Ejercicio de conjuntos conexos

[francis20]

Probar que si , con X conexo, entonces X es un conjunto unitario.
Gracias

[el_manco]

Hola

 Supongamos que tiene dos elementos e , entonces ambos puntos tienen alguna coordenada distinta . Supongamos . Sea un número irracional tal que:



 Comprueba que:




 es una separación por abiertos de , contradiciendo el hecho de que éste es conexo.

Saludos.

[francis20]

Hola el_manco muchas gracias, si llegué a lo mismo que dices con el U y V, pero tengo problemas al probar que son abiertos en X, gracias

[el_manco]

Hola

 Considera la función:





 Como tiene la topología restringida de la usual de y ésta a su vez la topología restringida de la usual de , tu función es continua por ser resticción de la función:





 que es claramente continua.

 Ahora comprueba que:



 y por tanto es abierto por ser la imagen inversa de un abierto por una función continua.

Saludos.