [texx]A[/texx].
Así que podemos anotar:


[texx]\rho :\left(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}\mathcal{F}_n\right)\to A.[/texx]

Ahora bien, la función [texx]h[/texx] del "discurso" del Teorema 4 tiene como dominio todo el conjunto [texx]\mathbb{Z}_+[/texx], y no meras secciones.
Sin embargo, se pueden considerar las restricciones de [texx]h[/texx] a secciones [texx]\{1,\cdots,i-1\}[/texx].
Estas funciones "restricción" se indican, como es costumbre, con el símbolo [texx]|[/texx], así: [texx]h|\{1,\cdots,i-1\}[/texx], y así se obiene un "objeto" de [texx]\mathcal{F}_{i-1}[/texx], al cual es válido aplicarle la función [texx]\rho[/texx].



[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 1. Comprobar que el Teorema 3 es un caso particular del Teorema 4. Basta definir:

[texx]\rho (f)=\min(C)-\textsf{imagen de}(f)[/texx]


[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 2. Definir rigurosamente las potencias [texx]a^n[/texx], con [texx]a\in\mathbb{R}[/texx] y [texx]n\in\mathbb{Z}_+[/texx], mediante la fórmula de recurrencia:

[texx]a^1=a,\qquad a^n=a^{n-1}\cdot a[/texx]

Sugerencia: Utilizar [texx]\rho (f)=f(m)\cdot a[/texx], si el dominio de [texx]f[/texx] es [texx]\{1,\cdots,m\}[/texx].

Spoiler: Ejercicios Sección 8 (click para mostrar u ocultar)

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« Respuesta #4 : 08/01/2010, 12:27:29 am »

(Los ejercicios están listados. Aún falta agregar la teoría de estos temas)

Sección 9. Conjuntos Infinitos y el Axioma de Elección.

Spoiler: Ejercicios Sección 9 (click para mostrar u ocultar)

Terminamos la Sección 9 enunciando las famosas Hipótesis del Continuo y su versión generalizada.
Es un tema interesante a debatir en Fundamentos de la Teoría de Conjuntos, así que aquí no entraremos en mayores detalles, porque aceptar o no estos principios no influye en nuestro ulterior estudio de la topología.

Los siguientes enunciados pueden tomarse como Axiomas.
No son demostrables.


[texx] \bullet[/texx] Hipótesis del Continuo. No existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] y menor que [texx]\mathbb{R}[/texx].


[texx] \bullet[/texx] Hipótesis Generalizada del Continuo. Dado un conjunto infinito [texx]A[/texx], no existe un conjunto que tenga cardinalidad mayor que [texx]A[/texx] y menor que [texx]\mathcal{P}(A)[/texx].

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Sección 10. Conjuntos Bien Ordenados.

Spoiler: Ejercicios Sección 10 (click para mostrar u ocultar)

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« Respuesta #5 : 08/01/2010, 12:27:59 am »

(Los ejercicios están listados, pero aún falta la teoría de estos temas)

Sección 11. El Principio del Máximo.

Spoiler: Ejercicios Sección 11 (click para mostrar u ocultar)

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Ejercicios Suplementarios: Buena Ordenación.

Por tratarse de ejercicios suplementarios al Capítulo 1 de Munkres, los indicaremos con S1.


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« Respuesta #6 : 08/01/2010, 12:44:38 am »

Definición axiomática de Topologías y Espacios Topológicos.

Estuve meditando cómo era la mejor manera de empezar con el tema de topología,
y cómo introducir los ejemplos.
Al final llegué a la conclusión de que conviene poner de entrada las reglas del juego,
presentando a la estrella de la película: los espacios topológicos,
y en los posts subsiguientes desarrollar los ejemplos típicos mostrando que efectivamente cumplen con los axiomas correspondientes.

Así que no se alarmen si las definiciones que siguen son demasiado abstractas.
Cuando analicemos los ejemplos comprenderemos mejor de qué se trata.
Lo bueno de la noción abstracta de topología es que resume en una lista de propiedades muy simples de conjuntos los elementos comunes a muchos ambientes geométricos (por decirlo así),
de muy diferentes situaciones distintas de la matemática.
Inclusive, a pesar de lo simples que son esos axiomas en apariencia, esconden una gran potencia de significado.



Sea [texx]\displaystyle X[/texx] un conjunto cualquiera.
Sea [texx]\displaystyle\tau[/texx] una familia de conjuntos, cuyos elementos son todos subconjuntos de [texx]\displaystyle X[/texx].
Esto es, si [texx]\displaystyle\mathcal P(X)[/texx] denota la familia de partes de [texx]\displaystyle X[/texx], entonces [texx]\displaystyle\tau\subset\mathcal P(X)[/texx].
Se dice que [texx]\displaystyle\tau[/texx] es una topología sobre [texx]\displaystyle X[/texx] si se satisfacen estas cuatro propiedades:
  • Axioma 1. El conjunto vacío es un elemento de la familia [texx]\displaystyle\tau[/texx]. En símbolos:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle\emptyset\in\tau.
    \end{align*}[/texx]

  • Axioma 2. El conjunto total [texx]\displaystyle X[/texx] es un elemento de la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx]. En símbolos:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle X\in\tau.
    \end{align*}[/texx]

  • Axioma 3. La unión de cualquier subfamilia de conjuntos de [texx]\displaystyle \tau[/texx] es un elemento que pertenece también a [texx]\displaystyle \tau[/texx]. En símbolos:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle
    \{A_\iota\}_{\iota\in I}\subset \tau \quad\Rightarrow\quad
       \bigcup_{\iota\in I}A_\iota \in \tau.
    \end{align*}[/texx]

  • Axioma 4. La intersección de un par de elementos de [texx]\displaystyle \tau[/texx] es también un elemento de [texx]\displaystyle \tau[/texx]. En símbolos:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle
    A,B\in\tau\quad\Rightarrow\quad A\cap B\in \tau.
    \end{align*}[/texx]


Expliquemos un poco el importante tercer axioma.
Uno puede tomar una colección cualquiera de conjuntos que estén dentro de la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx], que puede ser finita o infinita. Eso no importa.
A continuación se toma la unión de todos esos conjuntos, y se obtiene como resultado un nuevo conjunto, que podemos llamar [texx]\displaystyle W[/texx].
Este nuevo conjunto [texx]\displaystyle W[/texx] así producido tiene que ser también un elemento de [texx]\displaystyle \tau[/texx].

En cuanto a las intersecciones, el axioma 4 aplicado en forma repetida permite afimar lo siguiente:
Proposición. Si [texx]\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n[/texx] es una familia finita de elementos de [texx]\displaystyle \tau[/texx],
entonces su intersección [texx]\displaystyle E=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n[/texx] también es un conjunto que pertenece a la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx].

La demostración se deja como ejercicio (a menos que el pueblo me demande lo contrario), y resulta de aplicar el principio de inducción en el número [texx]n[/texx] de conjuntos considerados, junto con el Axioma 4.



Un par ordenado [texx]\displaystyle (X,\tau)[/texx] se llama espacio topológico si [texx]\displaystyle X[/texx] es un conjunto cualquiera,
y [texx]\displaystyle \tau[/texx] es una topología sobre [texx]\displaystyle X[/texx].

Generalmente al conjunto [texx]\displaystyle X[/texx] se le suele decir informalmente espacio.

Más terminología:
  • Los elementos de la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] reciben el nombre de
      conjuntos abiertos de la topología.
  • Los complementos de los elementos de la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] reciben el nombre de conjuntos cerrados de la topología.

Vale decir, si [texx]\displaystyle A[/texx] es un conjunto abierto, entonces [texx]\displaystyle A^c[/texx] es un conjunto cerrado, en donde el complemento se toma con respecto al espacio [texx]\displaystyle X[/texx].
Y del mismo modo si [texx]\displaystyle F[/texx] es cerrado su complemento [texx]\displaystyle F^c[/texx] es abierto.

Preguntonta: ¿Si un conjunto  es no abierto, significa que es cerrado?
Respuestonta: ¡No! Volver a leer la definición de cerrado.

Preguntilla: ¿Puede haber conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados?
Respuesta: Sí. Lo veremos en los ejemplos.

Pregunteja: ¿Puede haber conjuntos que sean a la vez abierto y cerrado?
Respuesteja: Sí. Ejemplos triviales serían [texx]\displaystyle \emptyset [/texx] y [texx]\displaystyle X[/texx]. Puede haber ejemplos no triviales, pero eso depende de cada espacio topológico que se estudie.



Con cada ejemplo de estudio que se nos presente, tenemos que demostrar que efectivamente lo que tenemos entre manos es un espacio  topológico. O sea, vamos a tener que demostrar que cierta familia de conjuntos forma efectivamente una topología.

A medida que avancemos con la teoría, veremos que hay maneras de simplificar cada vez más esta tarea.

Sin embargo, en los ejemplos que seguirán, vamos a hacer paso a paso todas las cuentas.



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« Respuesta #7 : 08/01/2010, 06:29:39 am »

Topología clásica del espacio euclidiano 2-dimensional.

Nuestro espacio [texx]\displaystyle X[/texx] será el plano de la geometría euclidiana, o sea, la geometría clásica sobre una hoja de papel de extensión infinita...

Como bien sabemos, al plano se le puede dotar de un sistema de coordenadas.
Luego cada punto [texx]\displaystyle P[/texx] del plano se puede identificar con un par de números reales [texx]\displaystyle (a,b)[/texx], que son sus coordenadas.


Recordemos que el módulo o norma de un punto del plano es su distancia al origen.
Para los desmemoriados, en el desplegable va un recordatorio de cómo se definen estos conceptos geométricos.


Digamos resumidamente que el módulo o norma de un punto/vector [texx]\displaystyle (a,b)[/texx] del plano es la cantidad:
[texx]\begin{align*}\displaystyle
|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}.
\end{align*}[/texx]
También recordemos que la distancia entre dos puntos [texx]\displaystyle (a,b)[/texx] y [texx]\displaystyle (a',b')[/texx] del plano satisface:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
dist\big((a,b),(a',b')\big)
=|(a',b')-(a,b)|=\sqrt{(a'-a)^2+(b'-b)^2}.
\end{align*}[/texx]

La distancia entre puntos satisface la famosa:

Desigualdad triangular. Dados tres puntos cualesquiera [texx]\displaystyle P,Q,R[/texx] del plano, se tiene que:

[texx]\begin{align*}\displaystyle |P-R|\leq |P-Q|+|Q-R|.\end{align*}[/texx]

Esta propiedad expresa el hecho de que en un triángulo [texx]\displaystyle PQR[/texx],
la longitud de uno de sus lados, digamos [texx]\displaystyle \overline{PR}[/texx], es siempre menor que la suma de los otros dos [texx]\displaystyle \overline{PQ}[/texx] y [texx]\displaystyle \overline{QR}[/texx].


Detalle: Obviamente, la distancia de un punto a sí mismo es 0.

Vamos a estudiar la geometría del plano con esta noción de distancia como base.
Pero no vamos a hacer geometría de regla y compás...
sino topología del plano.

Las figuras más fáciles de definir usando sólo la noción de distancia, son las circulares.

Definición. Sea [texx]\displaystyle P[/texx] un punto del plano, y sea [texx]\displaystyle r[/texx] un número real positivo.
Se define el disco sin borde con centro [texx]\displaystyle P[/texx] y radio [texx]\displaystyle r[/texx] como el conjunto, denotado [texx]\displaystyle B_r(P)[/texx],
de todos aquellos puntos cuya distancia a [texx]\displaystyle P[/texx] es
estrictamente menor que [texx]\displaystyle r[/texx]. En símbolos:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|< r\}.
\end{align*}[/texx]

Se define el disco con borde con centro [texx]\displaystyle P[/texx] y radio [texx]\displaystyle r[/texx] como el conjunto, denotado [texx]\displaystyle D_r(P)[/texx],
de todos aquellos puntos cuya distancia a [texx]\displaystyle P[/texx] es
 menor o igual que [texx]\displaystyle r[/texx]. En símbolos:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  D_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|\leq  r\}.
\end{align*}[/texx]


La denominación que estoy usando para los discos no es estándar,
pero lo hago para evitar ciertos enredos en la terminología de la teoría topológica.


Ahora estamos interesados en dar una noción de topología del plano,
de tal manera que los conjuntos abiertos sean aquellos que a simple vista uno ve que no tienen borde, y que los conjuntos cerrados sean los que uno ve que sí tienen borde.
Si bien esta es la intención general, la complejidad de los conjuntos abiertos y cerrados puede ir mucho más allá de la intuición original nuestra.
No obstante, no es tan importante la intuición de conjunto abierto y cerrado como las repercursiones que tendrán estas definiciones a la hora de estudiar convergencia.

Recordemos que nuestro espacio [texx]\displaystyle X[/texx] es el plano euclidiano.
Formaremos una familia [texx]\displaystyle \tau [/texx]  de subconjuntos de [texx]\displaystyle X[/texx] de la siguiente manera:
Diremos que un subconjunto [texx]\displaystyle A[/texx] de [texx]\displaystyle X[/texx] es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] si, y sólo si, el conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de discos sin borde.

Expresemos esto mismo pero más técnicamente: si [texx]\displaystyle A\subset X[/texx], la condición para que un conjunto no vacío [texx]\displaystyle A[/texx] sea un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] es que exista una familia [texx]\displaystyle  \{N_\iota\}_{\iota \in I}[/texx] tal que:
  • Cada conjunto [texx]\displaystyle N_\iota [/texx] es un disco sin borde, vale decir, que existan un punto [texx]\displaystyle P_\iota [/texx] y un número real [texx]\displaystyle r_\iota > 0[/texx] tales que [texx]\displaystyle N_\iota =B_{r_\iota }(P_\iota)[/texx].
  • El conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] puede escribirse exactamente como unión de todos esos discos sin borde, así:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota,
    \end{align*}[/texx]
    o si se prefiere más explícitamente:

    [texx]\begin{align*}\displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} B_{r_\iota}(P_\iota).
    \end{align*}[/texx]

Ahora tenemos que escribir todo eso compactado en una fórmula conjuntística.
La definición de la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] quedaría escrita así:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset X|\\
   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\
   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:
     A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),
              \textsf{\ para ciertos\ }
            P_\iota\in X, r_\iota>0
 \Big\}
\end{align*}[/texx]


Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx].

Como la unión de un disco sin borde [texx]\displaystyle B_r(P)[/texx] consigo mismo es trivialmente una unión de discos sin borde, se deduce enseguida que todo disco sin borde es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx].
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera discos sin borde están en [texx]\displaystyle \tau [/texx].
Y más aún, todos los elementos no vaciós de [texx]\displaystyle \tau [/texx] son de esta forma...

Los dibujos que vienen a continuación serían elementos de [texx]\displaystyle \tau [/texx],
aunque la justificación formal no es directa por ahora, sino que será demostrado más abajo.


Todos los ejemplos de los dibujos son figuras bastante llenas (alrededor de cualquier punto cabe algún disco que no traspasa el borde de la figura, centrado en el punto), y todos ellos son figuras que no incluyen al borde, sino que están "abiertos".
Si miramos con atención, vemos que el plano se ha representado en color amarillento muy claro.
Los conjuntos con colores representan conjuntos de la familia [texx]\tau [/texx].
Sin embargo, se los ha dibujado con un borde amarillo, el color del fondo algo resaltado, para denotar así que el borde no pertenece al conjunto.

Pasemos a probar ahora que la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx] es una topología para el plano euclidiano.

Proposición. La familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología sobre [texx]\displaystyle X[/texx].

Demostración.
El camino para la prueba no tiene gran misterio: se debe comprobar que [texx]\displaystyle \tau [/texx] cumple con las reglas del juego estipuladas en los Axiomas 1 a 4 para una topología. Veamos que cada uno de esos axiomas se cumple:





Ahora que hemos probado que [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Pasemos ahora a dar un criterio sencillo para reconocer cuando una figura en el plano es un conjunto abierto.

Criterio. Un conjunto [texx]\displaystyle A\subset X[/texx] es abierto si, y sólo si, para cada punto [texx]\displaystyle Q\in A[/texx] se puede hallar algún número positivo [texx]\displaystyle r_Q[/texx] tal que el disco sin borde [texx]\displaystyle B_{r_Q}(Q)\subset A[/texx].
Es decir, hay al menos un disco centrado en [texx]\displaystyle Q[/texx] completamente contenido en [texx]\displaystyle A[/texx].

Nota: Puede haber más de un disco centrado en [texx]\displaystyle Q[/texx] con esa propiedad, pero nos basta con encontrar al menos uno.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Ahora podemos volver a mirar los dibujos de más arriba, y contestar con más seguridad si esos conjuntos son abiertos o no.
Basta con fijarse si es que acaso, en cada punto del conjunto puede meterse un disco sin borde centrado en el punto, y que esté completamente contenido en el conjunto.
Aquí reproducimos la imagen, pero con algunos puntos en el interior de las figuras de colores, alrededor de los cuales se pone un disco sin borde, de radio lo suficientemente pequeño como para que entre en el conjunto en cuestión.


