Ecuación. Números Complejos.

[luchoferronir]

Hola, dado que mi tiempo de ocio ha crecido mucho, por lo general aboco mi tiempo a leer e intentar resolver problemas de matemática. Ayer, leyendo un libro, encontré esta ecuación:



Deduzco que las soluciones (en caso de haberlas) deben ser inexorablemente complejas, dado que los grafos de ambas funciones no se tocan en ningún punto.

Aquí comencé un camino:

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De aquí, igualando partes reales e imaginarias, se desprenden dos ecuaciones:



Si alguien quiere seguirlo, adelante pues. Creo que las soluciones deben ser obtenidas por iteración, dado que es un sistema de ecuaciones trascendentes.

Saludos

[Jabato]

Del cociente de ambas ecuaciones deducimos:

valor que substituido en la segunda nos conduce a:

y como

la ecuación final puede escribirse como:

aunque no parece fácil seguir mucho más allá sin usar métodos aproximados.

Saludos, Jabato.

[luchoferronir]

O yo estoy confundido, o la identidad que surge del cociente de ambas ecuaciones no es sino

[Jabato]

Pues sinceramente, creo que estás confundido, y además no es una identidad lo que surge sino una igualdad que solo se satisface para algunos valores de a y b:

Saludos, Jabato.

[luchoferronir]

En efecto, tuve un pequeño desliz. Memoricé mal una identidad. En cualquier caso, no veo otro camino más que la iteración.

Saludos

[Jabato]

No, creo que no lo hay, es una ecuación muy complicada. Creo que no es resoluble por métodos algebraicos.

Saludos, Jabato.

[luchoferronir]

A través del método iterativo pude hallar esta solución:

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Saludos.

PD: Me huele a que hay otra solución más, pero es demasiado trabajoso. Si alguien tiene un método más rápido, que intente encontrarla.

[Teón]

Hola

Si tomamos la función W de Lambert*
donde


Se tiene



*En realidad W, es una función multivaluada.

Algunos de los valores aproximados para , son



Saludos.

[luchoferronir]

El famoso "Producto Log", pero, disculpa mi ignorancia, ¿cómo se calcula el "Producto Log" (O función W) de un número, manualmente?

[el_manco]

Hola

 No se puede calcular manualmente (1); hace falta hacerlo computacionalmente por métodos numéricos.

Saludos.


(1) Bueno, poder si se puede. Todo lo que hace el ordenador lo puede hacer uno. Pero claro está sería una labor faraónica: las operaciones que el ordenador hace en un segundo nos llevan horas a nosotros.

[Teón]

Hola.
Como bien dice El_Manco, la función W de Lambert, se halla con métodos numéricos, con los cuales se implementan programas de computadora.
Las ventajas de llevar el problema que has planteado, a la función W, es que esta función sirve para resolver muchos problemas similares y una vez implementada, no es necesario hacer un programa específico para cada problema particular.
Por otro lado, al ser una función conocida, abunda el material sobre su estudio, implementación, etc.

Saludos.

[Teón]

Hola.

Aquí hay una ecuación recurrente, bastante rápida para hallar w.



En nuestro caso particular

deberá ser un valor inicial, aproximado para la rama que nos interese.

Saludos.