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Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos  (Leído 66571 veces)
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #40 : 15/10/2011, 04:59:19 pm »

Jaja, Donald, es cierto, pero no es cuestión de decir que no va a funcionar. La dificultad es menor, y supongo que se resolverá cuando se presente.

De las soluciones que mencionaste, la preferible es la segunda, porque la primera sólo va a traer problemas al definir la suma por ejemplo.

Además, estas cosas son conocidas. No entiendo por qué decís que no va a funcionar.

No he dicho que el proyecto no vaya ha funcionar. Sólo que no va a funcionar tal y como está enunciado, es decir, para mantisas arbitrarias. Como Jabato se proponía ponerse a hacer la construcción con detalle, consideré oportuno advertirlo porque, la dificultad no se resolverá cuando se presente, sino que, si se da cuenta de ella después de haber llenado cuatro páginas de comprobaciones, tendrá que volver al principio, modificar las definiciones, y reescribir lo escrito teniendo en cuenta la definición modificada.
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« Respuesta #41 : 15/10/2011, 07:09:23 pm »

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Está bien Donald, entiendo tu punto y tu intención.

Pero me parece más interesante que sea Jabato mismo el que se dé cuenta de eso mientras intenta hacer la construcción, y volver a reescribirla.

Después de todo, no hay que reescribir tanto, sino sólo agregar un paso más.

Al trabajar con clases de equivalencia, se aprovecha todo el trabajo previo. Pienso que no habrá que "reescribir" demasiado.

De hecho, hay muchas dificultades que uno ve antes de empezar, pero me parece más productivo analizar cada uno a medida que aparezcan.
Ya me ha pasado que hago comentarios generales sobre "lo que va a pasar" y nadie me los cree, porque yo los veo por anticipado, pero los demás no.
La única forma de que se convenzan es haciendo las cuentas.





En cuanto al problema que menciono sobre la multiplicación, Jabato dice que seguramente tiene arreglo, y esto es así.
El problema no es matemático, sino estético, pues se pierde la intención original de tener cómodamente separadas la parte entera y la parte fraccionaria.
Es inevitable, pues deben interactuar.

Pero con algo de paciencia, se arregla sin muchos problemas.

Saludos
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« Respuesta #42 : 15/10/2011, 07:18:51 pm »

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Evidentemente trabajar con secuencias infinitas tiene su dificultad pero solo la reconoceré si alguien aquí me dice cual es el valor exacto del producto [texx]e\times{}\pi[/texx]


Sólo te lo diré si me dices cuál es el valor exacto de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx].  :cara_de_queso:
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Jabato
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« Respuesta #43 : 15/10/2011, 07:35:21 pm »

Bueno, para ir haciendo boca antes voy a intentar haceros notar que el modelo (con la exclusión de las mantisas que presentan colas de periodo 9, como ya indiqué antes) es el mismo conjunto que el de los reales y por lo tanto el problema tiene solución, para ello me basta con haceros notar dos cosas muy fáciles de probar:

a) A cada número real le corresponde uno y solo un par de la forma [texx](e,m)[/texx]

b) A cada par de la forma [texx](e,m)[/texx] le corresponde uno y solo un número real.

¿Hace falta que plantee las demostraciones ó me las puedo ahorrar?. Basta solo notar que un número real solo presenta una única parte entera y una única parte fraccionaria, hecho que vuelve a ser válido para los pares del modelo, con lo que al identificar la parte entera del par con la parte entera del número real y hacer lo propio con las mantisas tenemos establecida la correspondencia elemento a elemento, lo que nos garantiza que el modelo es válido.

Claro está que eso no prueba de una forma directa que se cumplen todos los axiomas, aunque sí lo hace de una forma indirecta, "tramposa" si quereis, como la calificó argentinator, pero matemáticamente correcta y por lo tanto tan válida como prueba como la que más. ¿Alguna duda de que el modelo funciona?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #44 : 15/10/2011, 08:00:19 pm »

Principal * N Z Q R C +


No sé si tan "tramposa".

Imaginemos que nadie ha construido los números reales de ninguna forma hasta el día de hoy.

No podrías decir: "a cada real le corresponde un objeto [texx](e,m)[/texx] tal que bla bla ...".
¿A cuál "real" te estás refiriendo, si no hay ninguno?

Si ya hay alguna construcción por ahí, entonces te podrías referir a esa construcción, y asignarle un par [texx](e,m)[/texx], de un modo bastante sencillo, sistemático.

