Derivada de varios productos 5 * sin(5x) * sen(7x)

[marcosms]

Hola!

tengo un ejercicio que se resolver utilizando relaciones trigonométricas pero me he propuesto resolverlo por productos por si me atascase en un examen tener un plan B

voy a dar el ejercicio un poco avanzado por que lo que me interesa está aquí.

... 

mi duda: ¿como se deriva la parte superior llegado este punto?

muchas gracias por anticipado

[mathtruco]

Primero:

La igualdad no es cierta. Supongo que fue error de escritura, ¿o no?.


Como la indeterminación del límite es de la forma 0/0, una forma de resolverlo es usando la regla de L'hôpital, lo que implica derivar numerador y denominador (supongo que a eso te refieres).


Para derivar el denominador se necesita calma y buena letra:




el resto no debiera darte problemas.

[marcosms]

Ya pero...

ahí tengo esto:

hay una suma y un producto y a mí se me ocurre hacer +

ahora...=

y para derivar estoy sería 

pero no se aplicar esto al producto de 3 elementos 

no se si me estoy explicando bien...

[Jabato]

Creo que no es neceario aplicar L'Hopital, basta anular los sumandos infinitésimales de orden superior al primero que hay en el numerador y denominador y considerar luego que:
 

para llegar a que:

Saludos, Jabato.

[mathtruco]

Ya pero...

ahí tengo esto:

hay una suma y un producto y a mí se me ocurre hacer +

ahora...=

y para derivar estoy sería 

pero no se aplicar esto al producto de 3 elementos 

no se si me estoy explicando bien...

Te explicas bien, y vas bien.

Nota que las constante siempre "salen fuera" de las derivadas.

Así, si , entonces


.


Si tienes que derivar el producto de tres factores, entonces es cosa de usar paréntesis de manera adecuada:









y continuar con lo que sabes.

[marcosms]

Te explicas bien, y vas bien.

Nota que las constante siempre "salen fuera" de las derivadas.

Así, si , entonces


.

¡Totalmente comprendido! Sacando las constantes no tengo ningún problema

Si tienes que derivar el producto de tres factores, entonces es cosa de usar paréntesis de manera adecuada:








y continuar con lo que sabes.

esto para mi saco, si tienes tres elementos a multiplicar... agrupas dos de ellos y los manipulas como si fueran uno... 

Creo que no es neceario aplicar L'Hopital, basta anular los sumandos infinitésimales de orden superior al primero que hay en el numerador y denominador y considerar luego que:
 

para llegar a que:

Saludos, Jabato.

y esta parte definitivamente no la entiendo. Elimina directamente la parte izquierda de la suma 

¿por qué considerar que ?
¿por qué elimina del denominador?

[Dogod]

También:

= (factorizando):





Entonces como , nos queda:





Un saludo

[Teón]

Hola.

En general se tiene:



Saludos.

[Jabato]

La forma en que te ha eplicado mathruco te lleva a la solución, la forma en que te lo ha explicado Sabio24 también, pero la mía también es correcta. Debes conocer las propiedades de los infinitésimos para poder operar en esa forma. No siempre puede hacerse pero cuando se puede suele ser muy efectiva. Las propiedades que interesan al caso son:

1ª.- Si dos infinitésimos son de distinto orden, su suma es un infinitésimo equivalente al de menor orden.

2ª.- El seno y su arco son infinitésimos equivalentes.

Por la primera propiedad podemos cancelar los infinitésimos de segundo y tercer orden que estan sumando al numerador y al denominador ya que ambos son infinitésimos de primer orden:

Y por la segunda propiedad podemos rematar así:

Hoy en día el cálculo de límites mediante infinitésimos (en general todo lo relacionado con los infinitésimos) está bastante desconsiderado, a veces no se suele ni tan siquiera enseñar, casi se diría que está considerado como matemática obsoleta, pero resulta muy útil a menudo, y cuando es útil suele resultar muy efectivo, como en este caso. 

Saludos, Jabato.

[Dogod]

Hola marcosm:

cuando se aproxima a porque para valores pequeños de


Un saludo

[marcosms]

Hola de nuevo 

la forma que expone sabio24 me parece sencilla de comprender. pero también me interesan las otras formas.

Hola.

En general se tiene:



Saludos.

Esta forma no soy capaz de traducirla a lenguaje coloquial.

"La derivada del producto desde i=1 hasta n de una función i de x es igual al sumatorio desde i=1 hasta n de..." ya no se seguir, no se lo que quiere decir esto 

1ª.- Si dos infinitésimos son de distinto orden, su suma es un infinitésimo equivalente al de menor orden.

2ª.- El seno y su arco son infinitésimos equivalentes.

Por la primera propiedad podemos cancelar los infinitésimos de segundo y tercer orden que estan sumando al numerador y al denominador ya que ambos son infinitésimos de primer orden:

Y por la segunda propiedad podemos rematar así:

Acabo de mirar un poco por internet el tema de los infinitesimos y he visto lo de , comprendido.

en la primera propiedad no veo cual es el infinitésimo de menor grado, si para mí el grado de todos los elementos del numerador es 1. 

En el denominador si lo veo claro, el grado es el exponente del elemento del polinomio.

[Jabato]

No debes confundir el orden de un infinitésimo con el grado de un polinomio. Parece que como yo sospechaba eres uno a los que casi no se les ha hablado de los infinitésimos. Es algo complejo de explicar así en dos palabras pero si buscas por internet encontrarás algunos PDF aceptables que hablan de los infinitésimos y sus proipiedades con detalle. Creo que aesede va a proponer que en el curso que se va a dar, espero que se dé, de límites se hable de los infinitésimos, en general del cálculo infinitesimal (descubierto por Leibniz y Newton simultaneamente aunque las ideas fundamentales de dicho cálculo son mucho más antiguas, datan que yo sepa de la antigua Grecia), es una teoría interesante y resulta verdaderamente útil muchas veces. Si encuentro algún buen enlace que hable de ellos te lo aporto en este debate.

De momento éstos, aunque son bastante sencillos, y no estoy seguro de que no contengan algún error, te podrían valer:

Infinitésimos

Más infinitésimos

Saludos, Jabato.

[Teón]

Hola Marcosms.

Mi acotación fue a propósito de esta duda que has planteado:

y para derivar estoy sería 

pero no se aplicar esto al producto de 3 elementos 

no se si me estoy explicando bien...

Es decir que te cuesta derivar el producto de más de dos funciones.

veamos algunos ejemplos:


Estos ejemplos ilustran como puede hallarse la fórmula general.

Teniendo en cuenta que



Es fácil hallar por inducción, la fórmula que expuse en un post anterior.

Saludos.

[Jabato]

La idea que trata de explicarte Teón puede escribirse de una forma más sencilla, ya que no es fácil hacerlo, expresando que si es el producto de n funciones derivables, podemos establecer que:

ecuación que te permite obtener facilmente.

Saludos, Jabato.

[marcosms]

Acabo de ver los links de los infinitésimos y me suena de haber escuchado algo en clase, pero nada de una clase entera hablando de esto, sino casos sueltos. Por ejemplo con polinomios pero sin saber que estábamos usando infinitésimos, algo como... esto es así y ya está, si os encontráis este caso hacéis esto... 

cuando consiga algo de tiempo le voy a echar un vistazo, porque me parece algo interesante.

¡¡ Muchísimas gracias a todos !!