Supremo e Ínfimo del conjunto.

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Unlimited:
Tengo una duda en el siguiente problema:

Hallar el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos.





Para A: La función sen x es una función continua en todo R.
En particular es continua en el intervalo dado que es cerrado y acotado, luego por el teorema de Weierstrass la función alcanza el máximo y el mínimo que serán coincidentes con el supremo e ínfimo.
Por tanto:

=

=

Para B: La función asociada es continua en todo R+ (reales positivos).
Luego es continua en [1,3] que al ser compacto, hace que se alcance el supremo e ínfimo que son el máximo y el mínimo de los valores que toma la función.
En cuanto al supremo de los valores, el estudio de la derivada nos determina un máximo que se tiene en el punto e y vale 1/e.

Además en x=1, la función corta al eje horizontal, y a partir de ahí sólo toma valores positivos, luego el inf(B)=0

¿Qué se obtendría para los mismos intervalos pero abiertos (sin tomar los extremos)?.

Braguildur:
Hola.

 En (A) tenemos lo mismo porque como sabemos para todo y y con . Nota que no es necesario invocar al teorema de Weierstrass para este análisis.

 En (B) lo único que varía es que el ínfimo ya no es mínimo, esto se sigue del análisis que hiciste en y de la continuidad de la función definida por , pues tenemos que para todo y para cualquier existe tal que .

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos.

Unlimited:
Muchas gracias Braguildur.

Estoy un poco atascado en un problema que dice así.
Sea obtener razonadamente

Mi idea es obtener el supremo, para conocer la expresión de sucesión númerica de la cual tengo que obtener el límite.
Para ello hallo los extremos de la sucesión de funciones dada y de ahí obtengo un único punto crítico para cada n que es el punto que está obviamente dentro del intervalo dado para la obtención del supremo.

No sé muy bien como seguir. Esto es lo que hago.
El valor de la función en tal punto crítico es y si resuelvo el límite dado, como ambos términos convergen, la diferencia también, y lo hace a la diferencia de los límites y ambos tienen el mismo valor, que es .
Claramente el límite vale 0.

Todo eso lo hago (no sé si bien o mal), ese es el problema, ¿cómo justifico que ese extremo es el supremo? (podría con la segunda derivada viendo que se alcanza un máximo y además es el único que tiene) pero ¿hay caminos más cortos y sencillos para resolver este tipo de ejercicio?.


el_manco:
Hola

 A mi me parece bien el camino que has seguido. Y la segunda derivada te sirve para probar que el punto crítico es un máximo.

Saludos.

Unlimited:
Muchas gracias por confirmármelo el_manco. Saludos.

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