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Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos  (Leído 66510 veces)
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pierrot
pabloN
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« Respuesta #100 : 09/02/2013, 11:57:11 pm »

Pero fíjate que lo que cuestiono es que haya "algo concreto" "fijo". No digo que el concepto de "número real" esté vacío fuera de la definición formal. Sólo digo que la idea en que se basa la definición formal no es suficiente para concretar si una definición formal u otra es la que "realmente" se corresponde con esa idea previa, sino que dentro de esa idea previa caben varias formalizaciones alternativas.

Ya entiendo.

Sí, pero esa idea se puede desarrollar de varias formas distintas. También podemos ir en sentido contrario: hasta cierto punto, el conjunto de los números racionales (o, mejor, de los números reales algebraicos) también se corresponde con esa idea de "puntos de una recta". Tú dirás que ahí faltan puntos, pero Kronecker te diría que no falta ninguno, y todo a partir de la misma idea de "puntos de una recta".

Ciertamente, diría que la recta no está completa. Tiene "agujeros". Y la concepción intuitiva que uno tiene de una recta es la de una línea continua, que no se interrumpe. No entiendo (o mejor dicho no me imagino) cómo Kronecker podría argumentar que no faltan puntos (aclaro que no sé nada de análisis no estándar).
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feriva
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« Respuesta #101 : 10/02/2013, 12:36:25 am »

Pero también se puede entender que incluyendo los irracionales existen agujeros; porque si decimos que los reales cubren todo la recta de forma continua, entendiendo que ya están todos metidos, entonces no cabe nada entre dos puntos, y si no cabe nada, existe mínimo, porque si no existiese, cabría siempre un punto entre otros dos puntos... luego si existe mínimo no son irracionales... todo es según se vea.
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Capitan Trueno
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« Respuesta #102 : 10/02/2013, 12:50:23 am »

De hecho la mejor definición de número irracional (o la única si me apuráis) es la de no ser racional, que viene a completar la "recta racional" con todo lo que aparentemente le falta, y que es por lo tanto lo mismo que "tapar" los "agujeros" de la recta real, concepto que es fácilmente identificable con el concepto geométrico de recta. Así pues el descubrimiento de los números reales seguía una intuición geométrica muy clara.

Pensemos en el caso de los complejos. Históricamente fueron formalizados por Gauss, que nació en 1777, pero Euler que murió en 1783 ya escribió cosas como ésta:


[texx]e^{ix}=Cos(x)+iSen(x)[/texx]


o por ejemplo la fórmula de Moivre (De Moivre murió en 1754):


[texx]\left(Cos x+iSen x\right)^n=Cos\left(nx\right)+iSen\left(nx\right)[/texx]


Es claro que Gauss tenía una idea preconcebida de lo que eran los números complejos cuando los formalizó, claramente sabía lo que estaba buscando.

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« Respuesta #103 : 10/02/2013, 09:55:16 am »

En mi opinión, los huecos que puedan dejar los puntos son relativos siempre a cuestiones geométricas, separar los números de la geometría puede hacernos ver muchas “paradojas” en las que parece que no podemos decidir.

  Pongo un dibujo para explicarme.



Si tomamos aisladamente el segmento blanco del dibujo de arriba podemos elegir que tenga los puntos que sea y que no quepan más puntos entre ellos; con un mínimo, por tanto. Pero si ahora consideramos la proyección de la longitud —no digamos puntos todavía— del segmento amarillo sobre el blanco, resulta que, si no quedan huecos, no podemos meter toda esa longitud del segmento amarillo en el blanco.
Si una vez metidos todos los puntos del segmento amarillo en el blanco, pensamos que ya no quedan huecos, vayamos al dibujo de más abajo; y ocurre que sí que tiene que quedar huecos porque, si no, no podemos proyectar la totalidad de los puntos de ese nuevo segmento amarillo, más largo que el anterior.

 Como siempre podemos considerar, sin terminar nunca, un segmento amarillo más largo, resulta que siempre tendrán que existir esos huecos teóricos para poder proyectar los puntos del segmento que se nos pueda ocurrir; porque en todo caso se nos puede ocurrir uno más largo, no tiene límite.