Ya sabemos que un disco sin borde es un conjunto abierto.
¿Es cierto que un disco con borde es un conjunto cerrado?

Recordemos que un conjunto es cerrado si su complementario es abierto.
O sea que basta que nos fijemos en todos los puntos del plano que no pertenecen al disco con borde, y observemos que en cada punto de allí es posible disponer un disco sin borde centrado en el punto, y que esté aún contenido dentro de esa región complementaria.

Por lo tanto, los discos con borde son conjuntos cerrados.

A partir de ahora, en vez de disco sin borde diremos mejor disco abierto,
y en vez de disco con borde diremos disco cerrado.


En los textos se suele dar esta última definición desde un principio, lo cual podría ser algo confuso.
Se trata de mera nomenclatura, así que no es un inconveniente tan grave decir que un disco es abierto antes de haber demostrado que efectivamente era un conjunto abierto...
Pero quise, por esta vez, evitar ese tipo de situaciones. La historia juzgará si he hecho bien en eludir ese obstáculo.

Además... no doy puntada sin hilo.
Este ejemplo del plano... es muchísimo más general de lo que parece a simple vista.
El uso del plano es sólo con fines de visualización de lindos dibujitos.
Pero los cálculos efectuados sirven para geometrías euclidianas de más dimensiones,
incluso para espacios vectoriales normados,
y más aún, para espacios métricos cualesquiera.
Pronto retomaremos estos temas.



Les dejo aquí una lista de ejercicios.
Para demostrarlos, usar la desigualdad triangular en donde haga falta,
los 4 axiomas de topología, los cuales determinan cuáles conjuntos son abiertos,
la definición de cerrado,
y el último criterio, que es muy útil para simplificar comprobaciones varias.

  • Ejercicio Anexo.2.1.a. Comprobar que el semiplano sin borde [texx]\displaystyle A=\{(a,b):b> 0\}[/texx] es abierto.


  • Ejercicio Anexo.2.1.b. Comprobar que el semiplano con borde [texx]\displaystyle F=\{(a,b):b\leq  0\}[/texx] es cerrado. Pista: comprobar que su conjunto complementario [texx]\displaystyle F^c[/texx] es abierto.
  • Ejercicio Anexo.2.1.c. Comprobar que un triángulo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del triángulo como la intersección de 3 semiplanos sin borde.
  • Ejercicio Anexo.2.1.d. Comprobar que un polígono convexo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del polígono como la intersección de [texx]\displaystyle n[/texx] semiplanos sin borde.


  • EEjercicio Anexo.2.1.e. Comprobar que el borde de un polígono convexo de [texx]\displaystyle n[/texx] lados es un conjunto cerrado.
    Pista: Mostrar que su complemento es la unión de dos conjuntos abiertos, uno siendo la parte interior del polígono, y el otro todo el exterior.
  • Ejercicio Anexo.2.1.f. Sea [texx]\displaystyle E[/texx] una elipse en el plano, sin su borde. Demostrar que es un conjunto abierto. Pista: Renegar con los cálculos de distancia al borde.
  • Ejercicio Anexo.2.1.g. Supongamos que en el plano se han dibujado una cantidad finita de conjuntos cerrados. Advertir que el conjunto unión de todos ellos es también un conjunto cerrado. ¿Influye en esto el hecho de que los conjuntos considerados sean disjuntos y estén bastante alejados entre sí?
  • Ejercicio Anexo.2.1.h. Mostrar que una línea recta dibujada en el plano es un conjunto cerrado. Pista: es el complemento de la unión de los dos semiplanos que la limitan.
  • Ejercicio Anexo.1.1.i. Demostrar que si un conjunto del plano está formado por una cantidad finita de puntos, entonces es cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.j. Si consideremos un cuadrado relleno por dentro, pero que tiene sólo dos de sus bordes, demostrar que este conjunto no puede ser ni abierto ni cerrado.


  • Ejercicio Anexo.2.1.k. Considérese un disco abierto al que se le han agregado algunos puntos del borde, pero no todos. Demostrar que este conjunto así formado no puede ser abierto ni cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.l. Sea [texx]\displaystyle C[/texx] el conjunto formado por todos los puntos [texx]\displaystyle (a,b)[/texx] cuyas coordenadas [texx]\displaystyle a,b[/texx], son números racionales.
    Demostrar que [texx]\displaystyle C[/texx] no es abierto ni cerrado.
  • Ejercicio Anexo.2.1.m. Comprobar que los conjuntos [texx]\displaystyle \emptyset [/texx] y [texx]\displaystyle X[/texx] son cerrados. Pista: ¡¡es muy fácil, no vayan a complicarse la vida!!



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« Respuesta #8 : 11/01/2010, 08:19:21 pm »

Topología clásica del espacio euclidiano n-dimensional.

En el post anterior demostramos que la familia de conjuntos del plano formados por uniones cualesquiera de discos abiertos, es una topología.

Las mismas demostraciones hechas ahí valen en situaciones más generales, sin cambio alguno,
pero sin embargo lo que cambia es el espacio en sí, y en este post buscaremos lograr familiaridad con ellos.
Las diferencias concretas entre unos espacios topológicos y otros aparecerán cuando hagamos un estudio más profundo de cada uno de ellos, al entrar de lleno en los contenidos.

En el siguiente desplegable introduzco la intuición de la geometría tridimensional, y conceptos básicos, como los vectores y otros artilugios en dicho ambiente.
Los que ya se saben de memoria estas cosas pueden salteárselo.


Para movernos cómodamente en la geometría multidimensional, conviene identificar la geometría con el álgebra. También hay que mantener una notación algo más limpia y compactada.
Los detalles van en el siguiente desplegable:


Ahora tomaremos como nuestro espacio [texx]\displaystyle X[/texx] al conjunto [texx]\mathbb{R}^n[/texx].

Definición. Sea [texx] \mathbf  x[/texx] un punto de [texx]\mathbb{R}^n[/texx], y sea [texx]\displaystyle r[/texx] un número real positivo.
Se define la bola sin borde con centro [texx]\displaystyle \mathbf x[/texx] y radio [texx]\displaystyle r[/texx] como el conjunto, denotado [texx]\displaystyle B_r(\mathbf x)[/texx],
de todos aquellos puntos [texx]\mathbf y\in\mathbb{R}^n[/texx] cuya distancia a [texx]\mathbf x[/texx] es estrictamente menor que [texx]\displaystyle r[/texx]. En símbolos:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  B_r(\mathbf x) := \{\mathbf y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|< r\}.
\end{align*}[/texx]

Se define la bola con borde con centro [texx]\mathbf x[/texx] y radio [texx]r[/texx] como el conjunto, denotado [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx],
de todos aquellos puntos cuya distancia a [texx]\mathbf x[/texx] es menor o igual que [texx]r[/texx]. En símbolos:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.
\end{align*}[/texx]

La denominación que estoy usando para las bolas no es estándar... sigo el mismo enfoque que usé para los discos en el plano.


Ahora desarrollaremos la topología clásica del espacio euclidiano [texx]n[/texx]-dimensional.
Los conjuntos abiertos han de ser aquellos conjuntos que están bastante "gorditos" y que a su vez no tengan "cáscara" o "frontera" ó "borde".
Los conjuntos cerrados sí tendrán cáscara.


Tal como hicimos para el plano, formaremos una familia [texx]\displaystyle \tau [/texx]  de subconjuntos de [texx]\displaystyle X=\mathbb{R}^n[/texx] de la siguiente manera:
Diremos que un subconjunto [texx]\displaystyle A[/texx] de [texx]\displaystyle \mathbb{R}^n[/texx] es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] si, y sólo si, el conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas sin borde.

Expresemos esto mismo pero más técnicamente: si [texx]\displaystyle A\subset \mathbb{R}^n[/texx], la condición para que un conjunto no vacío [texx]\displaystyle A[/texx] sea un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] es que exista una familia [texx]\displaystyle  \{N_\iota\}_{\iota \in I}[/texx] tal que:
  • Cada conjunto [texx]\displaystyle N_\iota [/texx] es una bola sin borde, vale decir, que existan un punto [texx]\mathbf x_\iota \in\mathbb{R}^n[/texx] y un número real [texx]\displaystyle r_\iota > 0[/texx] tales que [texx]\displaystyle N_\iota =B_{r_\iota }(\mathbf x_\iota)[/texx].
  • El conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] puede escribirse exactamente como unión de todos esos discos sin borde, así:

    [texx]\displaystyle
    A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota=\bigcup_{\iota \in I} B_{r_\iota}(\mathbf x_\iota).[/texx]

Resumiendo:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset \mathbb{R}^n| A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:\big[
   A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota\textsf{\ \ y \ \ }
      N_\iota = B_{r_{\iota }}(\mathbf x_\iota),
              \textsf{\ para ciertos\ }
            \mathbf x_\iota\in \mathbb{R}^n, r_\iota>0\big]
 \Big\}
\end{align*}[/texx]

Ya que las definiciones y demás detalles serán iguales a los ya expuestos para el plano,
podemos aprovechar para introducir otros elementos accesorios, tal como un formalismo más exacto.
Podríamos reescribir la definición anterior usando correctamente cuantificadores, así:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset \mathbb{R}^n| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:\big[
     A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota\textsf{\ \ y \ \ }
      \exists{\mathbf x_\iota\in\mathbb{R}^n,r_\iota>0}: N_\iota = B_{r_{\iota }}(\mathbf x_\iota)
              \big]
 \Big\}
\end{align*}[/texx]



Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx].

Como la unión de una bola sin borde [texx]\displaystyle B_r(P)[/texx] consigo misma es trivialmente una unión de bolas sin borde, se deduce enseguida que toda bola sin borde es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx].
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas sin borde están en [texx]\displaystyle \tau [/texx].
Y más aún, todos los elementos no vaciós de [texx]\displaystyle \tau [/texx] son de esta forma...

Los dibujos que vienen a continuación serían elementos de [texx]\displaystyle \tau [/texx],
aunque la justificación formal no es directa por ahora, sino que será demostrado más abajo.


Todos los ejemplos de los dibujos son figuras bastante llenas (alrededor de cualquier punto cabe alguna bola sin cáscara que no traspasa el borde del cuerpo, centrada en el punto), y todos ellos son cuerpos que no incluyen al borde o cáscara, sino que están "abiertos". (Es ciertamente difícil dibujar bolas tridimensionales "sin" su cáscara, como puede apreciarse en el dibujo bajo la definición de bola sin borde, así que, por simplicidad, hemos dibujado aquí bolas "macizas", y se pide al lector "hacer de cuenta" que los cuerpos de la imagen no tienen cáscara).



Ahora debemos probar que la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx] es una topología para el espacio euclidiano [texx]n[/texx]-dimensional.
La demostración es la misma que la del caso 2-dimensional.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación, lo cual no es relevante en absoluto.
En todo lugar que diga "disco sin borde" lo reemplazamos por "bola sin borde",
y en todo lugar que diga el "plano" decimos "[texx]\mathbb{R}^n[/texx]".
En vez de las letras [texx]P,Q,R[/texx], usamos ahora [texx]\mathbf{x,y,z}[/texx], y así por el estilo.
Pero en todos los casos, tenemos una suma/resta de vectores que funciona igual, y una norma o módulo que satisface la desigualdad triangular.
En cuanto a la norma [texx]|\cdots|[/texx], es claro que geométricamente tiene un sentido más rico e interesante cuando la dimensión [texx]n[/texx] del espacio es más grande que 2.
Pero a los fines de la demostración, al dejar los signos [texx]|\cdots|[/texx] tal como están, se sigue obteniendo una demostración válida.

Así que lo que haremos es repetir los cálculos que ya hicimos para el plano,
con la notación cambiada, abreviando un poco para no ser tan pesados,
y aprovechando para escribir las cosas en un formato más técnico.

Proposición. La familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología sobre [texx]\mathbb{R}^n[/texx].

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.









Ahora que hemos probado que [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en el espacio euclídeo [texx]n[/texx]-dimensional.

Criterio. Un conjunto [texx] A\subset \mathbb{R}^n[/texx] es abierto si, y sólo si, para cada punto [texx]\mathbf y\in A[/texx] se puede hallar algún número positivo [texx]\displaystyle r_{\mathbf y}[/texx] tal que la bola sin borde [texx]\displaystyle B_{r_{\mathbf y}}(\mathbf y)\subset A[/texx].
Es decir, hay al menos una bola centrada en [texx]\mathbf y[/texx] completamente contenida en [texx]\displaystyle A[/texx].

Nota: Puede haber más de una bola centrado en [texx]\mathbf y[/texx] con esa propiedad, pero nos basta con encontrar al menos una.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Ahora podemos volver a mirar los dibujos de más arriba, y contestar con más seguridad si esos conjuntos son abiertos o no.
Basta con fijarse si es que acaso, en cada punto del conjunto puede meterse una bola sin borde centrada en el punto, y que esté completamente contenida en el conjunto.



Ya sabemos que una bola sin borde es un conjunto abierto.
¿Es cierto que una bola con borde es un conjunto cerrado?

Recordemos que un conjunto es cerrado si su complementario es abierto.
O sea que basta que nos fijemos en todos los puntos del espacio [texx]\mathbb{R}^n[/texx] que no pertenecen a la bola con borde, y observemos que en cada punto de allí es posible disponer una bola sin borde centrada en el punto, y que esté aún contenido dentro de esa región complementaria.

Por lo tanto, las bolas con borde son conjuntos cerrados.

A partir de ahora, en vez de bola sin borde diremos mejor bola abierta,
y en vez de bola con borde diremos bola cerrada.




Les dejo aquí una lista de ejercicios.

  • Ejercicio Anexo.2.2.a. Comprobar que el semiespacio tridimensional sin borde [texx]\displaystyle A=\{(x,y,z):4 x-5 y-7 z<12\}[/texx] es abierto en [texx]\mathbb{R}^3[/texx].


  • Ejercicio Anexo.2.2.b. Comprobar que el semiespacio con borde [texx]\displaystyle F=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1\geq  0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^4[/texx].
  • Ejercicio Anexo.2.2.c. Comprobar que un tetraedro relleno por dentro, y sin cáscara (o sea, quitando las caras externas), es un conjunto abierto en [texx]\mathbb{R}^3[/texx]. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del tetraedro como la intersección de 4 semiespacios tridimensionales sin borde.
  • Ejercicio Anexo.2.2.d. Comprobar que un poliedro/polítopo convexo relleno por dentro, y sin sus bordes, es un conjunto abierto en [texx]\mathbb{R}^n[/texx]. Pista: escribir el conjunto de puntos interiores del poliedro/polítopo como la intersección de un número finito de semiespacios [texx]n[/texx]-dimensionales sin borde.
  • EEjercicio Anexo.2.2.e. Comprobar que el borde/cáscara de un políedro convexo tridimensional de un número finito [texx]c[/texx] de caras es un conjunto cerrado en [texx]\mathbb{R}^3[/texx]. 
    Pista: Mostrar que su complemento es la unión de dos conjuntos abiertos, uno siendo la parte interior del políedro, y el otro todo el exterior.
  • Ejercicio Anexo.2.2.f. Sea [texx]\displaystyle E[/texx] un elipsoide en el espacio tridimensional, sin su borde/cáscara. Demostrar que es un conjunto abierto en [texx]\mathbb{R}^3[/texx]. Pista: Renegar con los cálculos de distancia al borde.


  • Ejercicio Anexo.2.2.g. Supongamos que en [texx]\mathbb{R}^n[/texx] se ha dispuesto una cantidad finita de conjuntos cerrados. Advertir que el conjunto unión de todos ellos es también un conjunto cerrado. ¿Influye en esto el hecho de que los conjuntos considerados sean disjuntos y estén bastante alejados entre sí?
  • Ejercicio Anexo.2.2.h. Mostrar que una plano recto dibujado en el espacio tridimensional es un conjunto cerrado en [texx]\mathbb{R}^3[/texx]. Pista: es el complemento de la unión de los dos semiespacios abiertos que lo limitan.
  • Ejercicio Anexo.2.2.i. Demostrar que si un conjunto del espacio [texx]\mathbb{R}^n[/texx] está formado por una cantidad finita de puntos, entonces es cerrado en [texx]\mathbb{R}^n[/texx].
  • Ejercicio Anexo.2.2.j. Si consideremos un hipercubo [texx]n[/texx]-dimensional, relleno por dentro, pero que tiene sólo la mitad de sus caras, y la otra mitad se ha quitado, demostrar que este conjunto no puede ser ni abierto ni cerrado en [texx]\mathbb{R}^n[/texx].
  • Ejercicio Anexo.2.2.k. Considérese una bola abierta en [texx]R^n[/texx], a la que se le han agregado algunos puntos del borde/cáscara, pero no todos. Demostrar que este conjunto así formado no puede ser abierto ni cerrado en [texx]\mathbb{R}^n[/texx].
  • Ejercicio Anexo.2.2.l. Sea [texx]\displaystyle C[/texx] el conjunto formado por todos los puntos [texx]\displaystyle (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n[/texx] cuyas coordenadas [texx]x_1,x_2,\cdots,x_n[/texx], son números racionales.
    Demostrar que [texx]\displaystyle C[/texx] no es abierto ni cerrado en [texx]\mathbb{R}^n[/texx].
  • Ejercicio Anexo.2.2.m. Comprobar que los conjuntos [texx]\displaystyle \emptyset [/texx] y [texx]\mathbb{R}^n[/texx] son cerrados. Pista: Facilísimo.



Hagamos algunas apreciaciones más.

Toda la teoría desarrollada en este post es aplicable incluso al caso de la geometría plana.
Basta en ese caso elegir [texx]n=2[/texx], en vez del plano hablamos de [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

¿Qué pasa si hacemos [texx]n=1[/texx]?
En ese caso lo que se obtiene es [texx]\mathbb{R}^1=\mathbb{R}[/texx].

O sea, el espacio euclidiano 1-dimensional es una simple línea recta, y sobre ella misma puede establecerse un sistema de coordenadas, con una sola coordenada: la [texx]x[/texx].
Algebraicamente, identificamos la geometría euclidiana 1-dimensional con el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], lo cual nos simplifica muchos cálculos.

Los puntos de [texx]\mathbb{R}^1[/texx] son 1-uplas de la forma [texx]\mathbf x=(x_1)[/texx].
Naturalmente que aquí no es necesario tanto lío de notación, puesto que tenemos una sola componente [texx]x_1[/texx], y entonces escribimos simplemente algo como [texx]x[/texx].

Así, el número real [texx]x[/texx], y el punto [texx]x[/texx], signifacarán lo mismo para nosotros, en el contexto 1-dimensional.

¿En qué se convierten las bolas abiertas y cerradas cuando la dimensión es 1?
Respuesta: se convierten en intervalos abiertos y cerrados.
Así, la bola abierta [texx]B_r(x)[/texx] es en realidad el intervalo abierto [texx](x-r,x+r)[/texx],
y la bola cerrada [texx]B_r(x)[/texx] es en realidad el intervalo cerrado [texx][x-r,x+r][/texx].

Un conjunto abierto 1-dimensional es todo aquel que puede escribirse como unión de alguna familia de intervalos abiertos.
Notemos que la intersección de dos intervalos abiertos es un intervalo abierto, o bien el conjunto vacío.




Mezclando dimensiones.

Consideremos un disco abierto en el plano [texx]xy[/texx], que a su vez está contenido en el espacio euclidiano 3-dimensional.
¿Es ese disco un conjunto abierto o cerrado?

Respecto a la topología del plano [texx]xy[/texx], obviamente el disco es un conjunto abierto.
Pero en el espacio 3-dimensional ese conjunto no puede ser abierto.
Veamos por qué. Si nos paramos en un punto [texx]\mathbf x[/texx] cualquiera del disco, y consideramos una bola abierta de radio [texx]r>0[/texx] lo bastante pequeño como para que no se trague a buena parte del disco... vemos que necesariamente hay muchos puntos de la bola que no están en el disco.
Y eso ocurre siempre, sin importar cuánto achiquemos el radio de la bola.
El problema es que el disco es 2-dimensional, y la bola es 3-dimensional.

O sea, las bolas 3-dimensionales son demasiado "gordas" y por lo tanto algo "plano" como un disco no es capaz de tener bolas en su interior.
De esta manera, respecto a la topología de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] el disco no es un conjunto abierto.

Esta situación ocurre siempre que consideremos un objeto inmerso en espacios de dimensión diferente.
Si sumergimos un conjunto abierto en una dimensión mayor, dejará de ser abierto automáticamente.
Esto se puede demostrar con bastante facilidad, y lo dejamos como ejerccio.

Volviendo al ejemplo del disco plano en el espacio 3-dimensional,
digamos también que ese conjunto no puede ser cerrado.
Dejamos esto como ejercicio.
Pista: demostrar que el conjunto complementario no puede ser abierto, considerando puntos del borde del disco, y tomando bolas 3-dimensionales en esos puntos: dichas bolas tendrán siempre puntos que están dentro y fuera del disco.

En general, si un conjunto no es cerrado, al sumergirlo en una dimensión mayor seguirá sin ser cerrado en la topología del espacio máyor.
Esto también se deja como ejercicio, y no es tan difícil como la "generalidad" del enunciado podría sugerir.



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« Respuesta #9 : 12/01/2010, 05:59:30 pm »

Topología de los espacios vectoriales normados.

Hemos visto que los puntos/vectores de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] pueden sumarse, dando al espacio euclidiano n-dimensional una estructura algebraica. Se trata de un caso particular de espacio vectorial.
Además en [texx]\mathbb{R}^n[/texx] hay una función que hemos denominado norma, que satisface la desigualdad triangular.

Cuando un espacio vectorial tiene una norma, se le llama espacio vectorial normado.
En un espacio vectorial normado [texx]V[/texx], a la norma la podemos denotar con [texx] |\cdots|[/texx], aunque también suele usarse la doble bara: [texx]\;\left\|{\cdots}\right\|[/texx].
En un tal [texx] V[/texx] se define la distancia entre dos elementos [texx] \mathbf{u,v}\in V[/texx] como

[texx]\;\textsf{dist}(\mathbf u,\mathbf v):=|\mathbf u-\mathbf v|.[/texx]

Las mismas demostraciones hechas en los posts anteriores valen aquí, y aún en el caso más general de espacios métricos, que veremos después.
Lo que difiere es la generalidad de los espacios vectoriales normados, cuya naturaleza puede ser enormemente distinta a la de [texx]\mathbb{R}^n[/texx], por ejemplo, podemos toparnos con espacios de dimensión infinita, con diferentes grados de infinitud, y la naturaleza de estos espacios puede diferir mucho de un caso al otro.

Los detalles se deben estudiar en un curso o libro de álgebra lineal.
No obstante, en el siguiente desplegable vamos a resumir lo más básico de la teoría de espacios vectoriales y de espacios vectoriales normados.


Las demostraciones que corresponden a este post son exactamente las mismas que las de los dos posts anteriores. Aún así, las voy a repetir, pero con la notación cambiada, para irnos acostumbrando a otros contextos.

Cuando cambian las ideas, se refleja en la notación. Ver desplegable.

Spoiler: Otra mudanza de notación (click para mostrar u ocultar)

Ahora tomaremos como nuestro espacio [texx]\displaystyle X[/texx] a un espacio vectorial normado [texx]V[/texx].

Definición. Sea [texx] x\in V[/texx], y sea [texx]\displaystyle r>0[/texx].
Se define la bola abierta con centro [texx]x[/texx] y radio [texx]\displaystyle r[/texx] al conjunto:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  B_r(  x) := \{  y\in V:| y- x|< r\}.
\end{align*}[/texx]

Se define la bola cerrada con centro [texx] x[/texx] y radio [texx]r[/texx] como el conjunto

[texx]\displaystyle  \bar{  B}_r( x) := \{y\in V:|  y- x|\leq  r\}.[/texx]

Nótese que estamos llamando a las bolas abierta y cerrada, aún antes de demostrar que son conjuntos abiertos o cerrados en alguna topología de [texx]V[/texx].

Tal como hicimos para [texx]\mathbb{R}^n[/texx], formaremos una familia [texx]\displaystyle \tau [/texx]  de subconjuntos de [texx]\displaystyle X=V[/texx] de la siguiente manera:
Diremos que un conjunto [texx]\displaystyle A\subset V[/texx] es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] si, y sólo si, el conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas abiertas de [texx]V[/texx]. En símbolos:


[texx]\begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset V| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}: A = \bigcup_{\iota\in I} N_\iota
     \textsf{\ y\ }   \forall{\iota\in I}
    \big[\exists{}{ x\in V,r>0}: N_\iota = B_r( x)
              \big]
 \Big\}
\end{align*}[/texx]


Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx].

Como la unión de una bola abierta [texx]\displaystyle B_r(x)[/texx] consigo misma es trivialmente una unión de bolas abiertas, se deduce enseguida que toda bola abierta es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx].
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas abiertas están en [texx]\displaystyle \tau [/texx].
Y más aún, todos los elementos no vaciós de [texx]\displaystyle \tau [/texx] son de esta forma...



Ahora debemos probar que la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx] es una topología para el espacio vectorial normado [texx]V[/texx].
La demostración es la misma que la del caso euclidiano.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación.
En todo lugar que diga [texx]\mathbb{R}^n[/texx] lo reemplazamos por V.
En vez de [texx]\mathbf{x,y,z}[/texx], escribimos ahora [texx]x,y,z[/texx], y así por el estilo.
Pero en todos los casos, tenemos una suma/resta de vectores que funciona igual, y una norma o módulo que satisface la desigualdad triangular.
A los fines de la demostración, al dejar los signos [texx]|\cdots|[/texx] tal como están, se sigue obteniendo una demostración válida.

Vamos a repetir por tercera vez las pruebas hechas antes, pero con la mudanza pertinente de notación, y aprovechando a escribir todo un poco más breve.

Proposición. La familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología sobre [texx]V[/texx].

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.







Ahora que hemos probado que [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en un espacio vectorial normado [texx]V[/texx].

Criterio. Un conjunto [texx] A\subset V[/texx] es abierto si, y sólo si, para cada [texx] y\in A[/texx] se puede hallar algún  [texx]\displaystyle r_{ y}>0[/texx] tal que la bola abierta [texx]\displaystyle B_{r_{ y}}(  y)\subset A[/texx].
Es decir, hay al menos una bola abierta centrada en [texx]y[/texx] completamente contenida en [texx]\displaystyle A[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)



Como siempre, se puede demostrar que una bola abierta es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx].
Y también una bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología [texx]\tau[/texx].



Ejemplos.




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« Respuesta #10 : 13/01/2010, 01:48:45 pm »

Topología de los espacios métricos.

Hasta ahora en los espacios vectoriales normados nos hemos servido de la operación de resta y el funcional norma, para construir una noción de distancia entre puntos del espacio.
Es posible abstraerse aún más, y considerar una estructura en la que ni siquiera hagan falta operaciones algebraicas, y tan solo se hable una función distancia que satisfaga la desigualdad triangular.
Esto da lugar a la teoría de espacios métricos.
Su estudio responde a la pregunta siguiente: ¿qué tanto se puede demostrar o saber de la geometría de un conjunto dado, si sólo se utiliza la desigualdad triangular de la distancia?

Un par [texx](X,d)[/texx] se llama espacio métrico si [texx]X[/texx] es un conjunto, y [texx]d[/texx] es una función de dos variables de [texx]X[/texx], cuya imagen son valores reales, en símbolos [texx]d:X\times X\to\mathbb{R}[/texx], tal que para cualesquiera [texx]x,y,z\in X[/texx] se cumplen estas propiedades:
  • No negatividad: [texx]d(x,y) \geq 0[/texx]
  • Separación [texx]d(x,x)=0[/texx], y además [texx]d(x,y)=0[/texx] implica que [texx]x=y[/texx].
  • Simetría: [texx]d(x,y)=d(y,x)[/texx]
  • Desigualdad triangular: [texx]d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)[/texx].

A una función [texx]d[/texx] que cumple esas propiedades se le llama métrica o distancia en [texx]X[/texx].

En un espacio vectorial normado tenemos una distancia definida a partir de la norma, así:

[texx]d(x,y)=|x-y|.[/texx]

Pero en general la estructura de espacio vectorial normado no se necesita para que haya una noción de métrica en un conjunto.
Más tarde veremos varios ejemplos.



Durante el curso de topología estudiaremos en profundidad los espacios métricos, y en particular nos preguntaremos cuándo un espacio topológico puede describirse a través de una métrica (teoremas de metrización).

Las mismas demostraciones hechas en los posts anteriores valen aquí.
Lo que difiere es la generalidad de los espacios métricos, cuya naturaleza puede ser enormemente distinta a la un espacio vectorial normado.
También, en todo lugar que aparezca una expresión de la forma [texx]|x-y|[/texx] bastará que la reemplacemos por una de la forma [texx]d(x,y)[/texx].
Aún así, voy a repetir los cálculos, pero con la notación cambiada, para tomar familiaridad.

En lo que sigue, [texx](X,d)[/texx] es un espacio métrico.
En este contexto tan general, aún es posible hablar de bolas abiertas y cerradas, apoyándonos en la función distancia.

Definición. Sea [texx] x\in X[/texx], y sea [texx]\displaystyle r>0[/texx].
Se define la bola abierta con centro [texx]x[/texx] y radio [texx]\displaystyle r[/texx] al conjunto:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
  B_r(  x) := \{  y\in X:d(x,y) < r\}.
\end{align*}[/texx]

Se define la bola cerrada con centro [texx] x[/texx] y radio [texx]r[/texx] como el conjunto

[texx]\displaystyle  \bar{  B}_r( x) := \{y\in X:d(x,y)\leq  r\}.[/texx]

Nótese que estamos llamando a las bolas abierta y cerrada, aún antes de demostrar que son conjuntos abiertos o cerrados en alguna topología de [texx]V[/texx].

El aspecto de las bolas en un espacio métrico general puede que no sea algo "redondo", tal como uno está acostumbrado. Así que hay que tener la mente abierta a situaciones bastante peculiares desde el punto de vista de nuestra intuición geométrica corriente.

Tal como hicimos para los espacios vectoriales normados, formaremos una familia [texx]\displaystyle \tau [/texx]  de subconjuntos de [texx]\displaystyle X[/texx] de la siguiente manera:

Diremos que un conjunto [texx]\displaystyle A\subset X[/texx] es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx] si, y sólo si, el conjunto [texx]\displaystyle A[/texx] es el vacío o bien puede escribirse como la unión de alguna familia de bolas abiertas de [texx]X[/texx]. En símbolos:

[texx]\begin{align*}\displaystyle
\tau &=\Big\{A\subset X| A=\emptyset\textsf{\ ó \ }\\
   &\qquad\qquad  \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}: A = \bigcup_{\iota\in I} N_\iota
     \textsf{\ y\ }   \forall{\iota\in I}
    \big[\exists{}{ x\in X,r>0}: N_\iota = B_r( x)
              \big]
 \Big\}
\end{align*}[/texx]


Veamos algunos ejemplos de elementos que están en la familia [texx]\displaystyle \tau [/texx].

Como la unión de una bola abierta [texx]\displaystyle B_r(x)[/texx] consigo misma es trivialmente una unión de bolas abiertas, se deduce enseguida que toda bola abierta es un elemento de [texx]\displaystyle \tau [/texx].
También, uniones finitas o infinitas de cualesquiera bolas abiertas están en [texx]\displaystyle \tau [/texx].
Y más aún, todos los elementos no vaciós de [texx]\displaystyle \tau [/texx] son de esta forma...



Ahora debemos probar que la familia [texx]\displaystyle \tau[/texx] es una topología para el espacio métrico [texx]X[/texx].
La demostración es la misma que la del caso vectorial normado.
¿Qué cambia? Sólo terminología y notación.
En todo lugar que diga [texx]V[/texx] lo reemplazamos por X, y en vez de la norma ponemos la distancia.

Así que vamos a repetir por cuarta vez las pruebas hechas antes.

Proposición. La familia [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].

Demostración. De nuevo, basta comprobar los 4 axiomas de topología.







Ahora que hemos probado que [texx]\displaystyle \tau [/texx] es una topología,
podemos hablar de sus elementos como los conjuntos abiertos de la topología correspondiente.

Demos también el criterio para detectar conjuntos abiertos en un espacio métrico.

Criterio. Un conjunto [texx] A\subset X[/texx] es abierto si, y sólo si, para cada [texx] y\in A[/texx] existe [texx]\displaystyle r_{ y}>0[/texx] tal que [texx]\displaystyle B_{r_{ y}}(  y)\subset A[/texx].
Es decir, hay al menos una bola abierta centrada en [texx]y[/texx] completamente contenida en [texx]\displaystyle A[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)



Como siempre, se puede demostrar que una bola abierta es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx].
Y también una bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología [texx]\tau[/texx].



(Aquí se agregarán ejemplos de diversos espacios métricos)



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« Respuesta #11 : 15/01/2010, 06:20:15 pm »

Topología del orden.

Volvamos un poco a los números reales, y tengamos presente su representación en una recta coordenada.

Si un punto/número real [texx]x[/texx] es menor que otro punto/número real [texx]y[/texx], entonces está a la izquierda en la recta coordenada, según el sentido que solemos usar para representar los números gráficamente.

Para indicar esa relación, se escribe que [texx]x<y[/texx].

