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Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos  (Leído 66122 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Jabato
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« Respuesta #80 : 20/10/2011, 04:17:21 pm »

Y vamos a continuación a intentar desarrollar el producto de mantisas, es decir el producto de la forma:

[texx](0,m_1)\times (0,m_2)[/texx]

¿Alguna sugerencia?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #81 : 20/10/2011, 05:03:47 pm »

Yo ya dije cuáles son los pasos a seguir en ese caso.

En cuanto a tu preocupación por casos positivo y negativo, yo diría que eso no tiene importancia.

Basta pensar que todos los números son positivos, y al final de todo considerar qué ocurre con los signos.
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Jabato
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« Respuesta #82 : 20/10/2011, 05:50:50 pm »

Bueno, yo solo trataba de ver si a alguien se le ocurria alguna estrategia que pudiera simplificar algo la cosa, algo así como una "tormenta de ideas", pero ya veo que esto no va a ser fácil. De todas formas gracias por tu aporte. A mi me tira más la idea de convertir el producto de mantisas en una combinación de sumas y productos de mantisas por un entero, dos operaciones que ya sabemos realizar, y es posible que pueda hacerse aunque aún no veo la forma precisa de hacerlo. Le daré algunas vueltas más a ver si lo consigo precisar ó alguien nos aporta un nuevo punto de vista.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #83 : 06/11/2012, 05:43:19 am »

Hola, Argentinator. Acabo de descubrir este thread. Estoy interesado en la propiedad arquimediana de los diferentes conjuntos de números, y tu explicación es muy buena, muy gráfica. Pero todavía me quedan dudas. ¿Podrías echarle un vistazo a los mensajes que he colgado en el apartado Matemáticas Generales?.
No sé si he metido la pata diciendo que no veía cuál era la trascendencia de la propiedad arquimediana, y desde luego tenía que haber descubierto tu thread antes, habiendo buscado en el epígrafe que realmente le toca. :llorando:
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« Respuesta #84 : 06/11/2012, 06:12:06 am »

No soy partidario de los adjetivos, porque no sirven para resolver problemas ni demostrar teoremas.

La propiedad arquimediana tiene su mayor importancia en R, porque es un conjunto donde dicha propiedad vale de un modo no trivial.

Pero el hecho de que valga ahí es consecuencia de su relación con sus subsistemas N, Z, Q.

En cuanto a tus posts, no he comentado nada porque hacen una alegoría sobre Aquiles y la tortuga, y no soy muy amigo de esas interpretaciones. Me gustan más los cálculos en frío. Si hay algún problema matemático concreto, una demostración con la propiedad arquimediana, entonces me avisás y me fijo.

Saludos
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Marcos Castillo
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« Respuesta #85 : 06/11/2012, 07:53:03 am »

Es que lo que quiero es desmontar esa paradoja, y creo que la propiedad arquimediana lo consigue; pero no estoy seguro de estar razonando correctamente, porque al fin y al cabo soy un principiante.  :¿eh?:
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« Respuesta #86 : 07/02/2013, 09:52:58 pm »

Saludos

He estado leyendo los post y todos están muy interesantes.

Tengo una duda: el desarrollo de la teoría de cada sistema numérico ha sido acompañado de un grupo de axiomas que nos orientan sobre el conjunto de propiedades que determinan las características que dan forma a cada sistema. Por ejemplo para construir los números naturales se tuvo en cuenta los axiomas de Peano, o para los números enteros los axiomas de cuerpo + los de orden + el de completud. Por otro lado, puntualizando en mi duda, el conjunto de los números complejos suele presentarse como un conjunto de pares ordenados de reales, al cual se dota de una multiplicación y una suma, entonces  ¿existen unos axiomas que determinen las propiedades de los números complejos?
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« Respuesta #87 : 08/02/2013, 01:46:23 am »

Bueno, esto tendría que pensarlo.

Para seguir con el enfoque que estuve desarrollando, tendría que dar un sistema de axiomas para los números complejos.

Como haber un tal sistema, lo hay, no es nada complicado.

Pero el problema es que los sistemas axiomáticos que estuvimos desarrollando son "categóricos",
con lo cual quiero decir que satisfacen una propiedad de unicidad: todos los sistemas que satisfacen la lista de axiomas son isomorfos entre sí.

