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Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos  (Leído 67325 veces)
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« : 25/08/2009, 03:35:51 pm »

No siempre es fácil encontrar libros o textos en internet que sean completos y claros sobre  la construcción de los sistemas numéricos.
Hay retazos de esa teoría desperdigados por ahí, y a veces con un enfoque que no me parece acertado.

Se me ocurrió que sería bueno dejar "a mano" esta referencia general en los foros del rincón matemático,
en el que se van a desarrollar todos los detalles necesarios para entender cómo se obtienen los sistemas numéricos.

Tanto la introducción como las secciones principales continúan en hilos aparte, para mejor manejo del contenido
y mejor carga de la página. Los enlaces son los siguientes:




  • Nota: Este material es posterior a lo que había escrito en un principio,
    y posterior a algunas contestaciones y conversaciones que hubo en el thread.
    He hecho algunos arreglos y aclaraciones ayudándome de los comentarios recibidos,
    que me sirvieron para darme cuenta de qué cosas convenía agregar o modificar.
    También hubo algunos cambios y agregados en la teoría de Números Naturales.

  • Como esto es un thread dentro de un foro,
    está abierto a comentarios y discusiones de todos los usuarios.

    Espero que la gente no sea tímida y se anime a opinar o preguntar,
    y así me ayudan a dejar todo mucho más claro y exacto.
    Deseo dejar una versión definitiva y sin cambios, pero por ahora,
    año 2012, estoy abierto a hacer modificaciones.

  • Detalles que podrían faltar o no: Hay muchas demostraciones que las he expuesta al máximo detalles,
    y en cambio hay algunas otras que las he pasado por alto,
    dejando al lector que complete los detalles.
    Esto es tramposo, porque sabemos que muy raramente el lector efectivamente completa los detalles.
    Los pasos que he omitido son, básicamente, aburridos,
    pero que cualquiera podría llevar a cabo si lo intenta.

    Si alguien tiene interés en que se agregue o complete alguna prueba o paso faltante,
    puede solicitarlo posteando en este mismo thread, y vemos cómo se soluciona.



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« Respuesta #1 : 26/08/2009, 11:06:24 am »

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He introducido los sistemas numéricos mediante axiomas, y como una tarea posterior he llevado a cabo las típicas y muy conocidas construcciones correspondientes.

El motivo de esto, así como la razón por la cual digo sistemas numéricos en vez de conjuntos numéricos, viene explicado en la Sección 0,
y además se discute en este mismo thread con los compañeros del foro.

Inicialmente las Secciones 0 a 6 estaban todas juntas en este mismo thread, pero las he debido separar en threads independientes porque se dificultaba la carga de las páginas.
También he hecho cambios en esas secciones, posteriormente a los comentarios que siguen.
Esos cambios, espero, no alteran el espíritu inicial que había en la exposición teórica.
En cambio no he modificado los posts en que dialogo con otras personas.

 
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Jabato
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« Respuesta #2 : 01/11/2009, 02:56:44 am »

Has elegído el método axiomático para definir los sistemas numéricos, y yo personalemente prefiero otro método.

Por ejemplo definir número natural como la clase de todos los conjuntos finitos biyectivos, aparte de ser mucho más simple es mas intuitivo.

Definir los números enteros como clases de pares ordenados de númeo naturales es básico, con la archiconocida relación de equivalencia:

[texx](a,b)\equiv{}(m,n)\quad \Leftrightarrow{}\quad a+n=b+m[/texx]

Y definir los racionales como clases de ternas ordenadas de naturales raya casi lo elemental, con la relación de equivalencia:

[texx](a,b,c)\equiv{}(m,n,o)\quad\Leftrightarrow{}\quad ao+nc=bo+mc[/texx]

Definiéndose las operaciones suma y producto de naturales por el método clasico de iterar la operación siguiente para la suma e iterar la operación suma para el producto (e incluso definir la operación potencia como la iteración del producto) y la operaciones suma y producto de enteros y racionales en base a la suma y producto de naturales.

Todas sus propiedades, incluido el orden que presentan, se deducen facilmente de estas definiciones y a lo sumo de los axiomas de la T.C., ¿no sería mejor utilizar este enfoque en lugar de un conjunto de axiomas independientes para cada tipo de número?

Mi opinión es que una teoría matemática es tanto más deseable cuanto menor sea el número de axiomas que contiene.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #3 : 01/11/2009, 09:10:11 am »


Principal * N Z Q R C +


No se trata de que "elegí" ese método, sino que opino que es el método correcto.

Fiajte que dos personas distintas podrían "construir" los números enteros, por ejemplo, con dos métodos diferentes.
Ambas personas podrían argüir que "su" método define el concepto de número entero.
¿A quién le doy la razón?
Una cosa que habría que comprobar, por ejemplo, es que los métodos de estas dos personas conducen a estructuras que tienen las mismas propiedades, o sea, hay un "isomorfismo".
Pero entonces, lo que estamos haciendo es reconocer que en el fondo hay una estructura común, un concepto de número entero que toda "construcción" debe cumplir.

Porque si no, ¿cuáles son las propiedades específicas de los números enteros?
Si tomo como "definición" de entero a las clases de equivalencia de pares ordenados de naturales, un número entero es una clase de equivalencia, y por tanto, un número entero sería un conjunto con ciertos elementos.
Las propiedades de ese número entero incluirían ciertas propiedades de la teoría de conjuntos, como por ejemplo, que algunos elementos sean a su vez conjuntos, y entonces uno podría demostrar relaciones extrañas entre los "números enteros", hablando de pertenencias, inclusiones, uniones.... cosas que nada tienen que ver con la noción que uno tiene de número entero.

Un número entero es algo que "tiene que funcionar de cierto modo".
Esa manera de funcionar ha de ser independiente de la manera en que se los construya.

La construcción conocida de las "clases de equivalencia de pares de naturales", resulta que sólo es "una de tantas" maneras de construir un sistema de números enteros.