 Esto es lo mismo que decir que no podemos tomar ninguna unidad mínima con valor, no existe una unidad universal que sirva para todas esas proyecciones, pero sí podemos tomar unidades restringidas a los casos que consideremos; ahora bien, en esos casos estamos hablando siempre de racionales, los irracionales son los que están esperando nuevas consideraciones por parte del pensador, los que llaman por teléfono para reservar esas plazas, esos huecos; pero cuando llegan y las ocupan en la cabeza del matemático, se convierten en racionales inmediatamente.   

* proyecciones.jpg (16.57 KB - descargado 580 veces.)
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« Respuesta #104 : 10/02/2013, 01:40:54 pm »

No entiendo de que estan hablando, jeje.

Los Q se llaman racionales porque son la razon entre dos enteros. He podido leer en alguna parte que se los llamaba de ese modo porque eran aceptables por la razon humana. Pero estos juegos de palabras no tienen importancia.

El hueco que llenan los irracionales son los puntos respecto el continuo, o sea, una recta euclidiana. Usando solamente razones enteras de un segmento unidad no es posible obtener todos los puntos de la recta.

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« Respuesta #105 : 10/02/2013, 02:02:06 pm »

La pregunta clave es: ¿qué cosa son los números?


Pienso que el debate debiera girar en torno a ese punto. A todos nos han inculcado diversas creencias a lo largo de la vida. Con el mero ejercicio de ponerme a escribir este hilo hube de culminar desechando muchas de esas creencias.

Y no se imaginan lo complicado que es intentar armar frases sin acentos, por estar escribiendo desde el celular.
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« Respuesta #106 : 10/02/2013, 02:44:32 pm »

Es que quizás se debiera distinguir entre diversas cuestiones que afectan a los números:

1ª).- ¿Qué son?

2ª).- ¿Como se construyen?

3ª).- ¿Para qué sirven?

y no debiera confundirse una con otra cosa. Por ejemplo este debate se inició hablando de como se construyen pero la forma como se construyen no tiene, al parecer, demasiada relación con qué cosa sean o cual sea su utilidad de igual forma que las tres mismas preguntas aplicadas a un colchón por ejemplo nos darían tres respuestas muy distintas. Quizás sea conveniente no mezclar las tres preguntas si queremos llegar a buen puerto.

El como se construyen no parece que tenga demasiados misterios, está en los libros para quien quiera consultarlos. El qué son y para qué sirven es otra historia, son preguntas algo más complejas de contestar y que dan mucho más de si para un debate como éste.

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« Respuesta #107 : 10/02/2013, 02:58:46 pm »

Todas esas cuestiones son parte del mismo tema. Y bueno, intentemos mantenerlas separadas a esas preguntas.
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« Respuesta #108 : 10/02/2013, 03:09:37 pm »

Yo diría al respecto del concepto intuitivo de número que nuestra mente lo desarrolla de forma automática cuando compara magnitudes digamos ... físicas. Es decir al comparar objetos nuestra mente desarrolla el concepto de cantidad, y de ahí salta fácilmente al concepto de medida para terminar desarrollando un concepto intuitivo de número. Esta parece ser la puerta de entrada para poder responder a la primera pregunta. El para qué sirven los números se respondería, según lo veo yo, es para resolver el problema de la medida y por lo tanto de la comparación. Así que todo parece provenir de una actividad muy útil y frecuente de nuestra mente, la actividad de comparar objetos.

Salu2

 
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« Respuesta #109 : 10/02/2013, 03:13:10 pm »

Las propiedades arquimediana y de conergencia de puntos racionales a algo que no sea un hueco en la recta, son dos propiedades que me parece han sido de mucha utilidad practica. Estos hechos geometricos permiten a los numeros reales interactuar con la aritmetica de los enteros y con la geometria euclidiana. Cuando Descartes creo' los ejes cartesianos, no existia la teoria de conjuntos. Pero la correspondencia entre puntos y reales ha quedado ya establecida y esa idea no es sencilla de erradicar.
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« Respuesta #110 : 10/02/2013, 08:26:41 pm »

No entiendo de que estan hablando, jeje.