Si no hay ninguna construcción hecha, no se sabe si el concepto de números reales tiene sentido.
Por eso hace falta tener a mano al menos una construcción que sea válida.

Si no, no se sabe si los reales "existen" o no.
No basta con dar los axiomas.
Si los axiomas se contradijeran, la lista de sistemas que los cumple... sería vacía, no existirían o no tendría sentido hablar de números reales.

Sin embargo, los axiomas en sí mismos se pueden dar sin más, y entonces quedaríamos en una situación "hipotética", en la cual uno supone que tiene un conjunto que cumple tales y tales propiedades.

Bajo esa hipótesis, es posible asignar a cada número real su desarrollo (e, m). Pero esto seguiría siendo hipotético.

Lo malo de eso es que a partir de hipótesis falsas uno puede construir o demostrar lo que se le dé la gana, y entonces la construcción no tendría ningún valor.

Lo que has expresado es sólo la idea, el puntapié inicial.
Para llamarla construcción, se necesita todo lo que enuncié.
Hace falta comprobar los "axiomas" de números reales.

Si no, sólo estás diciendo que hay una biyección entre los reales y los desarrollos con dígitos, y eso no dice nada.

Después de todo, también hay una biyección entre los reales y [texx]\mathcal P(\mathbb N)[/texx], y no hay modo de definir en ese conjunto una suma y un producto, ni un orden, que funcionen como lo hacen los números reales.



¿Te fijaste cómo hice la construcción con el método de intervalos encajados?
¿Por qué es tan larga y por qué la hice?
¿Qué es lo que fallaría si no lo hago así?

Es el problema de "petición de principio" lo que intento evitar.
No puedo definir algo en términos de sí mismo.

Visualicemos la cosa geométricamente, la recta numérica con los puntos racionales e irracionales formando la recta real.

Es fácil entender que a cada punto real x lo puedo encerrar entre dos números racionales, formando un intervalo cerrado, y que dicho intervalo lo puedo hacer cada vez más estrecho, formando una sucesión de intervalos con extremos racionales,
cuya INTERSECCIÓN es el punto x señalado.

Pero ahora imaginemos que solamente me han dado los puntos racionales de la recta, y que los irracionales no están.
Cuando hacemos lo mismo que antes, con los intervalos racionales que se aproximan por ejemplo al número [texx]\pi[/texx],
lo que va a pasar es que en la INTERSECCIÓN de esos intervalos no hay nada, hay un "hueco", porque el [texx]\pi[/texx] no está en ninguna parte, no me lo dieron.

Lo tengo que "construir".
Así que tengo que "inventar" [texx]\pi[/texx].
Como no tengo de dónde sacarlo, digo que [texx]\pi[/texx] es ¡la sucesión de intervalos con la que estoy intentando aproximarlo!

Detalles técnicos obligan a dar un paso más y trabajar con clases de equivalencia de estas sucesiones.
Pero no importa.

Lo que importa es que ahora estoy inventando algo: una sucesión de intervalos. Eso forma un cierto conjunto matemáticamente complicado, al cual llamo o etiqueto [texx]\pi[/texx], y lo pongo en el "hueco" donde tendría que ir el "punto" [texx]\pi[/texx].

Pero no es cuestión no más de rellenar huecos, sino de ver que estos objetos así incrustados cumplen todas las propiedades.
Si no, ¿de qué estamos hablando?

¿Cómo me aseguro que todos los "huecos" de puntos irracionales están debidamente rellenados, que al sumarlos o multiplicarlos da lo que tiene que dar, y que respetan el orden que corresponde?

Esta es la única manera de saber que el sistema construido son números reales.

Si no, si es sólo por poner una biyección, ponemos [texx]\mathcal P(\mathbb N)[/texx] y listo.




La situación con los desarrollos decimales es parecida.
Si no hubiera nadie que hubiese construido algún sistema de reales antes, el de los desarrollos decimales sería el primero, y como no hay base de comparación con otro sistema, no queda más opción que verificar uno a uno los axiomas.

Es lo mismo que cuando te tiran un conjunto con unas operaciones, y te piden verificar si es un espacio vectorial o no.
Hay varias maneras: o bien es la imagen de una transformación lineal de otro espacio vectorial "ya construido" o que "previamente se sabe" que es espacio vectorial, o bien es subespacio de otro espacio vectorial ya conocido,
o bien simplemente verificar a mano la lista de propiedades de un espacio vectorial, una a una.