También podría usar esta construcción: [texx]Z = (N\times \{1\})\cup \{0\} \cup (N\times\{2\})[/texx].
Los pares ordenados [texx](n,1)[/texx] serían los enteros negativos, y los pares [texx](n,2)[/texx] serían los enteros positivos.
Luego bastaría definir adecuadamente la suma, el producto, y el orden en Z, y tengo un sistema de enteros.
¿O acaso no puedo?
¿Y por qué no sería preferible este método al de las clases de equivalencia de pares de N?

También puedo definir los enteros a través de la geometría de la línea recta: tomo una línea recta en el espacio geométrico euclidiano, tomo un segmento fijo OU, y lo traslado a izquierda y derecha, infinitas veces.
Ese conjunto de puntos, con el orden que tiene la línea recta, tiene una estructura análoga a la de los números enteros, y pueden definirse sin problemas las operaciones de suma y producto ahí, etc.

Y te doy un ejemplo aún más corriente, y que aparece indefectiblemente al trabajar con números.
Supongamos que has construido los racionales con el método que más te guste.
Ese sistema tiene un subconjunto que satisface las propiedades de los números enteros.
Pero ese sistema "es totalmente diferente" de "las clases de equivalencia de pares de naturales".
O sea, ambos conjuntos tienen elementos que son cosas muy distintas...
¿Con qué derecho digo entonces que hay en Q un subconjunto de "enteros"?
¿Qué propiedades tiene ese subconjunto de Q que lo hacen un sistema de enteros?
¿Es isomorfo a quién?
Y si es isomorfo... debo decir qué tipo de isomorfismo se trata, o sea, ¿qué propiedades espero que el isomorfismo conserve? Porque los isomorfismos no son algo libre, sino que hay qué decir de qué tipo es: isomorfismo de anillos, de cuerpos, de sistemas ordenados, topológicos... de lo que sea... (en este caso, las propiedades de un sistema de entero, que al parecer se trata de anillos ordenados con cierta propiedad de buena ordenación)

En algún momento tengo que reconocer que necesito una lista de propiedades comunes a todos los sistemas de enteros, y es ahí donde las pongo en un sistema axiomático.


Además, es necesario probar que todos los sistemas de enteros que yo vaya a obtener, son "en esencia el mismo", o sea, no puede ser que haya ambigüedad en el significado de sistema de números enteros.
Para eso debo ponerme de acuerdo en qué propiedades comunes a esos sistemas considero que definen la estructura de número entero.
Y hay por ahí un Teorema en el que he demostrado que todos los sistemas que satisfacen los axiomas 1, 2, 3 y 4 que he dado para los enteros, son isomorfos entre sí en el sentido de conservar esos axiomas. No hay lugar a ambigüedad.

Si no te convencen los enteros, entonces podemos ir a los números reales, que todavía los debo...
Puedo construir los números reales a partir de 5 métodos diferentes o más.
¿Por qué esos sistemas puedo considerarlos "equivalentes"?
La única manera de decir que todos ellos conducen al mismo concepto es mediante un sistema axiomático.



Pero ahora hay otra cuestión importante.
El "método axiomático" es parte necesaria de la teoría, pero no es suficiente.

Una lista de axiomas no alcanza para "definir" el concepto de, por ejemplo, números enteros.
¿Por qué?
Porque podría pasar que no haya sistema matemático alguno que cumpla con una cierta lista de Axiomas.
Tengo que demostrar que existe algún sistema que sí la cumpla.

Y entonces es ahí donde viene esa construcción que te cae tan simpática de los pares ordenados de naturales...

Esa construcción es necesaria, porque constituye al menos un ejemplo, o sea, un modelo que verifica los axiomas.
Podrían haber muchos modelos más, pero exhibir al menos un modelo es necesario para que una teoría no sea inconsistente.



Así que, resumiendo, tanto el sistema axiomático como las construcciones "a mano" de los distintos sistemas de números, son necesarias para que la teoría de cada sistema de números esté completa, correcta, y que no tenga huecos o ambigüedades matemáticamente hablando.

Es por eso que doy las dos cosas.

Además, si te fijás, en el post de números enteros, en la mitad inferior está esa construcción de los pares de naturales.



En cuanto a la definición de racionales que das con ternas ordenadas de naturales... no es la estándar.
La que se suele dar es otra.
¿Y entonces por qué estás seguro de que tu construcción conduce a "un sistema correcto de racionales"?
¿Basado en qué criterio?
¿Qué es un "sistema de racionales", de tal forma que tu construcción o cualquier otra se pueda considerar válida?
¿Qué propiedades han de cumplir...? Respuesta: Los Axiomas 1, 2, 3 y 4 del post de los racionales.



Editado: Lo que sigue podría obviarse, ya que he modificado el post de números naturales agregando los detalles que faltaban.

En cuanto a los números naturales, es cierto que me contradigo conmigo mismo, porque sólo he puesto los Axiomas.
He demostrado que todos los sistemas de naturales posibles son equivalentes.
Pero no he dado ningún modelo de sistema de números naturales.

A lo mejor agregue un comentario sobre ello, pero no voy a ponerme en detalles, porque eso es algo que tiene más bien que ver con la teoría de conjuntos. Creo que me alejaría demasiado del tema.
Por lo general se suele partir del sistema de los números naturales, sin mucho protocolo, y a partir de ahí se construyen o edifican los demás sistemas de números.

O sea, si uno puede aceptar que tiene en alguna parte a los números naturales, lo demás puede construirse.
Pero hay en torno a los números naturales muchas cuestiones filosóficas y teóricas intrincadas de diverso tipo que no quiero mezclar en todo esto.
Y por eso lo voy a dejar un poco "playo".

De todas maneras, hay muchas maneras de construir "números naturales".
Basta con saber que hay alguna forma.