Así que la pregunta exacta sería: ¿existe un sistema axiomático de los complejos tal que todos los sistemas que cumplen esos axiomas son isomorfos entre sí?

O sea, estamos preguntando cuáles son los axiomas que caracterizan unívocamente a los complejos.

__________

Dado que eso no suele estar en los libros hay que pensarlo.
Hasta ahora no lo he pensado, confiando en que si me pongo a escribirlo me va a salir.
No obstante, es posible que haya algunos obstáculos para lograrlo.

Puedo acá ensayar algo:

Una lista [texx](C, +, \cdot, 0, 1,  i, R, <) [/texx] es un sistema de números complejos si:

* [texx]C[/texx] es un conjunto no vacío,
* [texx](C, +, \cdot, 0 , 1)[/texx] es un cuerpo con neutro 0 para la +, y neutro 1 para [texx]\cdot[/texx].
* [texx]R[/texx] es un subconjunto de [texx]C[/texx] tal que 0 y 1 son elementos de [texx]R[/texx], y tales que [texx](R, +, \cdot, 0, 1, <)[/texx] es un cuerpo ordenado completo (o sea, un sistema de números reales). [Aquí [texx]+,\cdot[/texx] son las operaciones de [texx]C[/texx] restringidas a [texx]R[/texx]].
Nota: La relación < solamente está definida en [texx]R[/texx], no está definida en el resto de elementos de [texx]C[/texx]. Esta aclaración algo incómoda se puede subsanar dando los axiomas de [texx]R[/texx] de un modo algo distinto.

* El elemento [texx]i[/texx] no pertenece a R, y cumple la relación [texx]i^2= -1[/texx].

* [texx](C, 0, +, \cdot|_{R\times C})[/texx] es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo [texx](R, 0, 1, +, \cdot)[/texx], donde 0 es el "vector" 0, y [texx]\cdot|_{R\times C}[/texx] es el "producto de escalares por vectores", que se toma como el producto de [texx]C[/texx] restringido a [texx]R\times C[/texx].

(Recordemos que todo espacio vectorial ha de definirse en relación a un cuerpo de escalares. Aquí especificamos explícitamente que el cuerpo de escalares es el mismo R que antes teníamos como subcuerpo ordenado completo de C).

Hay que prestar atención porque aquí las mismas operaciones de suma y producto de C sirven tanto para las operaciones de suma y producto del subcuerpo R, el cual a su vez es "cuerpo de escalares para C como espacio vectorial", y además el producto de C, debidamente restringido, funciona como "producto por escalar" de C como R-espacio vectorial.

* La dimensión de [texx]C[/texx] como [texx]R[/texx]-espacio vectorial es 2: [texx]dim_R(C) = 2[/texx]. Además, los "vectores" [texx]1[/texx] e [texx]i[/texx] son linealmente independientes, y constituyen una base del espacio vectorial [texx]C[/texx].


Creería que esos axiomas son suficientes para garantizar la unicidad (salvo isomorfismos) del sistema de los números complejos (siempre bajo una teoría formal y estándar de conjuntos).

Para verlo, hay que suponer que tenemos dos sistemas de complejos distintos:

[texx](C, +, \cdot, 0, 1, i, R, <)[/texx] y [texx](C', +', \cdot', 0', 1', i', R', <')[/texx]

y demostrar que:

* Existe una biyección [texx]h[/texx] entre [texx]C[/texx] y [texx]C'[/texx] tal que:
* [texx]h(0) = 0', h(1) = 1', h(i) = i', h(R) = R'[/texx],
* [texx]h(w+z) = h(w) + h(z), h(w\cdot z) = h(w)\cdot h(z).[/texx]
* [texx]w,z\in R, w< z[/texx] implica [texx]h(w), h(z) \in R'[/texx] y [texx]h(w) < h(z).[/texx]
* Y análogas propiedades para la función inversa [texx]h^{-1}[/texx].

No he hecho las comprobaciones, para ver si falta algo en el camino.