Si nos fijamos un poco, la topología [texx]\tau[/texx] sobre la recta real terminó siendo la familia de todos aquellos conjuntos que pueden escribirse como uniones de bolas unidimensionales abiertas centrados en algún punto [texx]x_0[/texx], lo cual viene a ser intervalos abiertos de la forma [texx](x_0-r,x_0+r)[/texx], para todo centro [texx]x_0[/texx] en la recta, y todo radio [texx]r>0[/texx].



Definamos "otra" topología en la recta real, que indicaremos con [texx]\tau^<[/texx], como la familia de todos aquellos subconjuntos de la recta que pueden obtenerse como uniones de intervalos abiertos cualesquiera.

O sea, un conjunto [texx]A[/texx] está en [texx]\tau^<[/texx] si puede escribirse como:

[texx]\displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}(a_\iota,b_\iota),[/texx]

para ciertas familias de números [texx]\{a_\iota\}_{\iota\in I}[/texx], [texx]\{b_\iota\}_{\iota\in I}[/texx].
Aquí, [texx](a_\iota,b_\iota)[/texx] denota el intervalo [texx]\{x|a_\iota<x<b_\iota\}[/texx].

Se llama a [texx]\tau^<[/texx] la topología del orden para la recta real, porque se construye en base a la relación de orden de los números reales, y no se utiliza nada más, vale decir, no se usa la estructura algebraica subyacente, sino sólo el orden.



Se puede demostrar que las dos familias de conjuntos [texx]\tau[/texx] y [texx]\tau^<[/texx] tienen los mismos elementos.
Esto equivale a decir que las dos topologías son iguales.

La demostración es muy fácil:

  • Toda "bola" abierta unidimensional [texx]B_r(x)[/texx] es en realidad un intervalo abierto [texx](x-r,x+r)[/texx].
    Luego, todo elemento de [texx]\tau[/texx] es trivialmente una unión de intervalos abiertos.
    Así que [texx]\tau\subset \tau^<[/texx].
  • A su vez, todo intervalo abierto [texx](a,b)[/texx] se puede escribir como una bola abierta unidimensional [texx]B(x,r)[/texx] con centro y radio adecuados.
    Basta hacer [texx]x=(a+b)/2[/texx] (el promedio de los extremos), y [texx]r=(b-a)/2[/texx] (la semidistancia entre los extremos).
    Con esto, todo elemento de [texx]\tau^<[/texx] puede escribirse como unión de bolas unidimensionales abiertas.



¿Cuál es la gracia de decir lo mismo de dos formas distintas?

Bueno, en la recta real no hay diferencia. Pero hay contextos donde sólo se tiene un orden y no hay ninguna estructura de espacio vectorial normado ni siquiera de espacio métrico.

O sea que ahora estamos haciendo una abstracción en una dirección diferente a la que veníamos efectuando hasta el momento. Específicamente: en el sentido de usar el orden como fundamento para una topología.

En cualquier conjunto [texx]X[/texx] que haya un orden [texx]\prec[/texx] con propiedades como el de los números reales, o sea, un orden lineal estricto (confrontar resumen de la sección 3 en los posts anteriores), es posible definir una topología del orden.

Basta definir una noción de intervalo abierto en [texx]X[/texx] (de nuevo confrontar resumen de sección 3) mediante [texx](a,b)=\{x\in X|a\prec x\prec b\}[/texx].

A lo largo del curso veremos muchos ejemplos, pero ahora sólo pondré en escena los más obvios:

[texx] \bullet[/texx] Cada sistema de números [texx]\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}[/texx] tiene su relación de orden [texx]<[/texx] que funciona como ya seguramente estamos acostumbrados...

[texx] \bullet[/texx] Orden heredado: En todo conjunto [texx]X[/texx] con una relación de orden [texx]\prec[/texx] en él, hereda el orden a sus subconjuntos. O sea, si [texx]Y\subset X[/texx], entonces [texx]Y[/texx] tiene un orden que proviene de restringir a dicho conjunto el orden que teníamos en el conjunto mayor [texx]X[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Si [texx]D[/texx] es el conjunto de todas las palabras de un diccionario, es claro el orden que existe entre dichas palabras. Entre las palabras adobe y amianto hay muchas palabras, que forman el intervalo (adobe, amianto).
Este intervalo es abierto, o sea que las palabras delimitantes del mismo, adobe y amianto, no pertenecen al intervalo, sino que están sólo las "intermedias" (afable, agorero, ahora, ajo, alambre, amado, etc.)
Se puede, pues, definir una topología del orden en las palabras del diccionario [texx]D[/texx], como cualesquiera uniones de esos intervalos abiertos.



Una propiedad topológica interesante que tienen los conjuntos linealmente ordenados es la de conexidad. A grosso modo, digamos por ahora sólo la idea intuitiva de esto:

Si tenemos una lista de varios intervalos abiertos tales que cada uno de ellos tiene puntos en común con al menos alguno de los otros de la lista, entonces la unión de todos los elementos de la lista vuelve a ser un intervalo abierto.

Reflexionemos un poco sobre esto, en los ejemplos de la recta real, y de las palabras del diccionario.

La sutileza está en que, si bien un elemento de la topología es unión de intervalos abiertos, no quiere decir que dicho elemento sea él mismo un intervalo abierto.
Pero bajo ciertas condiciones, sí que seguimos obteniendo intervalos en vez de conjuntos "desparramados" cualesquiera.



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« Respuesta #12 : 16/01/2010, 03:03:43 am »

Otros ejemplos clásicos de Topologías.

¿Se puede definir una topología en un conjunto cualquiera, sin exigirle estructura alguna?
La respuesta es afirmativa, como muestran los dos ejemplos que siguen.


[texx] \bullet[/texx] Topología Discreta: Sea [texx]X[/texx] un conjunto cualquiera. Si [texx]\mathcal P(X)[/texx] denota la colección de todos los subconjuntos de [texx]X[/texx], si hacemos [texx]\tau=\mathcal P(X)[/texx] obtenemos una topología sobre [texx]X[/texx].

La demostración es muy fácil, porque: la unión de cualesquiera elementos de [texx]\tau[/texx] es un subconjunto de [texx]X[/texx], que por lo tanto también pertenece a [texx]\tau[/texx].
La intersección de un par de elementos de [texx]\tau[/texx] es un subconjunto de [texx]X[/texx], que de nuevo será un elemento de [texx]\tau[/texx].
Y además [texx]\emptyset[/texx] y el mismo [texx]X[/texx] están en [texx]\tau[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Topología Indiscreta: Sea [texx]X[/texx] un conjunto cualquiera. Haciendo [texx]\tau=\{\emptyset,X\}[/texx] obtenemos una topología sobre [texx]X[/texx].

La demostración es trivial, porque toda unión o intersección de elementos de [texx]\tau[/texx] da, o bien [texx]\emptyset[/texx] o bien [texx]X[/texx], que son elementos de [texx]\tau[/texx].

Estos ejemplos están siempre disponibles, sin necesidad de pedir que sobre [texx]X[/texx] haya alguna estructura de espacio vectorial normado, o de espacio métrico, o una relación de orden (lineal estricto), ni ninguna de las otras posibilidades que estudiaremos más adelante.

Sin embargo, se trata de casos que sirven, en realidad, para dar ejemplos de que ciertas propiedades topológicas interesantes no se cumplen.
Son contraejemplos típicos, que hay que tener en cuenta siempre.





[texx] \bullet[/texx] Topología Producto. Supongamos que tenemos ciertas topologías definidas sobre unos conjuntos [texx]A,B[/texx]. ¿Podemos aprovechar esas topologías ya existentes para construir una topología sobre el producto cartesiano [texx]A\times B[/texx]?

La respuesta es afirmativa, pero no lo vamos a hacer en este momento, sino a lo largo del curso.
Digamos que, incluso, pueden definirse topologías asociadas a productos cartesianos generalizados, incluso con una cantidad infinita de "factores".





Veremos muchos otros ejemplos exóticos de topologías.
Todos ellos nos enseñarán algo: nos mostrarán el alcance de una lista dada de propiedades, qué tan poco hay que pedir para que una demostración siga siendo válida.

Nombremos a la topología cofinita, la topología cociente, las topologías heredadas (subespacios), uniformidades (son unas ciertas estructuras más generales que los espacios métricos), y un largo etc.
Poco a poco las iremos encontrando y estudiando.





Aquí termina el resumen previo de ejemplos básicos de topologías y de espacios topológicos.
Mi esperanza es que, al echar un vistazo sobre estos ejemplos, pueda quitarles el susto a quienes la topología les da algo de temor.


 :sonrisa:




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« Respuesta #13 : 30/01/2010, 03:39:02 am »

Capítulo 2. Espacios Topológicos y Funciones Continuas.

Los dos pilares de la topología general son las nociones de espacio topológico y de continuidad de funciones entre dos espacios topológicos, que podrían ser diferentes.
En este capítulo se estudian ambos conceptos.

Es importante tener claro que cuestionar el significado de las definiciones es una tarea permanente que forma parte del aprendizaje de la topología.
Otro ítem fundamental a tener en cuenta es que los ejemplos son los que nutren de experiencia al topólogo.
Así que tenganmos presente y en alta estima estos dos aspectos, y pongamos voluntad para reflexionar sobre los teoremas, y realizar los ejercicios.

También veremos maneras de construir topologías sobre conjuntos dados, y ciertos teoremas que nos permiten demostrar con menos trabajo si cierta familia de conjuntos es o no una topología.

Sección 12. Espacios Topológicos.

Ya hemos visto la definición de topología y de espacio topológico.
No está de más recordarlo.

Sea [texx]X[/texx] un conjunto dado.

[texx]\bullet[/texx] Definición. Una topología sobre [texx]X[/texx] es una familia [texx]\tau[/texx] de subconjuntos de [texx]X[/texx] que verifica las siguientes propiedades:
  • (1) [texx]\emptyset,X\in\tau.[/texx]
  • (2) La unión de cualquier subcolección de [texx]\tau[/texx] es un elemento de [texx]\tau[/texx].
  • (3) La intersección de cualquier subfamilia finita elementos de [texx]\tau[/texx] es un elemento de [texx]\tau[/texx] (sería lo mismo pedir que la intersección de 2 elementos esté en [texx]\tau[/texx], y luego aplicar argumentos de inducción).

[texx]\bullet[/texx] Un espacio topológico es un par [texx](X,\tau)[/texx] tal que [texx]X[/texx] es un conjunto y [texx]\tau[/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].

Para las definiciones anteriores, he copiado literalmente al texto de Munkres, para tener armonía con el texto original en el futuro.

Los elementos de [texx]\tau[/texx] se llaman conjuntos abiertos de la topología dada.
A los complementarios de los conjuntos abiertos se los llama conjuntos cerrados, o sea, [texx]F[/texx] es cerrado si y sólo si hay un abierto [texx]U[/texx] tal que [texx]F=X-U[/texx].

[texx]\bullet[/texx] Sea [texx]X[/texx] un conjunto vacío. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

[texx]\bullet[/texx] Sea [texx]X[/texx] un conjunto con 1 solo elemento. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

[texx]\bullet[/texx] Sea [texx]X[/texx] un conjunto con 2 elementos. ¿Cuáles son todas las topologías posibles?

En Munkres se desarrolla en detalle el siguiente ejemplo. Para quienes no tengan el libro, es un interesante ejercicio  a efectuar, para practicar un poco el concepto abstracto de topología sobre un conjunto [texx]X[/texx].

[texx]\bullet[/texx] Ejemplo 1. Sea [texx]X[/texx] un conjunto con 3 elementos distintos, [texx]X=\{a,b,c\}[/texx]. ¿Cuáles son todas las topologías posibles? Ejercicio: Enumérelas y explíquelas en detalle.

[texx]\bullet[/texx] Ejemplo 2. Aquí Munkres desarrolla las topologías discreta e indiscreta, de las que algo ya hemos dicho. En todo caso les queda como ejercicio probar que las siguientes familias de conjuntos son topologías:

  • Topología discreta. [texx]\tau=\mathcal P(X)[/texx], la familia de todos los subconjuntos de [texx]X[/texx].
  • Topología indiscreta o trivial. [texx]\tau=\{\emptyset,X\}[/texx], o sea, la familia que sólo consta de los conjuntos vacío y total. ¿Cuántos elementos tiene esta topología (Ahá... a menos que [texx]X[/texx] sea vacio...  )

[texx]\bullet[/texx] Ejemplo 3. Topología Cofinita. Dado [texx]X[/texx], se considera la familia [texx]\tau[/texx] formada por todos los subconjuntos [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] que son vacíos o bien complementarios de conjuntos finitos, o sea tal que [texx]X-U[/texx] es finito.

Munkres hace la prueba de que esta familia es una topología.
No le veo sentido a que yo repita aquí esa demostración, puesto que además es algo sencillo.
Les dejo como ejercicio demostrar que la familia [texx]\tau[/texx] del ejemplo 3 es efectivamente una topología.
¡Traten de hacerlo, así no se quedan sin la diversión de hacer las cuentas!
Y de paso podemos comentarlo entre todos, así como pulir las técnicas de demostración.

[texx]\bullet[/texx] Ejemplo 4. Dado [texx]X[/texx], se considera la familia [texx]\tau[/texx] formada por todos los subconjuntos [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] que son vacíos o bien complementarios de conjuntos finitos o infinito-numerables.
Queda como ejercicio llevar a cabo la comprobación de que [texx]\tau[/texx] es una topología.
¡Y compartan detalles en la parte de comentarios! ¡No trabajen solos!   :rodando_los_ojos:



¿Pueden haber topologías distintas sobre un mismo conjunto (espacio) [texx]X[/texx]? Sí.
¿Pueden compararse dos diferentes topologías? ¿Cómo?


Por ahora simplemente haremos una comparación de tipo conjuntístico.
Cuando abordemos el estudio de la convergencia, veremos que puede usarse dicha noción para comparar topologías, y quizá sea el modo más interesante de hacerlo, de cara a las aplicaciones topológicas.

[texx]\bullet[/texx] Sean [texx]\tau,\tau'[/texx], dos topologías sobre un conjunto [texx]X[/texx]:
  • Si [texx]\tau'\supset\tau[/texx], decimos que [texx]\tau'[/texx] es más fina que [texx]\tau[/texx].
    También decimos que [texx]\tau[/texx] es más gruesa que [texx]\tau'[/texx].
  • Si [texx]\tau' \varsupsetneqq\tau[/texx], decimos que [texx]\tau'[/texx] es estrictamente más fina que [texx]\tau[/texx].
    También decimos que [texx]\tau[/texx] es estrictamente más gruesa que [texx]\tau'[/texx].
  • Decimos que [texx]\tau[/texx] es comparable con [texx]\tau'[/texx] si, o bien [texx]\tau'\supset\tau[/texx], o bien [texx]\tau\supset\tau'[/texx].

Ejercicio. ¿Existen ejemplos de topologías [texx]\tau,\tau'[/texx] sobre un conjunto [texx]X[/texx] que no sean comparables? Intuitivamente pareciera que sí, pero para estar seguros, debemos mostrar al menos un ejemplo. Sugerimos revisar la lista de topologías del Ejemplo 1, para el conjunto de tres elementos distintos [texx]X=\{a,b,c\}[/texx], y especificar todos los pares de topologías que son comparables, y cuáles son no comparables.

En otros textos, cuando [texx]\tau'\supset\tau[/texx], puede que se use la terminología siguiente: [texx]\tau'[/texx] es más grande que [texx]\tau[/texx], y [texx]\tau[/texx] es más pequeña que [texx]\tau'[/texx].
También puede que aparezcan los términos topología más fuerte y topología más débil, para definir a estos mismos conceptos. El problema es que hay autores que usan el calificativo de "más fuerte" para lo mismo que otros usan el de "más débil" y vicecersa.
Por eso Munkres evita el uso de esa terminología, y nosotros haremos lo mismo.


Esta sección no contiene ejercitación en el libro de Munkres.
Así que para trabajar nos quedan los ejercicios que hemos dejado marcados a lo largo de la teoría.
Traten de hacer esos ejercicios y compartan sus dificultades o al menos sus conclusiones o dudas.


Puntos y Espacios.

Es bueno mencionar aquí que en topología es costumbre llamar "espacio" al conjunto total [texx]X[/texx], y a los elementos [texx]x \in X[/texx] se les dice "puntos".

Esta nomenclatura refleja ideas geométricas, y para ser francos, tienen su origen en el estudio de las propiedades topológicas de los espacios [texx]n[/texx]-euclidianos.

Así que acostumbrémenos a estos términos, que son de uso natural en topología.

Hasta la próxima.  :tranqui:

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« Respuesta #14 : 30/01/2010, 08:12:24 am »

Sección 13. Bases para una Topología.

¿Puede haber "bases" en topología?
Estamos quizá más acostumbrados a la idea de "base" de un espacio vectorial, la cual es un conjunto pequeño que permite "generar" todo el espacio.