El método que te gusta, de las clases de todos los finitos biyectivos... tiene el problema de que el conjunto de los naturales tendría como elementos a "clases que no son conjuntos".
Eso provoca que uno tenga que ser excesivamente cuidadoso con el tratamiento que les da a esos objetos.

Por eso puede ser más preferible usar la lista de conjuntos típica siguiente:

[texx]\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}...[/texx], etc.,.

Cada elemento es un "conjunto" y no una clase propia, y eso nos deja en terreno más "seguro" cuando se hacen demostraciones.
Para que esa lista de elementos sea un "conjunto" hay que exigirlo mediante uno de los "axiomas" de la teoría de conjuntos,
Así que un modelo o ejemplo de sistema de naturales existe por "decreto", es un Axioma matemático.

Si no se acepta eso... es porque uno es un intuicionista, y todo lo demás se va al diablo.


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« Respuesta #4 : 01/11/2009, 09:24:20 am »

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Lo que quiero decir, en definitiva, es que en algún texto los autores hablan del "método axiomático" como si fuera un "método" más entre aquellos tantos posibles "métodos de construcción de sistemas de números".

Yo opino que eso es didácticamente incorrecto, y también matemáticamente flojo.
La relación entre el sistema de axiomas de un tipo de números y los diferentes "métodos de construcción" es que esos "métodos" conducen a meros ejemplos o casos particulares del sistema axiomático.

A su vez, el sistema axiomático por sí mismo no construye nada.
Es un error pensar, decir o enseñar que es un "método de construcción".
Se requiere que haya un modelo (un ejemplo "construido") para dicho sistema de axiomas, porque si no, se trata de Axiomas de una teoría vacía.

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Jabato
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« Respuesta #5 : 01/11/2009, 09:40:58 am »

Bueno, la verdad es que tus argumentos resultan bastante abrumadores, aunque no estoy de acuerdo con algunas de tus apreciaciones:

1ª.- Los números naturales serían clases de equivalencia, los enteros también y los racionales también, y no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

2º Entiendo que de todas las propiedades que satisfarían estas clases de equivalencia debe decidirse cuales son las que carácterizan a los sistemas numéricos, y en ese caso si quizás fueran necesarios los axiomas, ahora bién te acepto el argumento si me sabes poner al menos un ejemplo de una propiedad que satisfagan estas clases de equivalencia y que no satisfagan los números correspondientes, lo que demostraría que efectivamente es necesario el filtro de los axiomas.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #6 : 01/11/2009, 10:18:36 am »

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A ver...

Un número entero positivo [texx]k[/texx] está formado por la clase [texx]\{(k+m,m):m\in N\}[/texx], cuando viene por la parte de "la construcción".

Cuanto se habla del racional entero positivo [texx]k[/texx], se trata de la clase [texx]\{(km,m):m\in N\}[/texx].

Ahora considero la suma de pares ordenados [texx](a,b)\oplus{}(c,d)=(a+c,b+d)[/texx].

Tengo que [texx](k+m,m)\oplus{}(k+n,n)=(2k+m+n,m+n)[/texx], lo cual es un elemento de la clase que define el entero "por construcción" [texx]2k[/texx].

Por otro lado, tengo que [texx](km,m)\oplus{}(kn,n)=(k(m+n),m+n)[/texx], lo cual es un elemento de la clase que define el entero "via racionales" [texx]k[/texx].

En ambos casos, la operación [texx]\oplus{}[/texx] está bien definida entre clases de equivalencia, porque el resultado que me da pertenece a una clase de equivalencia determinada, y así puede redefinirla como una operación entre esas clases.
En un caso, obtuve [texx]k\oplus{k}=2k[/texx],
y en el otro caso obtuve [texx]k\oplus{k}=k[/texx].

Son dos resultados diferentes para una misma operación entre las clases, vistas como conjuntos.


Pero más allá de ese ejemplo (que a mí tampoco me convence demasiado...  :lengua_afuera: ),
el hecho de que las clases que definen el entero positivo [texx]k[/texx] sean simplemente diferentes en ambas situaciones: [texx]\{(k+m,m)\}[/texx] y [texx]\{(km,m)\}[/texx],
ya alcanza para notar que se trata de objetos matemáticos diferentes, y que para identificarlos no hay más remedio que poner una lista de propiedades comunes que deben cumplir.

Si no, ¿cómo sé yo que ambos sistemas definen correctamente al entero [texx]k[/texx], aún siendo tan diferentes?
¿Qué criterio uso?  :¿eh?:  :¿eh?:  :¿eh?:



no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

Ahora soy yo el que se pone exigente, y te aceptaría esto si me dijeras qué tipo de isomorfismo estás poniendo entre, por ejemplo, un subconjunto de los racionales y los enteros.
¿A qué le llamás isomorfismo?

Hay muchos isomorfismos: de grupo, de anillo, de espacio vectorial, de relaciones de orden, de espacios topológicos.

¿De qué tipo ha de ser el isomorfismo en el caso de, por ejemplo, un subconjunto de enteros de Q y los enteros Z "construidos"?
¿En qué momento puedo decir: "he probado todas las propiedades que me dicen que efectivamente tengo un isomorfismo"?

Y si tengo un anillo ordenado tal que todos sus subconjuntos acotados inferiormente están bien ordenados.
¿Puedo tratarlos como números enteros? ¿Hay isomorfismo con los enteros? ¿No es eso un sistema de números enteros?
¿Adónde empieza el ovillo?

(Lo que está en azul es la versión resumida del sistema de axiomas 1, 2, 3 y 4,  :guiño: ).
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Jabato
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« Respuesta #7 : 01/11/2009, 10:36:37 am »

La operación de suma via racionales no es correcta, ya te he comentado que los racionales son clases de equivalencia de [texx]N^3[/texx], así que tu operación no es correcta. Si quieres luego la analizamos más despacio pero creo que el concepto de racional has usado no coincide con el mío.