Con los sistemas numéricos hay más trabajo que con espacios vectoriales.
Es tedioso. Pero también es sistemático, trivial. Las cuentas salen.
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« Respuesta #45 : 15/10/2011, 08:05:56 pm »

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Como sea, me dejás con las ganas de hacer la construcción.
Yo sí tengo ganas de hacerla.

Se puede hacer con el formato (e, m) como vos querés, o directamente con sucesiones de dígitos (sin separar parte entera y decimal).

Si no tenés ganas de hacer las cuentas, entonces yo me pondría a desarrollar el segundo de estos dos métodos, porque me gusta más así.

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Jabato
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« Respuesta #46 : 16/10/2011, 03:35:39 am »

No, no, déjame a mi, que la idea fué mía, si acaso tu ayuda será bienvenida pero déjame hacerlo a mi. Ya sabía que la pega de mi último mensaje era esa, pero a pesar de eso lo expuse para asegurarme de que el modelo es válido. Es decir que ese modelo es un modelo de los reales, falta escalar la montaña, claro, pero vamos pasito a pasito.

El primer paso será establecer las operaciones de la suma, del producto y la relación de orden. Pero no me adelantes, déjame a mi, que vaya a mi ritmo.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #47 : 16/10/2011, 03:53:16 am »

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Ok, de acuerdo.

Pero que el modelo funciona es obvio, porque como bien sabés, a cada número real le corresponde su desarrollo decimal.
Si uno "ya" tiene los reales construidos, es como vos decís, se vuelve casi trivial demostrar que satisface los axiomas de los números reales, y no hay mucho más que hacer.

Saludos
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Jabato
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« Respuesta #48 : 16/10/2011, 04:41:38 am »

El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:

[texx](e_1,m_1)+(e_2,m_2)=(e,m)[/texx]

a) Cálculo de la mantisa resultante, [texx]m[/texx], para lo cual basta sumar los dígitos de las mantisas sumandos, dos a dos, como si fueran números naturales, empezando por la izquierda, y aumentando una unidad en el dígito anterior cada vez que la suma de los dígitos sea mayor que nueve, en análoga forma a como se hace para la suma de números naturales. Si la mantisa resultante presentara periodo 9 se anularán todos los digitos del periodo y se incrementara en una unidad la última cifra no periódica ó la parte entera si todas las cifras de la mantisa fueran periódicas.

b) Calculo de la parte entera resultante [texx]e[/texx], se suman las partes enteras como si fueran números enteros y se incrementa este resultado en una unidad si el primer dígito en la suma de mantisas resultó ser mayor que 9 ó la mantisa resultante resultó ser periódica de periodo 9.

Creo que está bastante mal explicado pero aún así la idea se entiende bastante bien así que de momento lo dejo en esta forma.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #49 : 16/10/2011, 06:03:19 am »

El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:


Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.
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« Respuesta #50 : 16/10/2011, 06:15:05 am »

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Lo que estás haciendo de sumar de izquierda a derecha va en contra del algoritmo usual de suma.

Uno no suma así, porque al hacerlo tiene que "corregir" volviendo hacia la izquierda en caso de obtener un dígito de acarreo.

Si bien esto podría hacerse cuando la cantidad de dígitos es finita, ¿cómo resolver la cuestión cuando la cantidad de dígitos es infinita?

Además, las sumas que producen acarreo no son siempre "puros nueves".

A ver si se entiendo lo que digo.

Puedo tener los números 0.52678989... y 0.9754334...

Fijate que al sumar el segundo dígito, se tiene 2 y 7, que dan 9, y entonces no producen dígito de "acarreo", luego no hay que retroceder al primer dígito para "corregir" nada, pues no hay acarreo.

Pero resulta que en realidad los dígitos de más a la derecha siempre vienen trayendo "acarreo", y eso haría que en el segundo dígito haya que sumar un "1" de acarreo al 2 y al 7, dando un total de 10, que ahora me obliga a retroceder aún más hacia el primer dígito, para ponerle este "1" de acarreo, que en la primer "pasada" no habíamos detectado.

La situación puede ser más complicada, en el sentido de que puede haber un millón de dígitos, por ejemplo, antes de detectar que hay un "acarreo" a tener en cuenta.