Si esos axiomas no caracterizan la unicidad de los sistemas de números complejos,
entonces habrá que agregar algún axioma más,
y para esto hay que elegir alguna propiedad característica de los números complejos,
como por ejemplo que C es un espacio vectorial con producto interno (no creo que esto agregue más información que la que ya hay desde los axiomas),
o que el subconjunto [texx]S = \{cos\theta + i\sen\theta: 0\leq\theta <2\pi\}[/texx] con el producto de [texx]C[/texx] restringido a [texx]S[/texx], forma un grupo conmutativo, isomorfo al grupo de matrices ortonormales reales de 2x2, con determinante 1.
Pero esto también seguramente es consecuencia de los axiomas.

O quizá el teorema de que todo polinomio de coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Otro día me pondré a hacer bien los cálculos, y los agregaré a la teoría de los sistemas numéricos.

Un saludo.
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« Respuesta #88 : 08/02/2013, 04:18:00 pm »

Hola Argentinator.

Gracias por la respuesta. Estoy viendo sistemas numéricos (también álgebra lineal) y la información de aquí me ha servido bastante para estudiar.

¿Estos axiomas determinan los complejos?

*[texx]C[/texx] es un cuerpo.

*[texx]C[/texx] tiene un subconjunto propio de números reales, con la misma suma, multiplicación, cero y uno que [texx]C[/texx].

*Existe un número imaginario (un complejo no real) [texx]i[/texx], tal que [texx]i^2=-1[/texx].

*Todo número complejo es de la forma [texx]a+bi[/texx] para únicos [texx]a,\,b[/texx] reales.

Si no lo son, corrígeme.




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« Respuesta #89 : 08/02/2013, 06:02:02 pm »

Me temo que he cruzado este hilo con este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=65635.msg263930#msg263930

y ahora han quedado demasiado enredados para deshacer la maraña. Traigo aquí algo planteado allí:

Hago aquí un comentario sobre un asunto que argentinator está tratando en este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877

Como voy a hacer referencia a lo dicho en este hilo, creo que será más fácil de seguir aquí.

En resumen: Todo conjunto con una suma y un producto que cumpla los axiomas de cuerpo, que tenga característica 0, que sea algebraicamente cerrado y que tenga cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx] es isomorfo al cuerpo [texx]\mathbb C[/texx] de los números complejos. Esto, como digo, es una posible respuesta (no la única, por supuesto) a la pregunta planteada en el hilo que he citado.

Recordaba que el hecho de ser algebraicamente cerrado era importante.
Pero me quedó la duda de si los otros axiomas que puse en "ese" hilo acaso serían suficientes, y ser algebraicamente cerrado sería ya un Teorema deducible de todo lo demás que supuse.
Creo que con probar la unicidad allí, y comprobando luego que la construcción básica de C como pares ordenados de reales cumple los requisitos allí exigidos, ya se podrían usar todos los teoremas conocidos de variable compleja, y en particular que C es algebraicamente cerrado.

Estimo que las cuentas son fáciles, pero no las he hecho.

Sí, es cierto, si garantizamos axiomáticamente que el cuerpo [texx]C[/texx] contiene una copia de [texx]\mathbb{R}[/texx] (sea explícitamente, como hace Lycan, o indirectamente, a través de una caracterización axiomática de [texx]\mathbb R[/texx], como hace argentinator), las propiedades exigidas ya garantizan que [texx]C\cong \mathbb C[/texx] (es decir, que la respuesta a la última pregunta de Lycan es afirmativa) y en particular que C es algebraicamente cerrado.

De hecho (y no sé si esto es simplificar o complicar las cosas) se puede omitir toda referencia a [texx]i[/texx] en los axiomas y suponer únicamente que [texx]C[/texx] es un espacio vectorial de dimensión finita (mayor que 1) sobre [texx]\mathbb R[/texx].
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« Respuesta #90 : 08/02/2013, 08:10:31 pm »

Puestos a buscar caracterizaciones sencillas de [texx]\mathbb{C}[/texx], se me ocurre otra en términos del valor absoluto (quiero decir sencillas de enunciar, no de probar).

Sea [texx](C,+,\cdot, |\ |)[/texx] una cuádrupla que cumpla las condiciones siguientes:

1) [texx](C,+,\cdot)[/texx] es un cuerpo de característica 0 (es decir, tal que al sumar 1 consigo mismo las veces que sea nunca da 0 o, equivalentemente, tal que [texx]\mathbb Q\subset C[/texx]).