Por otro lado bastaría considerar la biyección entre los enteros [texx](m,n)[/texx] y los racionales [texx](m,n,1)[/texx] para tener el isomorfismo creado, ¿ó no?

La operación suma vía racionales sería así:

[texx](a,b,c)+(m,n,o)=(ao+mc, bo+nc,oc)[/texx]

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #8 : 01/11/2009, 10:41:00 am »

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Las ternas ordenadas son algo que nunca he visto.
La construcción que yo uso, que está en "mi" post de números racionales, es la forma estándar, o sea, la que aparece en todos los textos. Por eso la uso.

Es cierto que se pueden usar otras construcciones, pero entonces, ¿por qué preferir la tuya que usa ternas en N? ¿Por qué tus clases de ternas "son" los números racionales?
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Jabato
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« Respuesta #9 : 01/11/2009, 11:07:16 am »

Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien), y hay más formas de hacerlo imagino. Ahora bien ya te indiqué que planteando el asunto en la forma que yo lo hago no hacen falta axiómas ya que todas las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método. No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma, sino que todo se realiza a traves de una simple definición y unas propiedades que son consecuencia de ella. Esa es la razón de que yo prefiera esa forma, y si acaso el hecho de la homogeneidad de poder definir los enteros como pares y los racionales como ternas de números naturales.

¿Porque debemos hacerlo en esa forma? Pues no es obligatorio claro está, pero reducir el número de axiomas necesarios siempre deberíamos considerarlo como una mejora de la teoría, ¿no te parece? De ahí mi propuesta.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #10 : 01/11/2009, 11:51:45 am »

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Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien),

Yo no dije que mi forma es la correcta...
Las construcciones de racionales no son ningunas mejores que otras, ya sea con pares o con ternas, o con puntos en una recta euclidiana...

Esa es la cuestión, no hay una manera más correcta que otra de "construir" los racionales.

Además, ¿por qué tu forma de ternas "son" números racionales? ¿Por qué mi forma de pares ordenados "son" también números racionales?
¿Por qué todas las formas posibles "son" números racionales?

¿Por qué estás tan seguro de que unas formas u otras "son" números racionales si nunca has definido el concepto de lo que significa "ser un número racional"?

La gente suele usar el formato de pares ordenados para introducir los racionales, porque es el más natural, viendo a un racional como un cociente de enteros, y no como una cierta "terna".
La forma de pares es "más estándar", y no lo digo para defenderme a mí, que no soy "hincha" de los pares ordenados, ni de ninguna otra construcción, sino que si te vas a salir de lo "estándar" entonces tendrás que convencer a todo un mundo de por qué es mejor tu "definición" de números racionales.

Lo que digo es que ninguna construcción particular de números racionales puede tomarse como "definición" del concepto de número racional.

Porque así como todo el mundo define alegremente esos pares ordenados, y vos has definido otra cosa distinta, en base a ternas, todo el mundo puede dar su versión.

La versión de pares ordenados tiene la misma virtud que tus ternas: "en principio no agregan nuevos axiomas que parecen accesorios".
Y luego funcionan igual que cualquier sistema de racionales. ¿Cuál de los dos tengo que elegir yo? ¿Cuáles son las propiedades de los racionales con las que puedo trabajar aritméticamente? ¿Qué es la aritmética de racionales? ¿En qué momento deja de ser aritmética las operaciones que yo esté haciendo con esos objetos, clases o lo que sea?

Ninguna construcción, ni la de pares ordenados, ni la de ternas, tiene una "intuición" de número racional adecuada.
Todas son inventos extraños.
No veo motivo para preferir alguna.

Sin la lista de propiedades, no veo que haya una forma "uniforme" de establecer qué es un sistema de números racionales, por ejemplo.

Y además, como ya dije, aún si definimos el concepto por axiomas, eso no sirve tampoco, porque puede ser un concepto vacío, así que hay que agregar una construcción, para demostrar existencia.

Los Axiomas no son un "agregado innecesario". Las propiedades que se listan en los axiomas las cumplen todos los ejemplos "constuidos" de racionales. Por lo tanto, son en realidad las "propiedades mínimas" que todos esos sistemas cumplen.

En todo caso, los "agregados innecesarios" son las características peculiares de cada "construcción particular".



En cuanto al isomorfismo, lo honesto matemáticamente es preguntar ¿isomorfismo de qué?
La aplicación [texx](m,n) \to (m,n,1)[/texx] es una función biyectiva... ¿pero por qué es un isomorfismo? ¿Lo es? ¿Qué es lo que lo convierte en un isomorfismo?

Es un isomorfismo entre "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados".
Pero ser un "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados" es lo mismo que satisfacer los Axiomas 1, 2, 3 y 4 (anillo: axioma 1, ordenado: axiomas 2 y 4, buena ordenación: axioma 3).

Los axiomas están, aunque no queramos, porque "se cumplen".

Creo que la confusión viene porque todavía estás pensando que estoy "construyendo" los racionales a través de axiomas.
Y eso no es así.
Estoy definiendo el concepto de racionales por axiomas, pero lo que se dice "construir" es con mis pares o tus ternas, o lo que sea.



Los Axiomas no son "innecesarios". Son lo que define el concepto de número entero, racional, real, el que fuere.
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« Respuesta #11 : 01/11/2009, 12:25:29 pm »

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Cita
No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma

Bueno, pero los Axiomas matemáticos no se deben tomar así, con esa carga emocional o filosófica.

Una lista de axiomas es lo mismo que una lista de propiedades, o de teoremas... Se cumplen o no.
Hay que tomarlos como los Axiomas de Grupo o de Anillo, o de Espacio Vectorial.
Solamente es una lista de propiedades generales de una estructura común a varios casos específicos.
Los sistemas de Axiomas son ahora una herramienta que permite demostrar hechos de índole general, evitando tener que repetir los mismos argumentos cada vez que se repite la misma estructura.