Por ejemplo: 0.127272727... y 0.872727298...

Hasta que no se llega al 9 del segundo número, no se detecta el acarreo producido, que obliga a retroceder varios pasos hasta el primer dígito de todos!!!

Es por esto que en la escuela no nos dejan sumar así, de izquierda a derecha, y hay que empezar desde la derecha hacia la izquierda.

El problema es que, como tenemos infinitos dígitos hacia la derecha, no hay modo posible de empezar desde la derecha, porque no hay una posición de "inicio".



Hay al menos dos soluciones que se me ocurren.
Una, definir un algoritmo más cuidadoso (que incluso alguna vez estoy seguro que discutimos acá en el foro, pero el público se me aburrió).

La otra opción sería por aproximación por racionales, pero como la construcción está en pañales, creo que esto no va a funcionar: no se han analizado las propiedades de estas sucesiones de dígitos, así que hablar de "convergencia" puede llevar a un callejón sin salida.
O bien, obliga a dar un rodeo técnico más elaborado.

Ese rodeo tiene que ser el necesario para justificar esto: definir sumas con finitos dígitos, que uno sabe hacer sin dolor, y luego hacer tender el número de dígitos a infinito, de alguna forma, y demostrar que el desarrollo obtenido es "único" en algún sentido.
Esto definiría formalmente la suma, aunque es más técnico...

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« Respuesta #51 : 16/10/2011, 06:16:38 am »

El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:


Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.

No hay espacios vectoriales en ninguna parte.
Sólo hay pares ordenados, cuya primer componente es un número entero, y segunda componente es una sucesión de dígitos entre 0 y 9.
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« Respuesta #52 : 16/10/2011, 06:25:21 am »

 Un comentario de opinión sobre la naturaleza de los números.

 Solemos pensar que a la hora de definir operaciones la suma debe de ser la primera; después de haber definido el elemento neutro y todo eso. Yo, en cambio, veo que la suma es un proceso muy brusco siempre poco justificado cuando se estudian las estructuras algebraicas; explico por qué.

 La abstracción parte antes de la observación, y algunas de esas observaciones las viene haciendo el ser humano desde los más remotos tiempo; por ejemplo el concepto de unidad es quizá el más primario, es el YO, cada uno de nosotros como individuos que sabemos distinguirnos del resto de las cosas.
 ¿De dónde se ha abstraído el concepto unidad matemática? Podría contar una anécdota de cuando, un día, hace ya muchos años, intenté enseñar a contar a mi hijo mayor cuando tenia unos tres años: no aprendía fácilmente, cuando yo decía UNO y DOS  y estiraba mis dedos creía que los dedos índice y corazón se llamaban "UNO" y "DOS", no captaba la idea. Hasta que tomé un lápiz viejo sin punta y lo partí; y entonces, antes de decirle yo dos y sólo habiéndole dicho "uno", respecto de un trozo, él se adelantó y dijo "dos" señalando el otro.
 Evidentemente, los niños muy pequeños no están contaminados por supersticiones milenarias; si sólo tenemos una unidad de algo material y queremos sumar dos, no podemos hacer otra cosa que partirla, ahí no podemos hacer magia y sacarnos otra unidad de la manga.
 Luego los números (así, números sin apellidos) sólo se pueden construir sin trucos mágicos partiendo una unidad para después ir sumando valores; una vez que tengo dos trozos, si parto uno de los trozos tengo tres trozos, y así voy obteniendo -con trozos a veces desiguales y más pequeños cada vez- los llamados números naturales. Da igual la comparación de tamaño, ya que en principio comparamos sumas de trozos sin importarnos eso. Es decir, al principio del todo no hay números distintos, sino unidades que se van partiendo y se convierten tan sólo, en eso, en unidades. Ya vendrá después la comparación entre ellas, que no es exactamente el uso de la división aunque esté relacionado "operativamente".

 La idea de Jabato es muy interesante porque separa ambas cosas, antes que la comparación entre cosas está la partición de una cosa.

 Entendemos que la suma es más básica porque es la más fácil, es lo que siempre los hombres enseñaron a sus hijos primero, pero ése no es argumento para asignarle tal honor, nació de una necesidad, es menos básica, está menos al principio, que la división.
 
 No me alargo más, que me enrollo mucho y no puede ser.

Saludos
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« Respuesta #53 : 16/10/2011, 06:28:20 am »

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Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.

