Pasar integral doble de coordenadas rectangulares a polares

[Exdo]

Hola, tengo esta integral en coordenadas rectangulares


y la tengo que pasar a coordenadas polares, pero no sé cómo meterle mano a la segunda parte,
sé que la región R es una cosa así



Pero no sé cómo pasar esa región a coordenadas polares, llevo toda una tarde pero no caigo, ¿me podriais ayudar?

Gracias
Un saludo

[Dual]

Hola

Aquí el truco es primero modificar la integral, y eso lo haremos para aplicar directamente el cambio de coordenadas a polares.

En la integral externa, hacemos (esto es lo mismo que hacer y luego volver a ) y así tu integral doble queda Haz ahora el cambio a coordenadas polares, supongo que ya sabes cómo termina el cuento.

[juanxo]

Tengo problemas con exactamente la misma integral, en la universidad me dieron la integral resuelta y no tiene nada que ver con lo que me sale ami de resolverla.
Os cuelgo aqui la resolucion que a mi me entregaron, no entiendo como toma esos limites de integracion..

[Carlos Ivorra]

Os cuelgo aqui la resolucion que a mi me entregaron, no entiendo como toma esos limites de integracion..

juanxo:

Lee aquí las normas del foro para subir imágenes y corrige tu mensaje, por favor:

http://rinconmatematico.com.ar/foros/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

[juanxo]

Os cuelgo aqui la resolucion que a mi me entregaron, no entiendo como toma esos limites de integracion..

juanxo:

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http://rinconmatematico.com.ar/foros/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

Ups lo siento, ya esta solucionado

[Carlos Ivorra]

Ha hecho un cambio a coordenadas polares. Fijado un ángulo , el punto que se encuentra en la curva que limita la región de integración, es decir, que cumple cumple también que

,

luego y, como , de hecho . Así pues, en coordenadas polares, los puntos de la curva se recorren cuando varía entre y y, para cada ángulo , el módulo puede variar entre y .

[juanxo]

Muchas gracias, pero lo que no entiendo es porque varía entre y y no entre y

[Fernando Revilla]

Muchas gracias, pero lo que no entiendo es porque varía entre y y no entre y

Idea intuitiva: sitúa un lápiz que pase por los puntos y . Deja fijo el extremo que está en y mueve el lápiz hasta que coincida con el eje . Te darás cuenta inmediatamente.

[juanxo]

Alguno me hace una respuesta coherente?
Vamos a ver si representas los limites de integración te da una semicircunferencia cortada por el eje OX, que su radio vale 1 y tiene el centro en (1,0)
Por lo cual no veo para nada que el angulo máximo sea 90 pues es un semicircunferencia y sera 180, y menos aun que el radio sea ese, pues la ecuación te da como radio 1

[Carlos Ivorra]

Alguno me hace una respuesta coherente?

La respuesta que te ha dado Fernando es totalmente coherente.

Vamos a ver si representas los limites de integración te da una semicircunferencia cortada por el eje OX, que su radio vale 1 y tiene el centro en (1,0)
Por lo cual no veo para nada que el angulo máximo sea 90 pues es un semicircunferencia y sera 180, y menos aun que el radio sea ese, pues la ecuación te da como radio 1

No. Si representas la curva te sale la figura dibujada en el primer post, como te he demostrado antes. Tu pregunta es, aceptando esto, ya demostrado, por qué los límites de integración son , y si sigues el consejo de Fernando lo verás. Para tienes el lápiz con el extremo en . Ahora ve moviendo el lápiz y mira cuánto has de girarlo para llegar al .