Los Q se llaman racionales porque son la razon entre dos enteros. He podido leer en alguna parte que se los llamaba de ese modo porque eran aceptables por la razon humana. Pero estos juegos de palabras no tienen importancia.

El hueco que llenan los irracionales son los puntos respecto el continuo, o sea, una recta euclidiana. Usando solamente razones enteras de un segmento unidad no es posible obtener todos los puntos de la recta.




Claro, yo no discuto la definición en sí, lo que sí discutiría es si es apropiado llamarle a ese conjunto “recta”.
 Precisamente, en el ejemplo he intentado ilustrar que, en general, no hay una unidad común para el segmento blanco y el amarillo. Pero esos segmentos, por separado, en un mundo geométrico unidimensional donde no existan superficies, ni curvas, etc., no tienen problema en encontrar una unidad común válida —por mucho que pueda ser infinitamente pequeña— para ellos mismos. Al no haber más de una dimensión no aparece [texx]\pi[/texx] ni aparecen las raíces ni las potencias... Sí pueden existir esos “valores” igual de infinitos o muy parecidos, pero siendo racionales, con una diferencia no estructural que vas más allá del discernimiento o de la distinción del número en sí mismo; o visto con números finitos, existirá el 4, por ejemplo, pero no existirá [texx] 2^2[/texx], ese concepto es ajeno a la recta del mundo unidimensional.
 Para mí, el conjunto llamado “la recta real”, es un espacio, no una sola recta, porque dicho conjunto no tiene sentido o tiene poco sentido si no se le considera “rodeado” de una familia de rectas con al menos algunas de ellas no LI; y no me refiero a la recta dibujada, sino a la recta abstracta; geométrica, eso sí, pero abstracta.

 Decimos que los reales constituyen un cuerpo y los escribimos como escalares, así [texx]5,\,\, 6...[/texx]  o lo que sea, pero en realidad yo veo que más bien son más parecidos a algo así [texx](...0, 0, 0...,5, 0,0,0... )[/texx] ...

En cuanto al "hueco" que "llenan" lo irracionales, yo creo que nunca lo llenan del todo; de lo contrario habría que admitir que tienen siguiente, y eso implica mínimo y, en consecuencia, existencia de unidad para la racionalización. 

 

Saludos y buenas noches, profe.   
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« Respuesta #111 : 20/11/2018, 03:20:10 am »

Hola :sonrisa:
Es la primera vez que escribo en este foro. Primeramente quisiera felicitarlos por su trabajo,  Aplauso   realmente me encanta este foro y lo que leído aquí hasta ahora me ha servido muchísimo. Estoy buscando desde hace rato sin éxito un lugar donde pueda ver la construcción de los números reales a partir de las sucesiones de Cauchy, todo el material que he consultado habla de lo famosa que es pero no puedo encontrarla por ningún lado. He leído el siguiente post http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=35792.msg97604#msg97604 y agradezco enormemente el esfuerzo que ha puesto su autor, está muy completo, muy bien explicado, se nota que hay mucho trabajo y amor puestos en ese hilo.
No he podido ver la última parte de la sección 4.6 http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=35792.msg142854#msg142854 . La última línea que veo dice "Si para todo k ocurriera que ..." . Sé que sigue porque falta la otra implicación y además en este otro post http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=42091.msg167963#msg167963 habla del Teorema 3, parte (d) que no lo puedo ver.
Me gustaría saber si a alguien le sucede lo mismo y ver si puedo hacer algo para que se vea el texto que me falta.
Por otra parte, me encantaría que pudiera completar la sección  "Método de la completación métrica en el sentido de Cauchy" Doy mi voto para que reanude ese proyecto  :cara_de_queso: Realmente me es muy necesario conocer los detalles de esa construcción, hace mucho tiempo que quiero verla pero no encuentro dónde. Muchas gracias y saludos
PD: Sí, recién voy a poder dormir en paz cuando vea esa construcción de principio a fin y la pueda entender  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:
Muchas gracias de nuevo a todos los que construyen este hermoso foro. Recién llego y ya me siento como en casa.
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