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« Respuesta #54 : 16/10/2011, 07:15:36 am »

Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.


Bueno, pues no digamos producto escalar, digamos que debe justificar una operación análoga al producto escalar y conocemos el producto escalar para ver qué ideas nos puede dar. De todas formas fíjate en el "elemento" de transformación (1,1) ¿no es sugerente?
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« Respuesta #55 : 16/10/2011, 07:19:12 am »

mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.
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« Respuesta #56 : 16/10/2011, 07:37:20 am »

mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.

 :risa:

No es del todo intuición, es también observación: todos esos pares se transforman mediante el par que hace corresponder la unidad natural para dicho producto. La observación es el primer paso del método científico, después... la hipótesis, etc.
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« Respuesta #57 : 16/10/2011, 09:48:36 am »

argentinator, sabrías decirme cuanto vale la suma [texx]e+\pi[/texx]. Cualquiera que sea el resultado que me des tendrás que haberlo calculado con un número finito de cifras decimales, y además ese valor lo habrás obtenido necesariamente con valores obtenidos para ambos números con un número finito de cifras decimales. ¿Entonces porqué me exiges a mi que sume con infinitas cifras decimales? Ya sabes que no puedo. No ocurre exactamente lo mismo al sumar los infinitos términos de una sucesión y nadie se ha escandalizado hasta la fecha.

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« Respuesta #58 : 16/10/2011, 03:34:59 pm »

No te estoy pidiendo que lo hagas, sólo te digo que es posible.

Pero también te dije que hay una segunda forma, que es como vos lo estás diciendo.

Pero no se trata de una cuestión de ver si la gente se escandaliza o no,
sino de si es correcto o no el procedimiento.

En realidad, lo importante es dar una definición precisa que asigne a cada par de objetos (e, m) algo que llamarías "la suma", y que esté claramente definida, que sea unívoca, y que luego permita demostrar las propiedades algebraicas y ordinales de la suma, que figuran en los axiomas.

Si lo hacés con sumas de finitos dígitos, que es factible, hay que justificar el procedimiento correctamente cuando se pasa a considerar todas las infinitas cifras.

No hace falta un algoritmo como el primero que intentaste hacer, aunque es posible.
Se puede hacer con aproximaciones finitas, claro está.
Pero como sea, algo hay que hacer.

Habría, pues, que hacer algo en etapas: definir la suma en el caso de un desarrollo finito,
luego considerar para cada n, el desarrollo truncado a n dígitos de ambos números y efectuar la suma,
finalmente definir cuál van a ser los infinitos dígitos de la suma, basado en lo anterior, y demostrar que está bien definido, y que no es ambiguo.

En cuanto [texx]e+\pi[/texx], para mí no es problema sumarlos, el problema es que no conozco los dígitos de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx].

Pero, suponiendo que los conociera, se puede hacer.
De hecho, esto es todo lo que hace falta para construir la teoría de los números reales en base a los dígitos.

No hace falta conocer el desarrollo decimal completo de números concretos como [texx]e[/texx] ó [texx]\pi[/texx].
Y menos aún hace falta en la etapa "constructiva", en la cual los números irracionales ni siquiera existen, porque aún no los hemos construido.

_______________

La suma y el producto de los objetos (e, m) que has  declarado, hay que definirlos, porque si no, nunca vas a poder concluir que tu construcción es un cuerpo que satisface los axiomas de los números reales.

Te quejás como si esto fuera culpa mía o capricho mío.
La construcción tiene todos esos pasos.

Todas las construcciones de este tipo son largas.
Cualquier construcción de los números reales da trabajo, porque es necesariamente mucho más complicada que la construcción de Z o de Q.

No es sólo construir lo que a uno le gusta, sino también comprobar una serie de cosas.
La matemática es así.

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Jabato
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« Respuesta #59 : 16/10/2011, 04:20:58 pm »

Pues realmente la cosa se ve que no es fácil, y cuando lleguemos al producto las dificultades se van a multiplicar, ya se ve. El orden creo que es más sencillo de definir. En fin, ahora te admitiría que intentaras hacer algo con la suma, a ver que se te ocurre. Tu mismo me dijiste que deseabas hacerlo por lo interesante que parecía el modelo, pues bien, a ver como te las apañarías tu en este caso. Le he dado bastantes vueltas y no veo como salvar el problemilla. De momento solo con la suma.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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