No es ya algo "fatalista" del tipo "verdad indiscutible".

¿O acaso los axiomas de grupo te parecen una "verdad decretada" a la que hay que inclinarse sin discusión?
No es esa la función de la teoría de grupos, sino aislar las propiedades comunes a varios sistemas.

Lo mismo pasa con los axiomas de "sistema de números enteros", por poner un ejemplo. Es una estructura de anillo, aunque con más propiedades que un anillo: tiene además un orden y satisface una propiedad adicional de "buena ordenación".

La diferencia entre los axiomas de grupo, y los de "sistema de enteros", es que dos grupos cualesquiera no son isomorfos (en el sentido de isomorfismo de grupos), salvo por mera casualidad. No importa que satisfagan los mismos axiomas de grupo, no hay isomorfismo (en general).

En cambio, dos sistemas que cumplan las propiedades de los enteros, siempre son isomorfos (en el sentido de "isomorfismo de sistemas de enteros").
Eso es lo que hace a los números una herramienta tan útil (sospecho).



Los Axiomas del tipo "verdad indiscutible" podrían ser los del tipo "fundacional" de la matemática, o sea, los axiomas de la lógica y la teoría de conjuntos.
Pero resulta que... en el fondo uno podría discutir estos axiomas y tratarlos como a cualquier sistema matemático.
Pero "tocar" esas reglas es más difícil, porque la gente no se anima...


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« Respuesta #12 : 01/11/2009, 12:41:37 pm »

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Cita
las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método

Como siempre, debo preguntar, ¿a cuáles propiedades te estás refiriendo? ¿No serán esas que puse en los axiomas, mmm,  :lengua_afuera: ?

Como sea, hasta hace poco (días) tenía una visión de los números similar a la tuya, digamos, constructivista, y no me simpatizaban los axiomas.
Pero cuando me puse a escribir todo esto acerca de los sistemas de números me di cuenta de que estaba haciendo agua en alguna parte. No era sólido lo que estaba escribiendo, matemáticamente hablando.
Así que terminé cambiando mi postura a la que defiendo actualmente, y que se refleja en la manera que he trabajado en los posts anteriores:

  • Definir un concepto básico a través de propiedades comunes: los axiomas.
  • Demostrar existencia: a través de alguna de las construcciones típicas.
  • Demostrar unicidad: a través de un teorema que afirma que todos los sistemas con tales y tales axiomas, son "el mismo".

Creo que este "enfoque" es matemáticamente consistente, porque determina el concepto de número sin ambigüedades, ni omisiones.

Dejar sólo una "construcción" no me define bien el concepto de número entero o racional o real.
Dejar sólo "axiomas" no me demuestra que tiene sentido aquello de lo que estoy hablando.
Si uso los dos, necesito saber que puedo usar los números en forma consistente en todo contexto, sin importar cómo los represente: esa es la unicidad.

Esos tres ingredientes son los que, a mi juicio, deben estar en toda teoría que pretenda desarrollar en forma matemáticamente válida el concepto de número, que es una herramienta básica y general. No puede ser algo anecdótico (una construcción), ni un supuesto indefinido que no se sabe si es inconsistente (axiomas), ni posiblemente ambiguo (unicidad).

Además, el cuarto ingrediente presente en los desarrollos es, naturalmente la propiedad de que cada nuevo sistema de números contiene a los anteriores como un "subsistema", al menos vía isomorfismo.

Para la teoría de números reales, que aún no he terminado, hay mucho que decir, porque la "continuidad" que les caracteriza se puede definir de varias maneras diferentes. Es una propiedad que se explica desde muchos puntos de vista distintos, y en análisis avanzado todas esas formas son útiles y necesarias.
Así que me tomé un trabajo adicional para estudiar a fondo dicha propiedad.

Faltan los complejos, que tienen también sus "cosillas" intrincadas. (cerradura algebraica  :guiño: )
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Jabato
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« Respuesta #13 : 01/11/2009, 02:33:01 pm »

Ya entiendo tu postura, creo. Lo que se está diciendo con los axiomas es que cualquier conjunto que satisfaga esas propiedades (los axiomas) puede ser utilizado como sistema numérico, da igual que los elementos del conjunto sean pares de naturales, pares de enteros, ternas de naturales, polinomios ó matrices. Eso es lo de menos, lo importante es que se satisfagan todas esa propiedades ¿Es eso?

En cualquier caso aún me quedaría una bala en la recámara, y la usaré. Puedo aceptarte que para la definición de los números naturales sea necesario una definición axiomática, por los motivos ya comentados, pero los enteros y los racionales son estructuras numéricas que se construyen a partir de los naturales, y todas sus propiedades se deducen a partir de las de estos últimos y de como se definen dichas estructuras. ¿Son necesarios los axiomas en estos dos casos? Si yo acepto que los enteros son un par de naturales y los racionales una terna de naturales (también es posible representarlos como un par natural, entero), entonces todas sus propiedades son perfectamente deducibles sin acudir a la axiomática. ¿Para qué entonces los axiomas en estos dos casos? Incluso creo que el mismo argumento es extrapolable al caso de los reales y de los complejos.

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« Respuesta #14 : 01/11/2009, 05:45:25 pm »

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Cita
y todas sus propiedades se deducen

¿Y cuáles son "todas" esas propiedades? ¿No deberíamos estar todos de acuerdo en qué propiedades deben cumplirse, para entender de qué estamos hablando?
Cuando uno se pone a detallar las propiedades que los números han de cumplir, y que de algún modo "caractericen" sin sobras ni faltas, a determinado sistema de números, son los axiomas (o "propiedades", si te choca menos) que han sido listadas.

Es cierto que de las "construcciones" se deducen las "propiedades" correspondientes, de lo contrario, no serían buenos modelos de enteros o racionales.