En un espacio topológico, podemos buscar familias "pequeñas" de conjuntos abiertos que permitan generar todos los abiertos de la topología.
¿Cómo se generan? Mediante la operación de "unión de conjuntos".

Aquí vamos con la formalidad del asunto:

  • Sea [texx]X[/texx] un conjunto. Una base (topológica) es una colección [texx]\mathcal B[/texx] de subconjuntos de [texx]X[/texx], llamados elementos de la base, tal que:

    • (1) Para cada [texx]x\in X[/texx], existe al menos un elemento [texx]B\in \mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in B[/texx].
    • (2) Si [texx]x[/texx] pertenece a dos elementos [texx]B_1,B_2[/texx], de la base [texx]\mathcal B[/texx], entonces existe un elemento [texx]B_3\in\mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in B_3\subset B_1\cap B_2[/texx].

  • Ejercicio. Si [texx]\mathcal B[/texx] es una base en [texx]X[/texx], se define la familia [texx]\tau[/texx] mediante la siguiente propiedad: un subconjunto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] es elemento de [texx]\tau[/texx] si, para cada [texx]x\in U[/texx] existe [texx]B[/texx] en la base [texx]\mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in B\subset U[/texx]. En símbolos:

    [texx]\tau=\{U\subset X|\forall x\in U: \exists B\in \mathcal B(x\in B\subset U)\}[/texx]

    Se pide demostrar que [texx]\tau[/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].
  • Se dice que [texx]\tau[/texx] es la topología generada por [texx]\mathcal B[/texx].
    También se dirá que [texx]\mathcal{B}[/texx] es una base para la topología [texx]\tau[/texx] sobre [texx]X[/texx].
    Obviamente, debido al resultado del punto anterior, hay una única posible topología generada por [texx]\mathcal{B}[/texx].

Estas definiciones están sin duda inspiradas en los ejemplos de la geometría euclidiana. En ellos, las bolas abiertas son bases para la topología.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. Considere el espacio euclidiano [texx]n[/texx]-dimensional, con la noción de bola abierta que ya conocemos. En ese caso, la familia [texx]\mathcal B[/texx] de todas las bolas abiertas de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] forman una base.
Ejercicio: se pide demostrar esa afirmación, o sea, hay que comprobar las propiedades (1) y (2) de la definición de base.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 2. Considere la familia de todos los rectángulos abiertos (sin su borde) en el plano, que además tienen lados paralelos a los ejes coordenados.
Ejercicio: Demostrar que dicha familia es una base para el espacio euclidiano 2-dimensional (o sea, el plano).
¿Se animan a hacer un dibujito?

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 3. En un conjunto cualquiera [texx]X[/texx] no vacío, considere la familia de todos los subconjuntos que constan de un solo punto.
Ejercicio: Demostrar que esa familia es una base, y más aún, la topología generada es la topología discreta.



[texx] \bullet[/texx] Lema 1. Sea [texx]X[/texx] un conjunto; sea [texx]\mathcal B[/texx] una base para una topología [texx]\tau[/texx] sobre [texx]X[/texx]. Entonces [texx]\tau[/texx] es igual a la colección de todas las uniones de elementos de [texx]\mathcal B[/texx]. En símbolos:

[texx]\tau=\{U|\exists \mathcal{A}\subset\mathcal{B}:(U=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)\}[/texx]

La prueba es muy sencilla, y se deja como ejercicio.
Recordar que el signo de igualdad en la fórmula conjuntística anterior requiere demostrar dos inclusiones, una en cada sentido.

El Lema 1 establece que todo todo conjunto abierto [texx]U[/texx] en [texx]X[/texx] puede expresarse como unión de elementos de la base.
Sin embargo, esta representación de [texx]U[/texx] no es única en el caso general.

¿Hay algún criterio para determinar si cierta familia es o no una base?
La respuesta es afirmativa.

[texx] \bullet[/texx] Lema 2. Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico. Suponer que [texx]\mathcal{C}[/texx] es una colección de conjuntos abiertos de [texx]X[/texx] tal que: para cada conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] y cada [texx]x\in U[/texx], existe un elemento [texx]C\in\mathcal{C}[/texx] tal que [texx]x\in C\subset U[/texx]. Entonces [texx]\mathcal C[/texx] es una base para la topología de [texx]X[/texx].

La demostración se deja como ejercicio. Aunque dejamos aquí los pasos principales que hay que demostrar:

  • 1ro.: Demostrar que [texx]\mathcal C[/texx] es una base.
    Esto significa comprobar que [texx]\mathcal{C}[/texx] satisface las dos propiedades de la definición de base.
  • 2do.: Sea [texx]\tau[/texx] la colección de conjuntos abiertos de [texx]X[/texx] (o sea, la topología tomada como hipótesis).
    Por otro lado, sea [texx]\tau'[/texx] la topología generada por [texx]\mathcal{C}[/texx] (esto tiene sentido porque en el ítem anterior ya hemos comprobado que [texx]\mathcal C[/texx] es una base).
    Demostrar ahora que [texx]\tau=\tau'[/texx].

    Es sencillo, pero hay que escribirlo bien, tan solo. Así que, ¡a pensar!

Les dejo un ejercicio meramente técnico:
la familia [texx]\mathcal{C}[/texx] es, ni más ni menos que, un conjunto, y como tal, pertenece a cierta clase definida por determinada propiedad. La "propiedad" ha sido indicada en el enunciado del Lema 2.
¿Cómo describir la clase [texx]\mathcal{E}[/texx] de todos los objetos/conjuntos que cumplen esa propiedad?
¿Cómo indicar usando sólo símbolos lógicos que [texx]\mathcal{C}[/texx] es un elemento de esa clase?
¿Cómo expresar el enunciado del Lema 2 usando sólo símbolos lógicos?




Ejercicio Obligatorio: En los posts previos hemos visto varios ejemplos de topologías. La mayoría de ellas tienen un aspecto muy similar, puesto que en última instancia se definen en términos de ciertas bolas abiertas. Así que les dejo para que piensen y traten de demostrar las siguientes afirmaciones, además de incluir algún dibujo, si es posible:
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todos los discos abiertos del plano euclidiano forman una base para la topología estándar de dicho plano.
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todas las bolas abiertas del espacio euclidiano 3-dimensional forman una base para la topología estándar de dicho espacio.
  • ¿En qué cambia el asunto si hablamos del espacio euclidiano [texx]n[/texx]-dimensional?
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todas las bolas abiertas de un espacio vectorial normado forman una base para la topología de dicho espacio.
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todas las bolas abiertas de un espacio métrico forman una base para la topología de dicho espacio.
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todos los intervalos abiertos de la recta real forma una base para la topología de dicha recta.
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todos los intervalos abiertos de un conjunto [texx]X[/texx] linealmente ordenado forma una base para la topología del orden de [texx]X[/texx] (si hay dudas, esperar hasta la sección correspondiente en este mismo capítulo).

También hay bases triviales. En efecto, la familia [texx]\tau[/texx] de conjuntos abiertos de una topología, es ella misma una base que genera la topología de "sí misma". Dejamos la comprobación de este sencillo hecho como un ejercicio.



Usando bases se puede determinar más fácilmente si una topología es más fina que otra.
Esto se demuestra en el siguiente Lema.

[texx] \bullet[/texx] Lema 3. En un conjunto [texx]X[/texx], sea [texx]\mathcal{B}[/texx] base para la topología [texx]\tau[/texx], y sea [texx]\mathcal{B}'[/texx] base para la topología [texx]\tau'[/texx]. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:
  • (1) [texx]\tau'[/texx] es más fina que [texx]\tau[/texx].
  • (2) Para cada [texx]x\in X[/texx] y cada elemento [texx]B\in\mathcal{B}[/texx], tal que [texx]B\ni x[/texx], existe un elemento [texx]B'\in\mathcal{B}'[/texx] tal que [texx]x\in B'\subset B[/texx].

La demostración queda como ejercicio.
Sin embargo, damos aquí los pasos que hay que llevar a cabo:
  • Para probar que [texx](1)\Rightarrow{(2)}[/texx], se debe suponer que [texx]\tau'\supset\tau[/texx].
    Bajo esa hipótesis, suponer además que se ha tomado un elemento [texx]x\in X[/texx] y un [texx]B\in \mathcal{B}[/texx] tal que [texx]x\in B[/texx].
    Ahora hay que demostrar para [texx]x[/texx] la conclusión de (2), a saber, que hay un [texx]B'\in\mathcal{B}'[/texx] tal que [texx]x\in B'\subset\mathcal{B}'[/texx].
  • Para probar que [texx](2)\Rightarrow{(1)}[/texx], se debe suponer que vale la condición (2), y se debe probar que [texx]\tau\subset \tau'[/texx], o sea, dado [texx]U\in\tau[/texx], probar que [texx]U\in\tau'[/texx].


[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 4. Considere en el espacio euclidiano 2-dimensional las dos familias de conjuntos siguientes:
  • [texx]\mathcal{B}[/texx] es la familia de todos los discos abiertos del plano.
  • [texx]\mathcal{B}'[/texx] es la familia de todos los rectángulos abiertos del plano (o sea, rectángulos con el interior "lleno" pero sin su borde), cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.
Ejercicio. Se pide demostrar que ambas bases generan la misma topología.
Esto se hace con ayuda del Lema 3, y teniendo en cuenta que si una topología es más fina que otra, y viceversa, entonces ambas topologías son iguales. (¿Es esto cierto? ¿Por qué?)

[texx] \bullet[/texx] Ejercicio. Analizar la misma situación en el espacio euclidiano 3-dimensional, esta vez usando bases de bolas abiertas y de paralelepípedos abiertos (con caras paralelas a los planos coordenados).

[texx] \bullet[/texx] Ejercicio. ¿Cómo generalizaría usted el ejercicio anterior al espacio euclidiano [texx]n[/texx]-dimensional? ¿Y a un espacio vectorial normado? ¿Y a un espacio métrico? ¿Y qué pasa con las bolas y los rectángulos cuando la dimensión euclidiana es [texx]n=1[/texx]?

Vamos a ver ahora las 3 topologías más "famosas" sobre la recta real.

[texx] \bullet[/texx] Definición. Consideremos el conjunto [texx]X=\mathbb{R}[/texx] de la recta real.

  • Se llama topología estándar a la topología generada por la base [texx]\mathcal{B}[/texx] que consta de todos los intervalos abiertos, o sea, conjuntos de la forma:

    [texx](a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a<x<b\},\qquad\qquad a<b.[/texx]

    Salvo que se diga lo contrario, se supondrá que en [texx]\mathbb{R}[/texx] tomamos la topología estándar.

  • Se llama topología del límite inferior a la topología generada por la base [texx]\mathcal{B}'[/texx] que consta de todos los intervalos semiabiertos  de la forma:

    [texx][a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x<b\},\qquad\qquad a<b.[/texx]

    Cuando se dota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con esta topología, usamos mejor la notación [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx]

    Observación: Es posible definir también una topología del límite superior. ¿Cómo? Respuesta: ejercicio.
  • [texx]K[/texx]-topología: Sea [texx]K[/texx] el conjunto de todos los números de la forma [texx]1/n[/texx], con [texx]n\in\mathbb{Z}^+[/texx], y
    sea [texx]\mathcal{B}''[/texx] la colección que consta de todos los intervalos abiertos [texx](a,b)[/texx], y además todos los conjuntos de la forma [texx](a,b)-K[/texx].
    Se llama [texx]K[/texx]-topología a la topología generada por la base [texx]\mathcal{B}''[/texx].

    Cuando damos a [texx]\mathbb{R}[/texx] esta topología, denotamos mejor [texx]\mathbb{R}_K[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Ejercicio. En la definición anterior hemos dicho que [texx]\mathcal{B}[/texx], [texx]\mathcal{B}'[/texx] y [texx]\mathcal{B}''[/texx] son bases. ¿Es cierto eso? Demostrarlo.
¿Por qué hay que comprobarlo?  :enojado:
Porque sólo una vez que esto ha sido comprobado tenemos derecho a dar la definición de arriba. De lo contrario, al no saber si las familias indicadas son o no son bases, ¡¡¡no tendría sentido hablar de "la topología generada por tal o cual base"!!!  :sorprendido:

Pero la comprobación es fácil.
Observemos además que, en cada una de las
bases anteriores, la intersección de dos elementos cualesquiera vuelve a ser un elemento de la base, o bien es vacía.

[texx] \bullet[/texx] Lema 4. Las topologías de [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx] y [texx]\mathbb{R}_K[/texx] son estrictamente más finas que la topología estándar de [texx]\mathbb{R}[/texx]. sin embargo, no son comparables entre sí.

La demostración queda como ejercicio.
Digamos al menos lo que hay que hacer. Se trata de tres tareas:

  • Probar que [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx] es estrictamente más fina que la topología de [texx]\mathbb{R}[/texx].
    Esto se hace en dos partes: primero, ver que todo intervalo abierto que contiene un punto x, contiene a un intervalo semiabierto que contiene también a [texx]x[/texx].
    Segundo: lo recíproco no siempre puede realizarse, por ejemplo tomando el extremo izquierdo de un intervalo semiabierto [texx][a,b)[/texx].
  • Probar que [texx]\mathbb{R}_K[/texx] es estrictamente más fina que la topología de [texx]\mathbb{R}[/texx].
    Que es más fina es fácil, porque su base contiene trivialmente a todos los intervalos abiertos.
    Luego hay que buscar un elemento [texx]B[/texx] de la base de [texx]\mathbb{R}_K[/texx] y un punto [texx]x\in B[/texx], tal que ningún intervalo abierto contenga a [texx]x[/texx] y esté a su vez contenido en [texx]B[/texx]. Pista: Tomar [texx]x=0[/texx] y B=(-a,a)-K, algún [texx]a>0[/texx].
  • Demostrar que las topologías [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx] y [texx]\mathbb{R}_K[/texx] no son comparables.
    El método es siempre el mismo: aplicar la caracterización del Lema 3 buscando un punto "rebelde" en algún elemento de la base. Hacer esto con cada base en relación a la otra.



Si bien las bases simplifican el trabajo de verificar o construir topologías, aún tenemos todo el tiempo el trabajo de chequear si una familia de conjuntos dada es o no una base.
Sería bueno evitarse ese trabajo.

¿Es posible "generar" una topología a partir de cualquier familia de conjuntos?

La respuesta es afirmativa. Para ello se considera una familia "prácticamente" cualquiera de subconjuntos de [texx]X[/texx], y se forma a partir de ahí una base, que luego produce como ya sabemos una topología.

[texx] \bullet[/texx] Una subbase [texx]\mathcal{S}[/texx] (topológica) en un conjunto [texx]X[/texx] es una colección de conjuntos cuya unión es todo [texx]X[/texx].

Observemos que el único requisito que se pide en esta definición es que la unión de todos los elementos de la colección [texx]\mathcal{S}[/texx] sea todo [texx]X[/texx].
Esta exigencia es importante, porque al "generar" todas las uniones posibles, queremos que el conjunto [texx]X[/texx] sea uno de los miembros "generados", ya que [texx]X[/texx] debe ser miembro de toda topología definible sobre [texx]X[/texx] mismo.

[texx] \bullet[/texx] Ejercicio. Sea [texx]\mathcal{S}[/texx] una subbase en [texx]X[/texx], y defínase [texx]\mathcal{B}[/texx] como la familia de todas las intersecciones de subcolecciones finitas de elementos de [texx]\mathcal{S}[/texx]. Demostrar que [texx]\mathcal{B}[/texx] es una base en [texx]X[/texx].

Ahora es posible obtener una topología a través de la base obtenida en el ejercicio precedente, simplemente tomando todas las uniones de sus elementos, gracias al Lema 1.

[texx] \bullet[/texx] Dada una subbase [texx]\mathcal{S}[/texx] en un conjunto [texx]X[/texx], se llama topología generada por la subbase [texx]\mathcal{S}[/texx] a la familia [texx]\tau[/texx] de todas las uniones de intersecciones de subcolecciones finitas de [texx]\mathcal{S}[/texx].

Pequeña reflexión: ¿Es cierto que [texx]\tau[/texx] en la definición anterior es una topología? Ya lo hemos dicho... pero repasémoslo de nuevo, sólo para estar seguros.  :indeciso:


Pregunta filosófica:

[texx] \bullet[/texx] Ejercicio. ¿Es cierto que toda base es también una subbase?



En el desplegable siguiente va la lista de ejercicios del libro.
Tanto para los ejercicios propuestos en la teoría, como para los que vienen a continuación: traten de hacer los que puedan, y hagan preguntas, consultas o comentarios.
¡No trabajen solos!

No tengan vergüenza de equivocarse. Aprovechen el anonimato de Internet para perder la vergüenza.  :tranqui:
Equivocarse es el combustible del aprendizaje.  :BangHead:  :BangHead:

El objetivo del curso es que ustedes entiendan y aprendan, y no que yo me luzca.
Así que participen para ver qué cosas tengo que corregir o arreglar en la exposición.
Y tropiecen con los ejercicios y las demostraciones, porque así van a salir buenos topólogos.


