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Autor Tema: Demostración de inecuaciones  (Leído 1623 veces)
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« : 15/10/2009, 06:17:52 pm »

Hola, seria genial si me pudieran ayudar lo antes posible  :cara_de_queso:

1.- Si a, b, c son números reales, demostrar a²+b²+c² ≥ ab+bc+ac

2.- Si a, b, c y d son número reales, a²+b²=1 y c²+d²=1, demostrar ac+bd ≤ 1

3.- Si a y b son números reales positivos, demostrar a³+b³ ≥ a²b+ab²

4.- Si x e y son números reales, x<1<y, demostrar 1+xy < x+y

eso es, de antemano gracias
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Jorge klan
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« Respuesta #1 : 16/10/2009, 01:34:18 am »

Hola

Para el 1 debes notar que

[texx](a-b)^2^\geq 0[/texx]
[texx](a-c)^2^\geq 0[/texx]
[texx](b-c)^2^\geq 0[/texx]

es decir

[texx]a^2+b^2^\geq 2ab[/texx]
[texx]a^2+c^2^\geq 2ac[/texx]
[texx]b^2+c^2^\geq 2bc[/texx]

suma y concluye

Para el 2. nota que

[texx]a^2+c^2^\geq 2ac[/texx]
[texx]b^2+d^2 \geq 2bd[/texx]

suma, utiliza la hipótesis y concluye...

Para el 3. nota que

[texx]\begin{array}{rcl}(a-b)^2(a+b)&\geq& 0\\
(a-b)(a-b)(a+b)&\geq& 0\\
(a-b)(a^2-b^2)&\geq& 0\\
a^2(a-b)-b^2(a-b)&\geq& 0\\
a^3-a^2b-ab^2+b^3&\geq& 0\end{array}[/texx]

Solo falta finiquitarlo...

Para el 4. Como [texx]1<y[/texx] entonces [texx]y-1>0[/texx], luego

[texx]x<1\quad /\cdot (y-1)[/texx]
[texx]x(y-1)<y-1[/texx]

Ahora solo falta concluir...

Espero esté a tiempo

Saludos


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