Cita
los enteros y los racionales son estructuras numéricas que se construyen a partir de los naturales


Esa es sólo una de las tantas formas distintas posibles de construir los enteros y los racionales.
Y vos las estás tomando como "la definición".
Eso es lo que critico, justamente.
Porque pienso que con esas construcciones particulares no se llega a comprender qué es realmente un número entero o un racional.
Al zambullirse en los axiomas uno ve que son "al menos eso", y "no más que eso" (y lo que se deduzca de allí).
Eso da una "precisión" de los conceptos.
Pero los axiomas no están completos sin un modelo que les dé sentido.
Así que tampoco quiero "axiomas" pelados. También quiero ver una construcción concreta, como la de los pares ordenados.
O sea, quiero comprobar que los axiomas se cumplen en algún caso, que "existen" tales sistemas.

Hay infinidad de maneras de inventarse una construcción alternativa, y que "tengan las mismas propiedades".
El hecho de que mucha gente exhiba esas construcciones, siempre las mismas, y no se ponga a discutir sobre otras fundamentaciones de los enteros o racionales, no quiere decir que esas clases de pares ordenados "sean" ellos y sólo ellos los números en cuestión, o la única posibilidad.


Cita
con los axiomas es que cualquier conjunto que satisfaga esas propiedades (los axiomas) puede ser utilizado como sistema numérico

Eso es lo que digo de cualquier sistema numérico, no sólo los naturales.

Opino que para llegar a una comprensión completa de cada sistema numérico, hay que pasar por los axiomas, las construcciones de pares ordenados, y los teoremas de unicidad, así como los teoremas de inmersión de sistemas más chicos en los más grandes.

En cuanto a los naturales, creo que tengo que revisar lo que he escrito, y acomodarlo mejor según esta postura que supuestamente estoy defendiendo.
Ocurre que no me decido qué axiomas tomar de naturales. En todos los casos "me sobran" propiedades, o sea, habría axiomas que puedo deducir a partir de otros... y en tal caso ya no son axiomas.
Los naturales son un dolor de cabeza, y no tengo claro cuál es el mínimo conjunto de axiomas que los caracteriza.
Eso me va a llevar un tiempo más, y quizá lo perfeccione después de terminar lo de los reales y complejos.
(Post-Edición: Ya me he decidido por una "definición" de números naturales, a través de una lista de Propiedades que siempre debieran cumplir, que he designado como Posultados 1 al 6. Si bien lógicamente hay mucha redundancia: unos postulados sirven para demostrar a los restantes, hay razones para dejar las cosas así. Ver "Números Naturales")

Sí es claro que hay, como siempre, muchas formas de "construirlos".
Me faltó agregar ejemplos de "construcción" de modelos de naturales. (Post-Edición: Ya he agregado al menos un ejemplo de "construcción" de los naturales, el más típico usado hoy en día...)
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Jabato
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« Respuesta #15 : 01/11/2009, 06:25:08 pm »

Bueno, parece que han quedado claros todos los extremos, salvo eso que has comentado de los axiomasde los naturales. Entonces imagino que defiendes que existen infinidad ó mejor múltiples construcciones que son representativas de cada uno de los sitemas numéricos. Pero esto nos conduce a que los números propiamente dichos no existen, solo existen estructuras que satisfacen cierto conjunto de axiomas y que identificamos con los números pero ninguna de ellas puede considerarse que sea el conjunto de los naturales N, los enteros Z ó los racionales Q. Este enfoque es nuevo para mi, yo tenía asumido que los números verdaderamente existen, pero con esa teoría que nos presentas la pregunta del millon sería esta:

¿Existen verdaderamente los números?

¿Cuales son los elementos de N? ¿y los de Z ó Q?

¿Existen esos conjuntos?

Con esa teoría resulta que cada uno de los matemáticos del mundo podría estar trabajando con conceptos distintos de números, y aunque todos ellos deberán satisfacer los axiomas correspondientes no necesariamente deben coincidir unos con otros. Curioso punto de vista.

Pero ... sigamos razonando con este modelo. Todas las construcciones posibles de naturales tendrán necesariamente un primer elemento. Entonces el 1 sería representativo de todos esos primeros elementos. Es decir el 1 sería la clase de todos los primeros elementos de todas las estructuras naturales posibles. El 2 sería la clase de todos los siguientes a los primeros elementos, el 3 sería la clase de los siguientes a los segundos y así sucesivamente. Pero ... ¿a donde nos lleva esto? ¿a definir número natural? ¿cada número natural es representativo de una clase? ¿Y qué elementos pertenecen a cada clase? Yo creo que cualquier elemento podría pertenecer a la clase del 1. Y lo mismo para la clase del 2. ¿Entonces ... todas las clases son iguales? Ya me estoy liando como siempre.

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« Respuesta #16 : 01/11/2009, 07:10:29 pm »

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Cita
Con esa teoría resulta que cada uno de los matemáticos del mundo podría estar trabajando con conceptos distintos de números, y aunque todos ellos deberán satisfacer los axiomas correspondientes no necesariamente deben coincidir unos con otros. Curioso punto de vista.

Justamente, ese es un problema no menor, y por eso me estoy tomando el trabajo de dejar, para cada sistema, la demostración de un Teorema concreto que dice que tal o cual sistema de números es "el mismo" salvo isomorfismos.

Por ejemplo, el grupo de las rotaciones del cuadrado es el mismo (isomorfo) que el de las congruencias módulo 4.
(El grupo de rotaciones del cuadrado es el de las rotaciones que rotan los vértices del cuadrado, pero a la vista se ve igual, o sea, no está el cuadrado inclinado, ni nada similar)
Pero ese mismo grupo no es isomorfo al grupo de las matrices ortogonales de nxn con la operación de producto matricial.
No son isomorfos, a pesar de que cumplen los mismos axiomas de grupo.

Pero los sistemas de números por suerte "no tienen ese inconveniente", sino que todos los ejemplos concebibles de enteros, por ejemplo, son "isomorfos" entre sí, "son el mismo".
O sea, no sólo cumplen los mismos axiomas, sino que además puede tomarse cualquiera de ellos como sustituto de otro.
Y por eso es posible andar tan tranquilos usando un sistema de números como si fuera "uno solo".

En matemática, ser "uno solo" significa esto, "que multitud de objetos se identifiquen por alguna noción de equivalencia que los identifique".
Esas relaciones suelen recibir el nombre de "isomorfismos", pero podríamos pensar también que en el gran universo de los sistemas posibles, se establece una "relación de equivalencia".

Cita
¿Cuales son los elementos de N? ¿y los de Z ó Q?

¿Existen esos conjuntos?

Como siempre, no me gusta hablar de elementos y conjuntos en este contexto, porque es necesario asumir que "el" conjunto N está acompañado de otros objetos (operaciones, relaciones), que determinan una estructura.

Pero la cuestión de la existencia...
Podemos verlo así.

Todos los grupos isomorfos al grupo de rotaciones del cuadrado forman una clase.
"Ser isomorfo a" es una relación de equivalencia entre grupos.
Por lo tanto, se puede definir, como siempre, una relación de equivalencia, que dará lugar a una clase de equivalencia.
El grupo de rotaciones del cuadrado será un representante de esa clase, al igual que lo es el grupo de las congruencias módulo 4 con la suma.

De esta manera, todos los grupos quedan clasificados en clases enormes (que no son conjuntos, seguramente), que contienen, cada una de ellas, todos los grupos isomorfos entre sí.

Ese ejemplo creo que es fácil de comprender.

Ahora la misma idea la aplicamos a sistemas de números.
Hay un tipo de isomorfismo que es el de "preservación de propiedades de enteros", digamos.
Entonces, de nuevo, todos los sistemas de enteros, que a su vez sean isomorfos, formarán una determinada clase de equivalencia.

Pero hemos probado que, en realidad, todos los sistemas de enteros son isomorfos.
O sea que hay una sola clase de equivalencia vía esos isomorfismos.
En cierto modo, esa gran clase, que contiene a todos los sistemas de enteros posibles, es lo que vendrían a precisar el concepto de lo que son los números enteros.

Sin embargo, en la práctica, estaríamos trabajando con un representante específico de esa clase, aunque daría igual cuál usemos, porque lo que se demuestre para uno valdrá para todos, siempre y cuando las propiedades que usemos sean "sólo aquellas que vengan de los axiomas", porque esas propiedades son las que preservan los isomorfismos.
Puede haber otras propiedades "peculiares", de las que los isomorfismos no nos dicen nada.
Los axiomas junto con el teorema de "unicidad" son los que nos garantizan que en esencia hay "un solo" sistema de enteros.

Cuando hablamos de "el conjunto de enteros" es que estamos trabajando con un representante de todos los posibles sistemas.
En ese sentido, que estamos usando un conjunto propiamente dicho. Sólo que no especificamos cuál de todos los de la gran familia es el que estamos usando. Pero se trabaja con un conjunto concreto, porque si no... ¿cómo hacemos?

En los libros en vez de decir, sea Z "el conjunto de enteros", debiera decir, sea Z "un sistema de enteros".
Todo lo que se pruebe con un Z, se podrá probar con cualquier otro Z', así que los teoremas seguirían valiendo...



¿Qué son los números en realidad? Eso francamente no lo sé, y creería que nadie lo sabe.
Pero aún así, creo que todos estos isomorfismos y construcciones son algo maravilloso que nos da una comprensión acabada de lo que son.
Además es sorprendente que los números tengan una estructura tan sólida, uniforme, inambigua.

Por un lado, sus propiedades o axiomas obedecen a motivos que en cierto modo vienen de la intuición humana de número, y de las propiedades que les hemos impuesto.
Pero luego, cuando se los estudia a fondo, se ve que tienen mucha más riqueza y estructura de la que se sospechaba en un principio.

Me parece que por ahora la mejor comprensión que soy capaz de alcanzar de qué cosa son los números viene dada por este trío de:

axiomas + construccion-de-modelos + teoremas de unicidad

que he expuesto.

Pero siempre queda la duda de qué son realmente, aunque ahora estoy más contento con las cosas que he aprendido... y que ya sabía, sólo que no sabía que las sabía hasta que empecé a escribirlas.

Una cosa es demostrar que un teorema es cierto, y otra es lograr cierta "comprensión" del asunto.
Esa tarea extra-matemática roza peligrosamente lo no-lógico, y por eso me da algo de culpa defender tanto una "actitud" que no es nada "demostrable", pero que confío en que llevan por el buen camino.

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Jabato
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« Respuesta #17 : 01/11/2009, 07:20:15 pm »

Pues chico, tu te habrás aclarado más, no lo dudo, pero a mi me acabas de hacer polvo.

Saludos, Jabato. :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead:
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« Respuesta #18 : 01/11/2009, 07:43:41 pm »

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Y bueno.

Si te sirve de consuelo: la igualdad en matemática casi que no existe.
En general hay "un" objeto "salvo" isomorfismos. O sea, "muchos" objetos que son "equivalentes en algún sentido".
Esa idea abre muchos caminos en el pensamiento matemático. Y es lo común.

Así es como uno se abre paso en la teoría algebraica.

Sin embargo no creo haber sido tan "duro". Quizá sí al remover "ideas en la cabeza", pero el tratamiento que he dado a los detalles, creo que he sido lo más claro posible en los posts pertinentes de cada sistema.

Puede "abrumar" un poco ver todo esto así, pero a la larga es bueno, porque se abre la mente a muchas ramas de la matemática, y con menor dificultad, porque la cabeza ya está "mejor preparada".

