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cin.a
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« : 22/09/2009, 11:41:16 am »

HOLA!! NECESITO UNA AYUDITA EN ESTO. GRACIAS  :guiño:



1) Definida   [texx]f(x)=\left \{ \begin{matrix} e^{-1/x^2} &\mbox{ si }& x\neq{0}\\
\\ 0 &\mbox{ si }& x=0\end{matrix}\right.[/texx]

Demostrar que [texx]f[/texx] tiene derivadas de todos los órdenes en x = 0, y que [texx]f^{(n)}(0)=0,[/texx] para n=1,2,3,...



2) Demostrar las siguientes expresiones sobre límites:

a) [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{b^x - 1}{x}}=\log b \quad (b>0).[/texx]

b) [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{\log (1 + x)}{x}}=1.[/texx]

c) [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{(1 + x)^{1/x}}=e.[/texx]

d) [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{ \left({1+\frac{x}{n}}\right)^{n}}=e^x.[/texx]



3) Suponer [texx]f(x)f(y)=f(x + y)[/texx] para todo x e y reales.

a) Admitiendo que [texx]f[/texx] es diferenciable y no nula, probar que

                                [texx]f(x)=e^{cx}[/texx]
siendo c una constante.

b) Demostrar lo mismo, suponiendo solamente que [texx]f[/texx] es continua.


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 23/09/2009, 04:48:38 am »

Hola

 1) Prueba por inducción que la derivada de [texx]f(x)=e^{-x^{-2}}[/texx] fuera del cero es siempre de la forma:

[texx] f^{n)}(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{3n}{}a_{in}e^{-x^{-2}}x^{-i}[/texx]  (i)

 Luego calcula la derivada en cero por definición. Basta calcular el límite:

[texx] \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f^{n)}(x)-0}{x-0}[/texx]

 Teniendo en cuenta la expresión (i) es fácil ver que tal límite es cero.

 2) Habría que saber que puedes usar: ¿L'Hopital, Infinitésimos equivalentes, Taylor, Límites notables, la definición de límite,...?.

 3) No es exactamente lo que te piden, pero después de leer y entender esto no deberías de tener problema en resolver el ejercicio:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=9571.0

Saludos.
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