Hola david_1988,
tus resultados son directo de las definiciones. Apuesto a que nisiquiera has intentado mirar las definiciones.
Supongo que sabes que si un operador es lineal, entonces es continuo si y sólo si es acotado.
Claramente el operador identidad
es lineal, y además,
, es decir, existe una constante
tal que
por tanto es continuo.
Para tu segunda pregunta, lo mismo. Claramente es lineal y acotado. De hecho cualquier constante positiva (por ejemplo C=1>0) se cumple que
por tanto es continuo,
y usando la definición de norma en el dual:
