Hola
En primer lugar nota que la sucesión:
que estás definiendo recursivamente como:
tiene por término general:
Fíjate que eso nos permite factorizar
(excepto para
) en al menos dos factores.
Las opciones para que uno de ellos sea un primo
son:
i)
y el otro factor
ii)
y el otro factor
iii)
y el otro factor
.
iv)
y el otro factor
.
De ahí es inmediato y nada excepcional que en la sucesión aparezcan como factores todos los primos: por ejemplo en el término
aparece como factor el primo
(eso lo cumplen cientos de sucesiones, por ejemplo la más trivial
).
Pero lo que afirmas
, es más, es que dado un primo
siempre existe un término de la sucesión de manera que
con
primo también.
Eso equivale a afirmar, teniendo en cuenta los cuatro casos posibles, que si
es primo entonces al menos uno de estos cuatro números también es primo:
El primer primo para el cuál eso no se cumple es
Luego la propiedad no es cierta.
Saludos.
En tu nota 2 dices que "en la mayoría de los casos el segundo múltiplo (deberías decir divisor) es primo". Yo he supuesto que afirmabas que SIEMPRE es primo, en otro caso toda la discusión no tiene sentido. Si permitimos factorizaciones en un primo por un compuesto, no es cierto como dices que el "primero de ellos " sea
.
El primero es:
ó
y luego
ó
en fin...