Spoiler: Ejercicios Sección 13 (click para mostrar u ocultar)


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« Respuesta #15 : 14/02/2010, 03:45:31 am »

Sección 14.Topología del Orden.

Al dar la seguidilla de ejemplos de espacios topológicos hemos hablado ya de la topología del orden y dimos algunos ejemplos.
Aquí seremos más sistemáticos y estrictos, y seguiremos al texto de Munkres.

Antes que nada, el concepto de relación de orden está siempre sujeto a confusión, porque los distintos autores no se ponen de acuerdo en una noción universalmente aceptada del término relacion de orden. Cada cual adopta lo que más le gusta, y eso es un grave inconveniente, dado que se trata de un concepto matemático tan fundamental. Los detalles pertinentes, y las convenciones adoptadas en este curso, han sido debidamente explicadas en el post de la Sección 3.

Supongamos que un conjunto [texx]X[/texx] está linealmente (y estrictamente) ordenado por una relación que indicamos con el signo corriente [texx]<[/texx].
La naturaleza de este orden no tiene por qué ser similar al orden conocido de los sistemas numéricos.
Puede que en [texx]X[/texx] haya un elemento mínimo (menor que todos los demás), o bien uno máximo (mayor que todos los demás), o bien ambos, o bien ninguno.

La relación de orden lineal (estricto) [texx]<[/texx] en [texx]X[/texx] "induce" en forma natural una topología en [texx]X[/texx].
Dicho de otro modo: a partir del orden se puede generar una topología en un conjunto.
El modo usual de hacerlo es tomando a los "intervalos abiertos" como elementos de la base de la topología.

Sean [texx]a,b[/texx], elementos dados de [texx]X[/texx] tales que [texx]a < b[/texx]. Definimos los siguientes conjuntos en [texx]X[/texx]:

  • (a): [texx](a,b)=\{x\in X|a<x<b\}[/texx].
  • (b): [texx](a,b]=\{x\in X|a<x \leq b\}[/texx].
  • (c): [texx][a,b)=\{x\in X|a \leq x<b\}[/texx].
  • (d): [texx][a,b]=\{x\in X|a \leq x \leq b\}[/texx].

Esos tipos de conjuntos se llamarán intervalos. (Nótese que hablamos de intervalos en el contexto de un conjunto ordenado [texx]X[/texx] cualquiera, no necesariamente números).

  • Definición. Sea [texx]X[/texx] un conjunto, con más de un elemento, y con una relación de orden lineal (estricto) [texx]<[/texx] definida en él. Sea [texx]\mathcal{B}[/texx] la colección de todos los intervalos de una de las siguientes formas:

    • (1) [texx](a,b)[/texx], para [texx]a,b\in X, a<b[/texx].
    • (2) [texx][a_0,b)[/texx], para [texx]b\in X,[/texx] siempre y cuando exista un elemento mínimo [texx]a_0\in X[/texx].
    • (3) [texx](a,b_0][/texx], para [texx]a\in X,[/texx].siempre y cuando exista un elemento máximo [texx]b_0\in X[/texx].

    En tal caso, la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] es base para una topología [texx]\tau[/texx] sobre [texx]X[/texx].
    Se llama a [texx]\tau[/texx] la topología del orden sobre [texx]X[/texx].
  • Ejercicio: Demostrar que efectivamente la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] es base de una topología.
  • Observación: En la definición anterior, los intervalos de las formas (2) y (3) se agregan por "consistencia". En efecto, si queremos que nuestra colección [texx]\mathcal{B}[/texx] sea una base, necesitamos que cada "individuo" que vive en [texx]X[/texx] tenga un "techo" donde acogerse en la sociedad [texx]\mathcal{B}[/texx], vale decir, un conjunto [texx]B\in\mathcal{B}[/texx] tal que [texx]x\in B[/texx].
    Y entonces uno se pregunta, ¿qué tal si hay algún [texx]x=a_0\in X[/texx], que es mínimo en [texx]X[/texx]? ¿En cuál de los intervalos [texx](a,b)[/texx] del ítem (1) podría vivir ese [texx]x[/texx]? Obviamente en ninguno. Así que se agrega la condición (2). Algo similar ocurre para elementos máximos.
  • Comentario. Uno podría pensar, a raíz de la observación precedente, que somos demasiado "caprichosos" al defender a ultranza ya sea la definición de base, como la de topología. ¿No sería mejor modificar dichas definiciones de manera que dejando sólo el ítem (1) se obtenga una topología del orden?
    La primer objeción a este pregunta que se nos ocurre es que no tiene sentido cambiar las definiciones fundamentales de úna teoría cada vez que aparece un ejemplo algo quisquilloso, sino que más bien conviene adaptar el ejemplo a las definiciones.
    Pero hay razones de mayor peso para mantener la definición anterior, con los casos especiales de los ítems (2) y (3), y tiene que ver con el acertado tratamiento de un tema que desarrollaremos más adelante, a saber, el de las topologías relativas. Al relativizar la topología del orden a conjuntos más pequeños, se obtendrá de nuevo una topología de orden, pero eso sólo gracias a la definición arriba adoptada.

  • Los intervalos de la forma [texx](a,b)[/texx] se llaman abiertos.
  • Los intervalos de la forma [texx](a,b][/texx] ó [texx][a,b)[/texx] se llaman semiabiertos.
  • Los intervalos de la forma [texx][a,b][/texx] se llaman cerrados.

El texto de Munkres da estas definiciones antes de introducir la topología del orden.
Es natural hacerlo así, pero como siempre, lo hemos evitado porque ¿cómo llamar intervalo abierto a un conjunto que todavía no sabemos que es abierto?
Claro es que el significado de intervalo abierto significa en este caso que los extremos [texx]a,b[/texx], de [texx](a,b)[/texx] no pertenecen al conjunto considerado.
Pero la palabra abierto en topología tiene un significado especial e importantísimo, y no conviene usarla a la ligera.

La terminología de los textos matemáticos, lamentablemente, muy a menudo lleva a confusiones innecesarias.
La raíz de estas confusiones obedece a seguir viejas constumbres, de autores respetados, o de usos demasiado arraigados en el ambiente profesional.
Mi opinión es que es más importante dejar asentada una ciencia bien consolidada, y no tanto defender la costumbre de los "próceres".
Todos veneramos a los grandes matemáticos, o a los buenos libros, pero la seriedad científica siempre debe estar por encima de estas cosas.
Así que: primero establecemos que los intervalos de la forma [texx](a, b)[/texx] son abiertos en la topología del orden. Y después nos autorizamos a llamar a esos conjuntos intervalos abiertos.




Vayamos a los ejemplos.

 [texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. En el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], con la relación de orden usual, tenemos una topología del orden, claro está, pero los intervalos de la base son sólo del tipo (1), ya que en [texx]\mathbb{R}[/texx] no hay elementos que sean el mínimo ni el máximo (dado un [texx]c\in\mathbb{R}[/texx], siempre existen [texx]a, b\in\mathbf{R}[/texx] tales que [texx]a<c[/texx] y [texx]c<b[/texx]).
Se deja como ejercicio comprobar que la topología del orden en [texx]\mathbb{R}[/texx] es la misma que la topología estándar.

Recordemos ahora los conceptos de la Sección 3 sobre el orden de diccionario, y las notaciones en colores usadas para distinguir los pares ordenados de los intervalos.

Click aquí para ir al post de Temas secciones 1 a 5

  • Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] con el orden de diccionario:

    [texx]{\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1[/texx] ó [texx]a_1=b_1, a_2 < b_2.[/texx]

    Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
    Un intervalo abierto tiene ahora la forma:

    [texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}x, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}x, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}\}[/texx]

    Dejamos el ejercicio de "intentar" graficar ejemplos de estos intervalos.

    Ya sabemos que la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] formada por todos estos intervalos abiertos respecto el orden lexicográfico en [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] tienen que formar una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx].
    ¿Alguna intuición de cómo son los conjuntos abiertos en esta topología?

    Observemos el caso especial de los intervalos que tienen la primer coordenada fija, o sea, los de la forma:

    [texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\}[/texx]

    Es un sencillo ejercicio verificar que la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] de este tipo de intervalos con una coordenada fija, también es una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx].
    Más aún (corregido), esta topología es la misma que la topología del orden en [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx]. ¿Por qué?

  • Ejemplo 3. Considérese el sistema de enteros positivos [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] con el orden [texx]<[/texx] usual. Consideremos aquí el comportamiento de la topología del orden. Dejamos como ejercicio los siguientes hechos:
    • Observar que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] tiene un elemento mínimo.
      Prestar atención entonces al tipo de intervalos que han de incluirse en la base de la topología del orden.
    • Demostrar que los subconjuntos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] que tienen un solo punto, son abiertos (en la topología del orden).
    • Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.
    Recomiendo encarecidamente meditar sobre este último hecho.
    En cierto sentido, los puntos del espacio topológico [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] están aislados.
    Más concretamente, dado un punto cualquiera [texx]n\in\mathbb{Z}_+[/texx], entre él y su siguiente [texx]n+1[/texx] no existen otros puntos [texx]x\in\mathbb{Z}_+[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
    Este tipo de situaciones en los conjuntos ordenados nos llevarán siempre a preguntarnos si la topología del orden obtenida es o no igual a la topología discreta.

  • Ejemplo 4. Consideremos el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] ordenado de la manera obvia: [texx]1<2[/texx], y sea [texx]X=\{1,2\}\times\mathbb{Z}_+[/texx], con el orden lexicográfico, y la correspondiente topología del orden.
    El autor Munkres elige denotar a los elementos de la forma [texx]{\color{blue}(}1, n{\color{blue})}[/texx] como [texx]a_n[/texx] y a los de la forma [texx]{\color{blue}(}2, n{\color{blue})}[/texx] como [texx]b_n[/texx]. En ese caso, uno puede "visualizar" el orden escribiendo una especie de lista, de izquierda a derecha, así:

    [texx]a_1,a_2,a_3,\cdots;\quad b_1,b_2,b_3,\cdots[/texx]

  • Ejercicio: Comprobar que hay un primer elemento con el orden lexicográfico, y anotar correctamente cómo son los elementos de la base en este caso.
  • Ejercicio: Comprobar que ahora la topología del orden no es la topología discreta.
  • Ejercicio: La mayoría de los conjuntos de un solo punto son también conjuntos abiertos.
  • Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto [texx]b_1[/texx] no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en [texx]X[/texx]?



En la recta real se puede hablar de intervalos semiinfinitos ó infinitos.
La misma notación puede usarse en conjuntos ordenados en general, pero la interpretación no necesariamente es la misma, según los casos.
Veamos la definición, y después discutamos un poco la situación:

  • Definición Si [texx]X[/texx] es un conjunto linealmente (y estrictamente) ordenado y [texx]a\in X[/texx], entonces se definen unos conjuntos llamados rayos determinados por [texx]a[/texx], de la siguiente manera:
    • [texx](a,+\infty)=\{x\in X|x>a\}.[/texx]
    • [texx](-\infty,a)=\{x\in X|x<a\}.[/texx]
    • [texx][a,+\infty)=\{x\in X|x \geq a\}.[/texx]
    • [texx](-\infty,a]=\{x\in X|x \leq a\}.[/texx]

Dejamos planteado el ejercicio de que la familia de todos estos rayos no forma necesariamente una base para una topología en [texx]X[/texx] (basta considerar algún [texx]X[/texx] conocido, como la recta real).
Más hechos dejados como ejercicios:
  • Observe que, cuando [texx]X[/texx] tiene un elemento máximo [texx]b_0[/texx], se tiene la igualdad: [texx](a,+\infty)=(a,b_0][/texx].
    Esta situación es notacionalmente confusa, porque estamos acostumbrados al significado de [texx](a,+\infty)[/texx] en la recta real.
    Es bueno reflexionar lo que esto significa en el caso general: es una mera notación.
    Los símbolos [texx]+\infty,-\infty[/texx] no representan puntos, ni situaciones límite, ni nada que nos haga recordar operaciones del cálculo.

    Algo similar podemos decir cuando en [texx]X[/texx] hay algún elemento mínimo.
    Son situaciones que se dejan para reflexionar.
  • Los rayos de la forma [texx](a,+\infty)[/texx] y [texx](-\infty,a)[/texx], son conjuntos abiertos en la topología del orden.
    Para comprobar esto, hay que separar en casos distintos, según que en [texx]X[/texx] haya o no elementos mínimos y/o máximos.
  • Añadiendo a la familia de rayos los conjuntos [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx], se obtiene una subbase para una topología, y esta topología generada coincide con la topología del orden.
    ¿Cómo se demuestra esto? Es sencillo, pero hay que hacer los pasos.


Finalmente, podemos dar las siguientes definiciones:

Los rayos de la forma [texx](a,+\infty),(-\infty,a)[/texx] se dicen abiertos, y
los rayos de la forma [texx][a,+\infty),(-\infty,a][/texx] se dicen cerrados.

[texx] \bullet[/texx] Pregunta capciosa: ¿En qué casos puede ocurrir que un rayo cerrado sea también un conjunto abierto?



Hasta la próxima.
:sonrisa:


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« Respuesta #16 : 14/02/2010, 08:06:14 am »

Sección 15. La Topología Producto sobre X x Y

[texx]\bullet[/texx] Definición:

Sean [texx]X,Y[/texx] dos espacios topológicos. Considere la familia de conjuntos

[texx]\mathcal{B}=\{U\times V|U\textsf{\ abierto en\ }X, V\textsf{\ abierto en\ }Y\}[/texx]

Dejamos la siguiente lista de ejercicios.
(En estos casos conviene hacer alguna representación geométrica que simplifique las ideas, por ejemplo, esquematizando los conjuntos [texx]X,Y[/texx] en un par de ejes coordenados):
  • Demostrar que la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] es  una base para una topología en el conjunto producto [texx]X\times Y[/texx].
    Basta tener en cuenta la definición de base y la igualdad de conjuntos:
    [texx](U_1\times V_1)\cap(U_2\times V_2)=(U_1\cap U_2)\times(V_1\cap V_2).[/texx]
  • Demostrar con algún ejemplo típico (por ejemplo, la topología de la recta real) que la unión de dos elementos de [texx]\mathcal{B}[/texx] no es, en general, un elemento de [texx]\mathcal{B}[/texx].
    En otras palabras, la la unión de "productos de abiertos" no es de nuevo un "producto de abiertos".
  • Demostrar que, en general, la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] no es una topología.
    Para esto, aprovechar el "inconveniente" de las uniones del ítem precedente.
  • Si bien las uniones de elementos de [texx]\mathcal{B}[/texx] no están en [texx]\mathcal{B}[/texx], dichas uniones son abiertos de la topología generada por [texx]\mathcal{B}[/texx] (por ser elementos de la base misma).

[texx] \bullet[/texx] Definición: A la topología generada por la familia [texx]\mathcal{B}[/texx] recién explicada, se le llama topología producto sobre el conjunto [texx]X\times Y[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Pregunta: ¿Es necesario definir una topología con ese formato en el producto cartesiano [texx]X\times Y[/texx] de dos espacios topológicos? Respuesta: No necesariamente. Más abajo veremos un caso corriente. En todo caso, la topología producto nos da un modo natural y sistemático de construir una topología en un producto cartesiano.

[texx] \bullet[/texx] Teorema 1. Si [texx]\mathcal{B}[/texx] es una base para la topología de [texx]X[/texx], y [texx]\mathcal{C}[/texx] es una base para la topología de [texx]Y[/texx], entonces la colección

[texx]\mathcal{D}=\{B\times C| B\in\mathcal{B}, C\in\mathcal{C}\}[/texx]

es una base para la topología producto de [texx]X\times Y[/texx].

Demostración: Se deja como ejercicio. No obstante, mencionemos que la prueba es sencilla, y basta tener en cuenta el Lema 13.2.

[texx] \bullet[/texx] Observación. Fijémonos en el hecho curioso de que la colección de productos de topologías no nos da una topología, sino sólo una base. En cambio, la colección de productos de bases nos da una base.
Una moraleja de esto, quizá, es que al tratar productos cartesianos, es más sencillo trabajar con las bases antes que renegar constantemente con la topología en sí misma.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. Consideremos el caso especial de [texx]X=Y=\mathbb{R}[/texx] con la topología estándar. Al considerar ahora la topología producto en [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] nos encontramos conque la base [texx]\mathcal{B}[/texx] consta de todos los conjuntos de la forma [texx](a,b)\times (c,d)[/texx], siendo [texx](a,b),(c,d)[/texx] intervalos abiertos en [texx]\mathbb{R}[/texx].
Estos conjuntos [texx](a,b)\times (c,d)[/texx] tienen el aspecto de rectángulos rellenos y sin sus bordes.
Como se vio en el Ejemplo 2 de la Sección 13, estos rectángulos abiertos son una base de la topología estándar de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx].
Pero en definitiva estamos diciendo que la topología producto en este caso coincide con la topología estándar (que originalmente se había definido con discos abiertos como base...).