Fijate que podría haber hecho los posts de una forma más exageradamente abstracta, con álgebra pura y sin compasión, relaciones de orden, y un sinfín de propiedades que nunca "aterrizan" ni se parecen a algo familiar.
Pero creo que las cosas que he posteado en cada sistema de números son digeribles por todo el mundo,
y uso razonamientos básicos y detallados.

Pero tamibién es cierto que introduzco nombres y propiedades que suelen usarse en:
  • Teoría algebraica: Los números nos ayudan a entender cómo surgen las estructuras algebraicas elementales.
    El habituarse a jugar con isomorfismos es ejercicio de entrenamiento para entrar en calor en el lenguaje algebraico.
    A mí no me gusta que el álgebra se vaya por caminos de divagación tan abstracto, porque se vuelve difícil de comprender de qué se está hablando con tantos grados de abstracción.
    Pero los números nos dan la oportunidad de empezar ese camino, si es que nos interesa andar por ahí.
  • Teoría de relaciones de orden: Los números nos ayudan a entender las propiedades más importantes de las relaciones de orden, y cómo se encajan armoniosamente en una estructura algebraica.
    Las relaciones de orden por sí mismas son una rama de la matemática con muchas vicisitudes (ordinales transfinitos, problema de Suslin, etc.).
  • Teoría topológica: Los números nos sirven de motivación para estudiar cuestiones geométricas y/o topológicas, ya que aparecen nociones de arquimedianeidad, distancias, convergencia, conjuntos abiertos, cerrados, compactos, etc.
    Entendiendo por ejemplo las propiedades del "continuo" de los números reales, se puede luego entrar al mundo abstracto de la topología sin dificultad. (Me refiero a la topología de la convergencia ante todo, no tanto la topología algebraica... en fin)

Estudiar a fondo los números abre las puertas a muchas cuestiones de la matemática.
Y por eso he procurado hablar de todo eso en términos lo más elementales que sea posible, con pruebas y definiciones detalladas, pero con la intención de dejar una puertecita abierta a muchas otras posibilidades.

Si hay detalles poco claras... avisen, che
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« Respuesta #19 : 07/11/2009, 02:49:06 am »

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Bueno, parece que han quedado claros todos los extremos, salvo eso que has comentado de los axiomasde los naturales.

Estuve editando el post de números naturales, y ahora he puesto una definición más precisa de lo que uno espera que sean los números naturales. He puesto, pues, una lista de 6 Postulados.
Elegí la palabra "Postulados" para distinguir un poco a esa lista de los "Axiomas" de la lista de Peano.

Por una parte, los números naturales tienen una serie de propiedades que todos sabemos que han de cumplir.
Podría haber listado más, pero son redundantes, porque se pueden demostrar a partir de los Postulados 1 al 6 que están puestos ahí ahora.

Pero hay una situación aún más confusa... y es que basta sólo el Postulado 1 para demostrar todas las propiedades conocidas de los números naturales. Este postulado invoca la lista de axiomas de Peano.
Si un sistema cumple los Axiomas de Peano, pueden construirse sobre su base las operaciones de suma y producto, y además la típica relación de orden entre los naturales.

Esto quiere decir que hay mucha redundancia en esos Postulados, y bastaría decir que, Axiomáticamente, los Numeros Naturales se caracterizan por los Axiomas de Peano.

Pero por otra parte, este punto de vista se puede tomar si uno parte de los Axiomas de Peano, e intenta con ellos demostrar las restantes propiedades...
¿Qué pasa si uno no parte de algunas otras propiedades, y trata de demostrar las restantes?
¿Qué pasa si uno pretende demostrar las "propiedades" de Peano a partir de otras propiedades de los números naturales, tomadas como hipótesis?
Esto es perfectamente válido, y puede hacerse, como mostraré en un futuro próximo (creo que algo he comentado alguna vez hace años en el foro), así que no es demasiado "sincero" el acto de conformarnos con una lista "mínima" de axiomas y probar las restantes propiedades de los naturales "más tarde" como teoremas.

Porque la verdad es que el "concepto de números naturales" abarca todas las propiedades listadas en los Postulados 1 a 6.
Esas propiedades son las que queremos que se cumplan. Eso son los números para nosotros.
El hecho de que unas puedan probarse a partir de otras con alta redundancia es algo interesante, que merece estudio, pero no hay razón para preferir unos postulados en vez de otros como los "postulados o axiomas primeros" de los números naturales.

De lo único que estamos seguros es que las propiedades de los Postulados 1 a 6 deben cumplirse todas.
Las queremos a todas.
A continuación, si queremos, podemos estudiar cuáles sublistas de esos postulados o propiedades son suficientes para "generar" a todas las demás.
La lista de propiedades de "Peano" son una de esas sublistas.
Pero hay otras, y prometo agrear prontamente detalles sobre ello.



Finalmente, agregué un modelo matemático concreto de número natural.
Matemáticamente hablando, lo único concreto que tenemos a mano para definir y demostrar cosas es la teoría de conjuntos.
No hay más objetos de los que podamos echar mano que los que la teoría de conjuntos nos autoriza.
Luego, formamos un conjunto N, que contiene un elemento designado como 1, y adosamos una función sucesor S, de tal manera que la terna (N,1,S) satisface los Axiomas de Peano.
A partir de ahí tenemos un modelo construido de números naturales, matemáticamente válido.

Esto nos dice que la teoría de los Axiomas de Peano, o si se prefiere, la de los Postulados 1 al 6, es una teoría no vacía.
Existe al menos una terna (N,1,S) que cumple con los requisitos de los números naturales.

A partir de ahí, pueden luego construirse cualesquiera otros conjuntos, que al darles una correspondencia biyectiva con "ése" N, se puede obtener otro modelo de números naturales.

Las posibilidades son ilimitadas, porque cualquier función biyectiva cuyo dominio sean los números naturales, se puede usar para "contagiarle" la estructura al conjunto "numerable" de llegada de la función.



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