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Autor Tema: Centros en triángulo  (Leído 3288 veces)
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Fermat777
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« : 05/04/2006, 12:30:57 pm »

  Desearía saber si existe alguna expresión más o menos cómoda / manejable

    para  determinar  ( en un triángulo ) :

      a ) Coordenadas del ORTOCENTRO       

      b )       "     "          INCENTRO

      c )     "        "        CIRCUNCENTRO

      d)      "        "    de los tres EXINCENTROS

      En función de las coordenadas ( X_i , Y_i ) de los vértices ( i = 1,..3 )

   
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« Respuesta #1 : 05/04/2006, 16:07:07 pm »

Existir está claro que existen...y si no, siempre puedes inventarlas tu a partir de las definiciones de cada uno de esos puntos del triángulo.
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incógnita_j
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« Respuesta #2 : 05/04/2006, 17:09:06 pm »

Para completar te faltaría el isobaricentro, que, para mí, es el punto más cómodo de todos.

Basta aplicar en cada caso la definición:
a) Intersección de las alturas (hay otra definición respecto del centro del círculo circunscrito mpero no me acuerdo, se llama relación de Euler creo)
b) Ecuidistante de los tres lados.
c) Ecuidistante de los tres vértices.
d) No tengo ni idea que puntos son esos jaja.
e) SUma vectoria [texx]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0[/texx]
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« Respuesta #3 : 05/04/2006, 18:46:17 pm »

Hola incógnita_j

Con respecto a los exincentros:
Si pronlongas los lados del triángulo de partida, la región exterior al triángulo queda dividida en 6 partes, 3 de ellas están limitadas por 2 de las prolongaciones y las otras 3 lo están por dos prolongaciones y un lado. En estas úntimas existe una única circunferencia tangente a los tres lados que la limitan. El centro de esa circunferencia es uno de los exincentros.

Si no he sido claro puedo subir un dibujo...

Saludos.
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« Respuesta #4 : 05/04/2006, 18:55:11 pm »

No hace falta, creo que te he entendido, lo único que nunca había pensado que estos centros pudiesen estar definidos, pero ahora que he hecho unos dibujos, parece que sí...
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« Respuesta #5 : 05/04/2006, 19:45:10 pm »

Quizás Fermat777 estás dando por sobreentendido el sistema de referencia que estás usando. NO es que la quiera complicar, pero, por ejemplo, si consideras el plano complejo de Gauss, y la cfa. circunscripta la tomas de radio 1 (no hay pérdida de generalidad), entonces el complejo [texx]z_1+z_2+z_3[/texx] tiene afijo el ortocentro del triángulo [texx]Z_1Z_2Z_3[/texx]. ¿Cuáles son las del circuncentro? ¿Las del baricentro?
En el sistema de referencia cartesiano ortogonal, el baricentro tiene bonitas coordenadas también (¿cuáles?). En coordenadas baricéntricas muchas veces también se simplifican las cosas; al respecto, hay una página en Internet que se dedica a clasificar los puntos y rectas notables del triángulo (hay nomenclatura especial para ellos, etc.).
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« Respuesta #6 : 05/04/2006, 20:04:23 pm »

¿Qué demonios son las coordenadas baricéntricas?
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« Respuesta #7 : 05/04/2006, 20:29:02 pm »

Hay un artículo muy lindo, de Paul Yui, llamado "The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry". Búscalo que está en Internet y después cuentas qué te pareció.

Sobre el centro de triángulos: http://faculty.evansville.edu/ck6/

El Foro con los papers que dirige Paul es: http://forumgeom.fau.edu/
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« Respuesta #8 : 06/04/2006, 07:21:56 am »

Para incógnita: la relación de Euler es [texx]\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}[/texx] que puede probarse sintéticamente o analíticamente. Piensa si ésto tiene algo que ver con mi primer post.
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« Respuesta #9 : 06/04/2006, 07:27:43 am »

 Con respecto a la respuestas a mi cuestion  planteada , sobre las coordenadas de algunos puntos notables ( Ortocentro , Incentro, etc.. ) ,  de un triangulo equilatero  en  funcion de las coord. de sus vertices , preciso un poco mas :

   a ) Hablamos del plano real bidimensional cartesiano .

   b ) Por medio d las coordenadas trilineales , el problema es de facil solucion , y las expresiones analiticas de los centros pedidos , son elegantes y de comodo manejo. AHORA BIEN :

    ¿Cuáles son y como se obtienen las expressiones de CAMBIO de  COORDENADAS de Trilineales a Cartesianas y viceversa.

   En las Referencias de KIMBERLEY , se presupone conocidas estas expresiones

   Tampoco se  explica como se llega a determinar las coord. de los centros
   pedidos , en funcion de las coord. trilineales de los vertices del triangulo
   dado.
 
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