Observemos ahora que la topología del orden en [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] no tiene nada que ver con la topología producto.
Se trata de topologías bien diferentes la una de la otra, como puede comprobarse fácilmente con unos cuantos ejemplos.
¿Es alguna de estas topologías más fina que la otra?
Antes de responder: ¡¡hacer dibujos!!



Pasemos al importante tema de las proyecciones.

Sean [texx]\pi_1:X\times Y\to X[/texx] y [texx]\pi_2:X\times Y\to Y[/texx] funciones definidas de la siguiente manera:

[texx]\pi_1(x,y)=x[/texx]
[texx]\pi_2(x,y)=y[/texx]

[texx] \bullet[/texx] Definición. Se llama a estas funciones las proyecciones de [texx]X\times Y[/texx] en sus 1era y 2da coordendas, o bien, en su 1er y 2do factores.

Si ninguno de los conjuntos [texx]X,Y[/texx] es vacío, entonces las proyecciones son funciones suryectivas.
Si alguno es vacío, el producto es vacío, y fin del cuento.

Si [texx]U\subset X,V\subset Y[/texx] entonces las preimágenes de las proyecciones satisfacen las relaciones triviales siguientes:

[texx]\pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V[/texx]

El gráfico de estas preimágenes lucen como franjas o bandas cuando se hace un esquema en coordenadas cartesianas.

Si además [texx]U[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y [texx]V[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx], entonces obviamente los conjuntos [texx]U\times Y,X\times V[/texx] son abiertos en la topología producto de [texx]X\times Y[/texx], y esto es lo mismo que decir que las preimágenes [texx]\pi_1^{-1}(U),\pi_2^{-1}(V)[/texx] son conjuntos abiertos en la topología producto.
Si ahora tomamos la intersección de estas dos franjas, obtenemos el conjunto [texx]U\times V[/texx], que es abierto de la topología producto por ser elemento de la base.

A estos conjuntos [texx]U\times V[/texx] se los suele llamar "rectángulos", generalizando exageradamente las ideas geométricas del plano euclidiano.

[texx] \bullet[/texx] Teorema 2. La colección de conjuntos que sigue, es una subbase para la topología producto de [texx]X\times Y[/texx]:

[texx]\mathcal{S}=\{\pi_1^{-1}(U)| U \textsf{\ abierto en\ }X\} \cup \{\pi_2^{-1}(V)| V \textsf{\ abierto en\ }Y\} [/texx]

Demostración. Dejamos como fácil ejercicio comprobar que la familia [texx]\mathcal{S}[/texx] es una subbase. Aceptando este hecho, continuamos así:

Supongamos que [texx]\tau [/texx] es la topología producto en [texx]X\times  Y[/texx],
y que [texx]\tau ' [/texx] es la topología generada por [texx]\mathcal{S}[/texx].
Es sencillo comprobar que todo elemento de [texx]\mathcal{S}[/texx] es un elemento de [texx]\tau [/texx].
En particular, las uniones arbitrarias y las intersecciones finitas de elementos de [texx]\mathcal{S}[/texx] son elementos de [texx]\tau [/texx] (¡¡comprobarlo!!).
Esto demuestra que [texx]\tau '\subset \tau [/texx].
Por otro lado, cada elemento [texx]U\times  V[/texx] de la base de [texx]\tau [/texx] puede escribirse como intersección finita de elementos de [texx]\mathcal{S}[/texx], así:

[texx]U\times V=\pi_1^{-1}(U)\times  \pi_2^{-1}(V).[/texx]

Por lo tanto [texx]U\times  V\in \tau '[/texx].
Como estos son los elementos de la base de la topología producto, podemos concluir ahora que [texx]\tau \subset \tau '[/texx].
Finalmente, tenemos la conclusión deseada: [texx]\tau =\tau '[/texx].

Q.E.D.



La acción de proyectar es una función sobreyectiva, y por lo tanto, cualitativamente hablando, se pierde información
Cuando tomamos las preimágenes de esas proyecciones, estamos haciendo un intento de reconstruir el conjunto original, y escribirlo como producto cartesiano de un par de conjuntos...
.
Esto en general no puede hacerse, justamente porque las proyecciones son como sombras, y en tal sentido, la información perdida no puede recuperarse.

A lo sumo, lo único que puede recuperarse es "cierto rectángulo o caja" dentro del cual reside el conjunto originalmente proyectado.
Veamos un ejemplo de esto en el plano [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx].
La figura del dibujo es un conjunto abierto en la topología producto, puesto que en cada punto [texx](x,y)[/texx] de la figura puede ponerse un pequeño rectángulo que contenga al punto y al mismo tiempo esté contenido en la silueta completa.
Al proyectar perdemos información, y así, al tomar las preimágenes y luego calcular su producto cartesiano, lo que obtenemos es el rectángulo abierto que mejor se ajusta a la figura, pero nos quedan trozos de figura sobrantes, que no pertenecen a la silueta original.





Esta historia pronto continúa...
:sonrisa:

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« Respuesta #17 : 14/02/2010, 06:27:57 pm »

Sección 16. La Topología del Subespacio.

En muchas ocasiones de nuestro trabajo matemático necesitaremos restringir nuestro espacio de trabajo a conjuntos más pequeños del original, pero más todavía, nos hará falta mantener comunicados ambos conjuntos, el grande y el pequeño, y mantener cierto paralelismo en sus propiedades geométricas intrínsecas.
Este es el caso típico en la teoría de superficies suaves.
Si tenemos una superficie suave bidimensional sumergida en el espacio euclidiano tridimensional, vamos a querer "mirar con lupa" a la superficie, intersectándola con bolas abiertas tridimensionales, y así nos será más sencillo manejar los conceptos topológicos y geométricos de la superficie, cuya descripción puede ser bastante compleja, mientras que el espacio tridimensional de soporte tiene una estructura bien conocida y más amigable.


Hay muchos otros intereses en el estudio de topologías para conjuntos restringidos, pero quizá convenga ir descubriéndolos en los ejemplos y ejercicios.

[texx] \bullet [/texx] Definición. Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico cuya topología es [texx]\tau [/texx].
Sea [texx]Y[/texx] un subconjunto no vacío de [texx]X[/texx], y sea [texx]\tau _Y[/texx] la siguiente familia de subconjuntos de [texx]Y[/texx]:

[texx]\tau _Y=\{Y\cap U| U\in\tau \}.[/texx]

Esto quiere decir que los elementos de [texx]\tau_Y[/texx] se forman tomando los abiertos de [texx]\tau [/texx] y luego intersectándolos con [texx]Y[/texx].
Se deja como ejercicio demostrar que [texx]\tau_Y[/texx] es una topología en el conjunto restringido [texx]Y[/texx].
Se llama a [texx]\tau _Y[/texx] la topología de subespacio.
Con esa topología se dice que [texx]Y[/texx] es un subespacio (topológico) de [texx]X[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Lema 1. Si [texx]\mathcal{B}[/texx] es una base para la topología de [texx]X[/texx], entonces la familia

[texx]\mathcal{B}_Y=\{B\cap  Y| B\in\mathcal{B}\}[/texx]

es una base para la topología subespacio sobre [texx]Y[/texx].

Demostración. Es bastante sencilla, usando el Lema 13.2, así que la dejamos como ejercicio.



Ahora se puede armar una terrible mezcolanza de abiertos en [texx]X[/texx] y abiertos en [texx]Y[/texx].
Consideremos el espacio [texx]X=\mathbb{R}[/texx] y el subespacio [texx]Y=[0,1][/texx], o sea, el intervalo unitario cerrado en la recta real.
Por ser [texx]Y[/texx] un abierto respecto de su propia topología de subespacio, resulta que [texx][0,1][/texx] es abierto en [texx]Y[/texx].
Sin embargo, sabemos, o podemos verificar, que el intervalo [texx][0,1][/texx]  no es un conjunto abierto en la topología de [texx]X[/texx].
Conjuntos como [texx][0,a)[/texx], con [texx]0< a< 1[/texx] son abiertos [texx]Y[/texx], pero no lo son en [texx]X[/texx].

Situaciones mucho más peculiares pueden presentarse, y en general hay que tener bien claro que la topología de subespacio puede ser muy diferente de la topología del espacio original del que se partió. Tan solo están una relacionada con la otra, pero el manejo de estos conceptos debe hacerse con sumo cuidado.

Moraleja: Todo conjunto puede volverse abierto respecto de la topología de subespacio sobre sí mismo. :sorprendido:

Si [texx]Y[/texx] es un subespacio de [texx]X[/texx] diremos que un conjunto [texx]U[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx], o  bien que es abierto relativo a [texx]Y[/texx] siempre que [texx]U[/texx] pertenezca a la topología del subespacio [texx]Y[/texx]. En particular esto implica que [texx]U\subset Y[/texx].
Este tipo de nomenclatura es suficiente para evitar confusiones innecesarias.
Sin embargo, hay situaciones especiales en las que un conjunto es abierto en ambas topologías:

[texx] \bullet [/texx] Lema 2. Sea [texx]Y[/texx] subespacio de [texx]X[/texx]. Si [texx]U[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx] e [texx]Y[/texx] es abierto en [texx]X[/texx], entonces [texx]U[/texx] es también abierto en [texx]X[/texx].

Demostración. Es muy sencilla, y la dejamos como ejercicio.



Ahora veamos que la vida nos sonríe al trabajar con topologías producto y subespacios. :sonrisa:

[texx] \bullet [/texx] Teorema 3. Si [texx]A [/texx] es subespacio de [texx]X[/texx], y si [texx]B[/texx] es subespacio de [texx]Y[/texx], entonces la topología producto [texx]A\times  B[/texx] es la misma que la topología que hereda como subespacio de [texx]X\times  Y[/texx].

Demostración. Basta probar que las bases de ambas topologías sobre [texx]A\times B[/texx] son iguales, y entonces más aún lo son sus topologías. Dejamos estas comprobaciones como ejercicio. Es fácil, pero hay que poner voluntad y escribirlo bien.



Cuando las cosas funcionan bien en matemáticas, uno se luce con un buen Teorema.
Cuando las cosas fallan, uno pone tantos contraejemplos como su imaginación le es capaz de proveer.
Los contraejemplos muestran la frontera entre lo posible y lo imposible, y por ende suelen tener tanta importancia como un Teorema.
Así que no subestimemos los contraejemplos, y mirémosles con sumo cariño.


Las relaciones entre topologías del orden y de subespacio ya no son armoniosas.
Así que tendremos que ilustrarlo con ejemplos y contraejemplos que nos exciten las neuronas para darnos experiencia a este respecto.

[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 1. Consideremos el conjunto [texx]Y=[0,1)[/texx] con la topología de subespacio respecto la recta real [texx]\mathbb{R}[/texx].
Una base de esta topología constará de todos los conjuntos de la forma [texx](a,b)\cap Y[/texx], siendo [texx](a,b)[/texx] intervalo abierto en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Tales conjuntos son de los siguientes tipos:

[texx](a,b)\cap Y =\begin{cases}
     (a,b), & \textsf{si\ } a,b\in Y\\
     [0,b), & \textsf{si solamente\ } b\in Y\\
     (a,1), & \textsf{si solamente\  } a\in Y\\
     Y\textsf{\ ó\ }\emptyset , & \textsf{en otro caso.}
\end{cases}[/texx]

Cada uno de estos conjuntos es abierto en [texx]Y[/texx].
Por otra parte, estos mismos conjuntos forman una base para la topología del orden en [texx]Y[/texx]. Comprobarlo.
En este Ejemplo, las topologías de subespacio y del orden son iguales.

[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 2. Sea [texx]Y[/texx] el subconjunto [texx]Y=[0,1)\cup \{2\}[/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx].
En la topología de subespacio sobre [texx]Y[/texx], el conjunto de un solo punto [texx]\{2\}[/texx] es abierto porque se puede escribir como la intersección, por ejemplo, [texx](3/2,5/2)\cap Y[/texx].
Pero en la topología del orden el conjunto [texx]\{2\}[/texx] no es abierto. Veamos por qué.
Todo elemento de la base de la topología del orden que contiene a [texx]b=2[/texx], tiene la forma [texx]\{x\in Y|a< x \leq 2\}[/texx], con [texx]a\in Y, a< 2[/texx].
Todo conjunto de esta forma contiene siempre puntos de [texx]Y[/texx] que son distintos de [texx]\{2\}[/texx]. Comprobarlo.
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Observación: Si nos fijamos con atención, el espacio [texx][0,1)\cup \{2\}[/texx] tiene el mismo tipo de orden que el conjunto [texx][0,1][/texx]. En general, en lo que concierne a topologías del orden, esto significará que las topologías de ambos conjuntos son equivalentes en algún sentido, que haremos más explícito en secciones posteriores.
Por ahora sólo rescatemos la "idea intuitiva" de equivalencia a este respecto.
Observemos por ejemplo que el tipo de orden del intervalo [texx](-1,1)[/texx] es el mismo que el de la recta real completa [texx](-\infty ,+\infty )[/texx], e incluso que de cualquier intervalo de la forma [texx](a,b)[/texx] o [texx](0,+\infty )[/texx] ó [texx](-\infty ,0)[/texx]. Las topologías de orden serán, pues "equivalentes".
El conjunto de números naturales [texx]\{1,2,3,\cdots \}[/texx] con la topología del orden tiene el mismo "comportamiento" que el conjunto [texx]\{1-1/n|n=1,2,3,\cdots\}[/texx], y en general habrá una "equivalencia" con respecto a cualquier conjunto que contenga una sucesión estrictamente creciente de números reales..


[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 3. Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Consideremos sobre [texx]I\times  I[/texx] la topología del orden de diccionario.
El orden en [texx]I\times I[/texx] es la restricción del orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx] a [texx]I\times I[/texx].
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de [texx]I\times I[/texx] no es la topología de subespacio de [texx]I\times I[/texx] respecto la topología de orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx]. Veamos por qué:
El conjunto [texx]\{1/2\}\times (1/2,1][/texx] es abierto en [texx]I\times I[/texx] en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto [texx]{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx]).
Ejercicio: Dibujar en el plano varios ejemplos de elementos de la base de las topologías subespacio y de orden de diccionario para el conjunto [texx]I\times I[/texx].

Al conjunto [texx]I\times  I[/texx] con la topología del orden de diccionario se le llamará cuadrado ordenado, y se la denotará como [texx]I^2_o[/texx]

El comportamiento "bueno" o "malo" de los subconjuntos ordenados depende principalmente de una cierta propiedad de buena conexión de los conjuntos considerados. A esta propiedad Munkres la llama convexidad.
En geometría clásica, un conjunto es convexo si el segmento que une un par de puntos está contenido en el conjunto.
Aquí la idea es la misma, pero recordemos que un conjunto ordenado puede tener un tipo de orden bastante inusual (puntos aislados, lagunas, etc., etc.)
O sea que la generalización del concepto geométrico es muy grande.

[texx] \bullet [/texx] Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado (siempre lineal y estrictamente). Decimos que un subconjunto [texx]Y[/texx] de [texx]X[/texx] es convexo si para todo par de puntos [texx]a, b\in Y[/texx], con [texx]a< b[/texx], se tiene que [texx](a,b)\subset Y[/texx].
Observar que todos los tipos de intervalos y de rayos son subconjuntos convexos de [texx]X[/texx].

Nótese también que puede haber conjuntos convexos que sean o no abiertos o cerrados, o incluso ninguno de ambos.

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que [texx]X[/texx] es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que [texx]Y\subset X[/texx] es un conjunto convexo en [texx]X[/texx],
y que [texx]a\in X[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Ejercicio. Demostrar que si [texx]a\in Y[/texx], entonces

[texx](a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}.[/texx]

[texx] \bullet [/texx] Ejercicio. Demostrar que si [texx]a\not\in Y[/texx], entonces [texx]a[/texx] es una cota inferior del conjunto [texx]Y[/texx], o  bien es una cota superior de [texx]Y[/texx]. Usando esto, demostrar que en el primer caso [texx](a,+\infty )\cap Y=Y[/texx], y en el segundo caso [texx](a,+\infty )\cap Y=\emptyset[/texx].

En resumidas cuentas, la intersección [texx](a,+\infty )\cap Y[/texx] da un rayo en [texx]Y[/texx], o bien todo [texx]Y[/texx] o  bien [texx]\emptyset [/texx].
Lo mismo puede decirse de [texx](-\infty ,a)\cap  Y[/texx].

El estudio de las propiedades de los rayos es casi obvio que "viene con la intención" de usarlos en demostraciones que incluyen el concepto de subbase.
Dado que las subbases son en general familias de conjuntos más sencillos de describir, las pruebas se hacen más cortas y simples con su ayuda.


