Sea
el número de personas mínimo. Sea
el dinero que recibe la primera persona.
1) La forma más rápida de repartir el dinero sería siempre aumentar uno. En ese caso el total de dinero repartido será (suma de una progresión aritmética):
Haciendo
, vemos que:
- Si
, entonces
.
- Si
, entonces
.
- Si
, entonces
.
Pero si
sumamos seis pares y seis impares, luego la suma daría par y no puede dar 99. Por tanto nuestra cota inferior es
.
2) El siguiente paso es tratar de hacerlo exactamente para
personas. De lo visto antes
. Además si
sumaríamos
impares y seis impares. Nos da par y no puede ser
.
Por tanto
. Si sumásemos siempre uno la suma sería:
Nos pasamos en
monedas. Ahora pasar de sumar uno a restar uno, en la persona
-esima con
supone restar al total
.
Por tanto, si queremos conseguirlo con la resta de uno para
personas, tiene que cumplirse para
distintos,
:
de donde
Pero como han de ser distintos y acotados entre
y
:
y de ahí deducimos que
. Entonces:
i) si queremos conseguir al
con sólo una resta de uno para una persona, tiene que cumplirse:
de donde
.
ii) si queremos conseguirlo con la resta de uno para dos personas, tiene que cumplirse para
,
:
de donde
y las posibilidades son
.
iii) si queremos conseguirlo con la resta de uno para tres personas, tiene que cumplirse para
distintos,
:
de donde
y las posibilidades son
.
Conlcusión: el número mínimo son
personas y hay ocho formas de hacerlo.
