Ecuación de Grado Pi

[luchoferronir]

Hola,

Hace unos instantes, me senté a hacer una ecuación de grado 5. Hallé las 5 raíces de la ecuación, y sin darme cuenta, quizá inconscientemente escribí esto:




Creo que se cae de maduro mencionar que sé que cualquier ecuación, según el teorema fundamental del álgebra, tiene tantas soluciones como sea el valor del máximo exponente. Como es el caso de la ecuación quíntica que mencioné.

Una cuadrática, por ejemplo, tiene 2 soluciones... Pero, ¿qué sucede con esa ecuación que puse allí?
¿Cuántas soluciones debería de tener?.
Es una ecuación de grado .

Agradecería una explicación.

Saludos.

PD: Si la pregunta que estoy haciendo es bastante trivial, sepan apreciar que recién tengo 16 años, y tal vez no esté al nivel de todos ustedes.

[aesede]

Hola.

Interesante ecuación

El teorema fundamental del álgebra establece que "todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces, no necesariamente iguales".

A su vez, se denomina polinomio a: "toda expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales".

Así que el teorema fundamental del álgebra no es aplicable a tu ecuación que no es un polinomio porque tiene exponentes reales y no naturales.

Saludos.

[luchoferronir]

Entiendo perfectamente lo que expones.
¿Pero una ecuación cuyo máximo exponente es , tampoco cumple con el Teorema Fundamental?

Entiéndase que:



Tampoco lo cumple (por citar un ejemplo).

En cualquier caso, ¿Cuántas soluciones debería tener la ecuación colocada inicialmente?

[escarabajo]

Creo que, se cae de maduro mencionar que sé que cualquier ecuación, según el teorema fundamental del álgebra, tiene tantas soluciones como sea el valor del máximo exponente.

mmm...¿seguro? ¿Cuántas soluciones reales dirías que tiene

?

¿qué sucede con esa ecuación que puse allí?
¿Cuántas soluciones debería de tener?.
Es una ecuación de grado .

Hasta donde yo sé, dado que mis conocimientos matemáticos son infinitesimales, no se puede dar un número determinado de soluciones posibles de esa ecuación. Quizas justo es una ecuación mmmmuy conocida y estudiada, y si puede darse. Algún entendido nos los dirá.

En principio esa ecuación se puede tratar estudiando cualitativamente la función , mediante sus derivadas. Bosquejandola.
Así se podría determinar cúantas soluciones pueden haber, o descartarlas.

Por ejemplo, es sábido que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. Decis que tenes 16 años así que no sé si los conceptos que menciono por aquí se entenderán....pero, quizas te dé una idea de a que me refiero con analizar cualitativamente una función.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Sea

Con n impar, y a>0.





El polinomio toma valores opuestos en los extremos de la recta real, y por ser continuo para todo x, en algún momento necesariamente corta el eje x.

Pero no se puede afirmar si hay más raices.

Y para determinarlas, habría que utilizar algún método que permita aproximar la raíz con un margen de error que se considere aceptable.

Saludos.

[aesede]

Entiendo perfectamente lo que expones.
¿Pero una ecuación cuyo máximo exponente es , tampoco cumple con el Teorema Fundamental?

Entiéndase que:



Tampoco lo cumple (por citar un ejemplo).

En cualquier caso, ¿Cuántas soluciones debería tener la ecuación colocada inicialmente?

No, porque el exponente es racional y no natural.

A esta ecuación:



la podés resolver con el cambio , con lo que queda una ecuación de segundo grado.

Con respecto a la cantidad de soluciones, sinceramente no sé si es posible determinar cuántas soluciones tiene una ecuación similar a la que posteaste al principio con algún teorema ó método general.

Saludos

[luchoferronir]

Quimey: con respecto a tu primera pregunta:



Ambas soluciones son imaginarias. En el mensaje que citaste de mi autoría, dice claramente "soluciones", no "soluciones reales", por lo que, en definitiva, creo que se cumple lo que en él enuncio.
Con respecto a mi edad, considero que es lo de menos, porque con un poco de predisposición y ganas de entender lo que aquí se plantea, imagino que la dificultad es nula.

Saludos

[luchoferronir]

Aesede, entiendo a la perfección lo del cambio de variable. Ahora bien.
Imaginemos esta ecuación:



También allí se puede hacer un cambio de variable.



Y reemplazando, obtendría algo así:



Cuyas soluciones son fáciles de obtener, para después reemplazar por .
Y no considero que, al fin y al cabo, sea una tarea fácil encontrar las raíces de la ecuación.

[escarabajo]

En el mensaje que citaste de mi autoría, dice claramente "soluciones", no "soluciones reales", por lo que, en definitiva, creo que se cumple lo que en él enuncio.

Correcto. Se cumple si.
No quise hablar de soluciones complejas, porque dudé si eran conceptos que manejabas. Uno intenta no complicar a veces, y empieza por lo más simple, que en principio, son las soluciones reales de una ecuación. En mis estudiso, recién supe de complejos al ingresar a facultad, con 18 años.

Con respecto a mi edad, considero que es lo de menos, porque con un poco de predisposición y ganas de entender lo que aquí se plantea, imagino que la dificultad es nula.

Claro que si, sin dudas.

Saludos.

[aesede]

Ese tipo de ecuaciones son fáciles para resolver por el hecho que se puede aplicar un cambio de variable sencillo que nos llevan a algo que sí sabemos cómo resolver. Fijate que, en los dos casos, los exponentes de los polinomios son múltiplos entre sí. Ésto es lo que las hace un tanto "especiales" y nos facilita la resolución.

Pero afirmar la cantidad de soluciones para algo más general, de exponentes que no son múltiplos entre sí, como , no creo que sea tarea fácil.

No sé si es ésto, ó a dónde querías llegar.

Saludos.

[luchoferronir]

En efecto, mi pregunta es ésa.

¿Cuántas soluciones ha de tener esa ecuación?
No preciso cuáles, sino más bien cuántas.

Fuera de tema, ¡Una ecuación bellísima!

[topo23]

Me gustaria que alguien me corrija si estoy equivocado, pero no conozco una regla general que te de la cantidad de soluciones de una expresion arbitraria.

Si la expresion es un "polinomio" con exponentes no naturales, lo mejor que se puede hacer es buscar alguna sustitucion que lo transforme en un polinomio con exponentes naturales.

Por ejemplo veamos la expresion . Sabemos que tiene por lo menos una solucion . Del mismo modo , tiene por lo menos 2 soluciones y . Retorciendo un poco mas el ejemplo cuantas soluciones tendria ?.

[el_manco]

Hola

 El ejemplo que pones topo23:

 

 es muy ilustrativo. En realidad tiene infinitas soluciones:

  con

 En general es fácil ver que la ecuación:

 

 tiene infinitas soluciones si y sólo si es irracional.

 En general, hay diversos teoremas de análisis complejo que versan sobre el número de ceros de una función holomorfa. Tendría que revisarlos con calma.

Saludos.

CORREGIDO (gracias topo23)