[texx] \bullet [/texx] Teorema 4. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado (lineal y estrictamente) con la topología del orden; sea [texx]Y\subset X[/texx] convexo en [texx]X[/texx]. Entonces la topología del orden de [texx]Y[/texx] coincide con la topología de subespacio de [texx]Y[/texx] que hereda de [texx]X[/texx].

Demostración. Como los conjuntos [texx](-\infty ,a)\cap  Y[/texx] y  [texx](a,+\infty )\cap Y[/texx] forman una subbase para la topología de subespacio de [texx]Y[/texx] respecto [texx]X[/texx], y como cada uno de ellos es abierto en la topología del orden se deduce que la topología del orden contiene (incluye) a la topología subespacio. ¿Por qué?

Ahora hay que demostrar la inclusión recíproca.

Todo rayo abierto en [texx]Y[/texx] es igual a la intersección de [texx]Y[/texx] con algún rayo abierto en [texx]X[/texx]. ¿Por qué?.
Por lo tanto, resulta abierto en la topología de subespacio sobre [texx]Y[/texx].
Como estos rayos abiertos son una subbase para la topología del orden sobre [texx]Y[/texx],
esta topología está contenida en la topología subespacio.

Q.E.D.




Spoiler: Ejercicios Sección 16 (click para mostrar u ocultar)




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« Respuesta #18 : 22/03/2010, 06:41:18 pm »

Sección 17. Conjuntos Cerrados y Puntos Límite.

La topología comienza a hacerse útil cuando aparecen las nociones de convergencia, o sea, cuando se estudia en profundida el concepto de límite.
Algo tan simple de definir como los conjuntos cerrados hallan aquí su sentido pleno en la teoría.


[texx]  \bullet[/texx] Definición. En un espacio topológico [texx]X[/texx], un conjunto [texx]A[/texx] se dice cerrado, si su complemento [texx]X-A[/texx] es abierto (o sea, es complementario de un miembro de la topología en cuestión).

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. Se deja como ejercicio demostrar que en la topología estándar de [texx]\mathbb R[/texx] los intervalos de la forma [texx][a,b][/texx], [texx](-\infty,a][/texx] son conjuntos cerrados, mientras que los intervalos de la forma [texx][a,b)[/texx] no es ni abierto ni cerrado.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 2. Como ejercicio se pide demostrar que en el plano [texx]\mathbb R^2[/texx], el conjunto [texx]\{(x,y)|x \geq0,y \geq 0\}[/texx] es cerrado.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 3. En un conjunto cualquiera [texx]X[/texx], con la topología de los complementos finitos, todos los conjuntos cerrados serían el mismo [texx]X[/texx] y además los conjuntos finitos.

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 4. En la topología discreta sobre un conjunto X, todo conjunto es cerrado. ¿Por qué?

[texx] \bullet[/texx] Ejemplo 5. Considérese el subconjunto de [texx]\mathbb R[/texx] definido por [texx]Y=[0,1]\cup(2,3)[/texx], dotado de la topología del subespacio. ¿Los conjuntos [texx][0,1][/texx] y [texx](2,3)[/texx] son abiertos en [texx]Y[/texx]? ¿Son cerrados en [texx]Y[/texx]? ¿Por qué?

La moraleja de estos ejemplos es que en un espacio topológico hay conjuntos que pueden ser abiertos, o bien cerrados, o bien ambos a la vez, o bien ninguno de los dos.
Más adelante veremos que en [texx]\mathbb R[/texx] los únicos conjuntos que pueden ser al mismo tiempo abiertos y cerrados son los triviales: [texx]\emptyset[/texx] y [texx]\mathbb R[/texx].
Sin embargo, como muestra el Ejemplo 5, aún en este caso, al pasar a subespacios esta propiedad podría perderse, y obtener así topologías de subespacio que tuviesen varios conjuntos abiertos y cerrados al mismo tiempo.
O sea que esta propiedad no sería "hereditaria".


Tengamos claro al menos que en todo espacio topológico [texx]X[/texx] los conjuntos [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] son ambos abiertos y cerrados al mismo tiempo.



  • Teorema 1. (Propiedades de los conjuntos cerrados) Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico. Entonces:

    • (1) [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] son cerrados.
    • (2) La intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados da un conjunto cerrado.
    • (3) La unión de una familia finita de conjuntos cerrados da un conjunto cerrado.

    La demostración de estos hechos es una rutina sencilla, y se deja como ejercicio.

[texx] \bullet[/texx] Supóngase que se tiene una familia [texx]\mathcal F[/texx] de subconjuntos de [texx]X[/texx] con las propiedades (1), (2) y (3) del párrafo anterior, pero que nadie nos ha indicado que tienen algo que ver con alguna topología de [texx]X[/texx]. ¿Cómo construir una topología en [texx]X[/texx] de tal manera que los elementos de [texx]\mathcal F[/texx] se conviertan luego en los "cerrados" de dicha topología? O sea, ¿cómo se definirían los abiertos de una tal topología?.

[texx] \bullet[/texx] Si [texx]Y[/texx] es subespacio de [texx]X[/texx] se dice que [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx] si [texx]A\subset Y[/texx] y además [texx]Y-A[/texx] es abierto en la topología de subespacio de [texx]Y[/texx].



[texx] \bullet [/texx] Teorema 2. Sea [texx]Y[/texx] un subespacio de [texx]X[/texx]. Entonces un conjunto [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx] si, y sólo si, es igual a la intersección de un conjunto cerrado de [texx]X[/texx] con [texx]Y[/texx].

Demostración: Ejercicio. (Durante la prueba, haga referencia constantemente a que un conjunto cerrado es complementario de un abierto, y aplique las definiciones de abierto y abierto relativo).

[texx] \bullet [/texx] Teorema 3. Sea [texx]Y[/texx] un subespacio de [texx]X[/texx]. Si [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx] e [texx]Y[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].

Demostración.  Ejercicio.



Clausura e interior de un conjunto

[texx] \bullet [/texx] Dado un subconjunto [texx]A[/texx] de un espacio topológico [texx]X[/texx], se definen el interior de [texx]A[/texx], denotado [texx]Int(A)[/texx], y la clausura de [texx]A[/texx], denotada [texx]\bar A[/texx], como los conjuntos siguientes:

  • [texx]Int(A)=\bigcup\{U|U\subset  A,U\textsf{\ es abierto en\ }X\}[/texx]
  • [texx]\bar A=\bigcap\{F|F\supset  A, F\textsf{\ es cerrado en\ }X\}[/texx]

Es muy sencillo verificar que [texx]Int(A)[/texx] es un conjunto abierto, y que [texx]\bar A[/texx] es un conjunto cerrado. Además:

[texx]Int(A)\subset  A\subset \bar A.[/texx]

Claramente, si [texx]A[/texx] es abierto entonces [texx]A=Int(A)[/texx], y si [texx]A[/texx] es cerrado entonces [texx]A=\bar A[/texx].

En general, si [texx]Y[/texx] es subespacio de [texx]X[/texx], y [texx]A\subset  Y[/texx], la clausura de [texx]A[/texx] en [texx]Y[/texx] será diferente de la clausura de [texx]A[/texx] en [texx]X[/texx].
En este caso se tomará la convención de que [texx]\bar A[/texx] denota siempre la clausura en el espacio mayor [texx]X[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Teorema 4. Sean [texx]Y[/texx] subespacio de [texx]X[/texx], y [texx]A\subset  Y[/texx]. Entonces [texx]\bar A[/texx], la clausura de [texx]A[/texx] en [texx]Y[/texx] es igual a [texx]\bar A\cap  Y[/texx].

Demostración. Ejercicio.  (Usar las definiciones de cada cosa, y aprovechar el Teorema 2.)

Ahora sigue una caracterización de clausuras en términos de bases.

[texx] \bullet [/texx] Se dice que un conjunto [texx]A[/texx] interseca (o corta) a un conjunto [texx]B[/texx] si [texx]A\cap B\neq \emptyset [/texx].

[texx] \bullet [/texx] Teorema 5. Sea [texx]A[/texx] un subconjunto del espacio topológico [texx]X[/texx]. Entonces:
  • (a) [texx]x\in \bar A[/texx] si, y sólo si, cada conjunto abierto [texx]U[/texx] que contiene a [texx]x[/texx] interseca a [texx]A[/texx].
  • (b) Suponiendo que la topología de [texx]X[/texx] está dada por una base, entonces [texx]x\in \bar A[/texx] si, y sólo si, cada elemento [texx]B[/texx] de la base que contiene a [texx]x[/texx] interseca a [texx]A[/texx].

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

[texx] \bullet [/texx] Usaremos la convención de decir que [texx]U[/texx] es un entorno de [texx]x[/texx] como sinónimo de la frase [texx]U[/texx] es un conjunto abierto que contiene a [texx]x[/texx].

Hay textos que usan la palabra “entorno” para referirse a un conjunto arbitrario que contiene a algún abierto que a su vez contiene a [texx]x[/texx], y para el caso específico en que el “entorno” sea además un conjunto abierto, se usa la terminología “entorno abierto”.
Nosotros vamos a respetar el uso de Munkres de la palabra “entorno”, lo cual trae como consecuencia que todas las demostraciones involucran “entornos abiertos”.
En general se tiene la suerte de que las cosas no varían mucho entre un uso y otro del término. Así que esto no es mayor problema.
No obstante, aunque todos los “entornos” del Munkres serán “abiertos”, nosotros procuraremos recordarlo cada vez que aparezca la palabra “entorno”, poniendo la palabra “abierto” entre paréntesis. Puede ser pesado, pero…




[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 6. Sea [texx]X=\mathbb{R}[/texx]. Si [texx]A=(0,1][/texx] entonces [texx]\bar A=[0,1][/texx] (¿por qué?).
Si [texx]B=\{1/n|n\in\mathbb{Z}_+\}[/texx], entonces [texx]\bar B=\{0\}\cup B[/texx].
Si [texx]C=\{0\}\cup(1,2)[/texx] entonces [texx]\bar C=\{0\}\cup[1,2][/texx].
Si [texx]\mathbb{Q}[/texx] es el conjunto de los números racionales, entonces [texx]\bar{ \mathbb{Q}}=\mathbb{R}[/texx].
Si [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] es el conjunto de enteros positivos, entonces [texx]\bar{\mathbb{Z}}_+=\mathbb{Z}_+[/texx].
Si [texx]\mathbb{R}_+[/texx] es el conjunto de reales positivos, entonces la clausura de [texx]\mathbb{R}_+[/texx] es [texx]\mathbb{R}_+\cup\{0\}[/texx].


[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 7. Considere el subespacio [texx]Y=(0,1][/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx].
El conjunto [texx]A=(0,1/2)[/texx] es subconjunto de [texx]Y[/texx];
su clausura en [texx]\mathbb{R}[/texx] es [texx][0,1/2][/texx],
y su clausura en [texx]Y[/texx] es el conjunto [texx][0,1/2]\cap Y=(0,1/2][/texx].






Puntos límite

Consideremos cierto espacio topológico [texx]X[/texx].
Sea [texx]A[/texx] un conjunto en dicho espacio, y sea [texx]x[/texx] un punto cualquiera de [texx]X[/texx].
Decimos que [texx]x[/texx] es un punto límite (o punto de acumulación) de [texx]A[/texx] si [texx]x[/texx] pertenece a la clausura de [texx]A-\{x\}[/texx].
Puede que el punto [texx]x[/texx] esté o no en [texx]A[/texx].

Ejemplo 8. Consideremos en [texx]\mathbb{R}[/texx] el conjunto [texx]A=(0,1][/texx]. El punto [texx]0[/texx] es punto límite de [texx]A[/texx], y también lo es cada punto del intervalo [texx](0,1][/texx]. Ningún otro punto de [texx]\mathbb{R}[/texx] es punto límite de [texx]A[/texx].
Si [texx]B=\{1/n|n\in\mathbb{Z}_+\}[/texx], entonces 0 es el único punto límite de [texx]B[/texx]. (verificarlo).
Si [texx]C=\{0\}\cup(1,2)[/texx], los puntos límite de [texx]C[/texx] son los puntos del intervalo [texx][1,2][/texx].
Todo punto de [texx]\mathbb{R}[/texx] es punto límite de [texx]\mathbb{Q}[/texx].
Ningún punto de [texx]\mathbb{R}[/texx] es punto límite de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].
¿Cuáles son los puntos límite de [texx]\mathbb{R}_+[/texx]?.

[texx] \bullet [/texx] Teorema 6. Sea [texx]A[/texx] un subconjunto de un espacio topológico [texx]X[/texx]; sea [texx]A' [/texx] el conjunto de todos los puntos límite de [texx]A[/texx]. Entonces
[texx]\bar A=A\cup A'.[/texx]
Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

[texx] \bullet [/texx] Corolario 7. Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado sii contiene a todos sus puntos límite.

Demostración: Ejercicio.



Espacios de Hausdorff

En [texx]\mathbb{R}[/texx] o más aún en [texx]\mathbb{R}^n[/texx], todos los conjuntos formados por un solo punto [texx]\{x_0\}[/texx] son cerrados. (comprobarlo)

Sin embargo, en el conjunto [texx]X=\{a,b,c\}[/texx] con la topología [texx]\tau=\{\emptyset,X,\{a,b\},\{b\},\{b,c\}\}[/texx], tenemos por ejemplo que el conjunto [texx]\{b\}[/texx] no es cerrado porque su complemento [texx]\{a,c\}[/texx] no es abierto (o sea, no es un elemento de [texx]\tau[/texx]).

Los espacios topológicos cuyos puntos no son cerrados... son muy extraños matemáticamente, y se considera que tienen poca utilidad.
Sin embargo nunca se sabe si pueda surgir algún ejemplo interesante, y además, como tales espacios topológicos existen... hay que tenerlos en cuenta para no tropezar en las demostraciones con "creencias erróneas", o sea "hipótesis implícitas" o "inconcientes", tal como le ocurría a Euclides.

[texx] \bullet[/texx] Un espacio topológico [texx]X[/texx] tal que cada uno de sus puntos es un conjunto cerrado, se dice que satisface el axioma [texx]T_1[/texx].

-----------------

Por otro lado, puede que en un espacio topológico haya (sucesiones) (o redes) que converjan a más de un punto.

Recordemos que en [texx]\mathbb{R}[/texx] o en [texx]\mathbb{R}^n[/texx] una sucesión, cuando tiene la suerte de converger, lo hace hacia un solo punto,  Luego esto permite decir que la operación de tomar límites está bien definida, debido a que hay un solo valor posible como límite.

Pero debemos recordar que en espacios topológicos generales la convergencia podría comportarse de otro modo.
Esto también es extraño matemáticamente, y en general se procura evitar topologías con sucesiones o redes que converjan a más de un punto.

Los espacios topológicos que se comportan de modo "agradable" respecto a la convergencia son exactamente los llamados espacios de Hausdorff, los cuales definimos a continuación:

[texx] \bullet[/texx] Definición. Un espacio topológico [texx]X[/texx] se llama un espacio de Hausdorff si para cada par de puntos distintos [texx]x_1,x_2\in X[/texx], existen entornos [texx]U_1\ni x_1[/texx], [texx]U_2\ni x_2[/texx], que son disjuntos, o sea: [texx]U_1\cap U_2=\emptyset[/texx].

[texx] \bullet[/texx] Teorema 8. En un espacio de Hausdorff [texx]X[/texx], todo conjunto finito es cerrado.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


[texx] \bullet[/texx] Teorema 9. Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico que satisface el axioma [texx]T_1[/texx]; sea [texx]A[/texx] un subconjunto de [texx]X[/texx]. Entonces el punto [texx]x[/texx] es un punto límite de [texx]A[/texx] sii todo entorno de [texx]x[/texx] contiene infinitos puntos de [texx]A[/texx].

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


[texx] \bullet[/texx] Teorema 10. Si [texx]X[/texx] es un espacio de Hausdorff entonces toda sucesión de puntos en [texx]X[/texx] puede converger a lo sumo a un punto de [texx]X[/texx].

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

  • Teorema 11. Todo conjunto (totalmente) ordenado es un espacio de Hausdorff con la topología del orden.
    El producto (cartesiano) de dos espacios de Hausdorff es un espacio de Hausdorff.
    Un subespacio de Hausdorff es un espacio de Hausdorff.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)



En Topología General son importantes ciertas condiciones que nos dan espacios topológicos en los que pueden probarse Teoremas más fuertes que en el caso completamente general. En este sentido, nombremos los tipos de propiedades que comunmente se estudian:

  • Axiomas de Separación.
  • Axiomas de Numerabilidad.
  • Condiciones de Compacidad.
  • Condiciones de Conexión.

Los Axiomas [texx]T_1[/texx] y de Hausdorff son Axiomas de Separación. Hay varios más.
Todo esto se estudiará en las secciones que siguen.



Spoiler: Ejercicios Sección 17 (click para mostrar u ocultar)

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