2) [texx]|\ |:C\longrightarrow \left[0,+\infty\right[[/texx] cumple las propiedades siguientes:

a) [texx]|x|=0\leftrightarrow x=0[/texx]

b) [texx]|x|=|-x|[/texx]

c) [texx]|x+y|\leq |x|+|y|[/texx]

d) La restricción de [texx]|\ |[/texx] a [texx]\mathbb Q[/texx] es el valor absoluto usual.

Estas propiedades implican que [texx]d(x,y)=|x-y|[/texx] es una distancia en [texx]C[/texx].

3) [texx](C, d)[/texx] es un espacio métrico completo.

Bajo estas condiciones, si suponemos que [texx]\mathbb Q[/texx] es denso en [texx]C[/texx], entonces [texx]C\cong \mathbb R[/texx].

En cambio, si suponemos que existe [texx]i\in C[/texx] tal que [texx]i^2=-1[/texx] y [texx]\mathbb Q(i)[/texx] es denso en [texx]C[/texx], entonces [texx]C\cong \mathbb C[/texx] y la clausura [texx]\overline{\mathbb Q}\cong \mathbb R[/texx].

Aquí, [texx]\mathbb Q(i) = \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Q\}[/texx].

Este enfoque presupone conocido [texx]\mathbb R[/texx], pero no como subcuerpo de [texx]C[/texx].

AÑADO:

He estado repasando, y me he dado cuenta de que en realidad las condiciones en esta línea se pueden simplificar mucho:

Sea [texx](C, +, \cdot, |\ |)[/texx] una cuádrupla tal que:

1) [texx](C,+,\cdot)[/texx] es un cuerpo

2) [texx]|\ |: C\longrightarrow \left[0,+\infty\right[/texx] cumple las tres propiedades a), b), c) de los valores absolutos y además [texx]|n|=n[/texx] para todo número natural [texx]n[/texx] (donde el [texx]n[/texx] de dentro del valor absoluto hay que entenderlo como la suma de [texx]n[/texx] veces [texx]1[/texx] en [texx]K[/texx]).

3) C es completo con la distancia definida por el valor absoluto.

4) Existe un [texx]i\in C[/texx] tal que [texx]i^2=-1[/texx].

Bajo estas condiciones [texx]C\cong \mathbb C[/texx] y la clausura de [texx]\mathbb Q[/texx] en C es isomorfa a [texx]\mathbb R[/texx].
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« Respuesta #91 : 09/02/2013, 12:32:57 am »

Bueno, parece que Carlos nos ha traído nuevas posibilidades.
Por supuesto, me gustan todas.

Una cosa que parece que "todo el mundo desea" es siempre buscar las caracterizaciones que sean lo más "sencillas de enunciar" que sea posible.

Yo, en cambio, al menos en lo que respecta a estos hilos de la construcción de sistemas numéricos,
no me interesa tanto esa sencillez o brevedad, sino que busco:

¿Cuáles son todas las propiedades deseables que un sistema numérico debiera cumplir?
O sea, busco una lista "máxima" de axiomas, no tanto una "mínima".

Así, es muy posible que nos encontremos con muchos axiomas redundantes,
que se demuestran en realidad unos a otros como teoremas.

La razón de que busco esto es filosófica.
Ante la pregunta: ¿cuál es la "definición" del concepto de "números complejos", o de "números enteros", etc., etc.?
lo más apropiado es que pongamos en una colección todas las propiedades que nosotros creemos que "debiera cumplir" un tal sistema.

Porque si no, ¿qué significado tiene cuando decimos que "tal o cual sistema satisface luego TODAS las propiedades usuales de los números complejos"? (Lo mismo para naturales, enteros, etc.).

El decir frases así presupone que tenemos dando vueltas un "concepto de sistema de números complejos".
¿Cuál es ese concepto?
¿Cómo hacemos para decir que todos los sistemas de tal o cual forma es "lo mismo" que C?

Carlos ha dicho que con "tales y tales propiedades" se puede demostrar que un conjunto C es "isomorfo" a [texx]\mathbb{C}[/texx]. ¿A cuál [texx]\mathbb{C}[/texx]?

O sea, ¿qué es un isomorfismo de sistemas de números complejos?
¿Cómo se define que dos de tales sistemas son "isomorfos"?

Para eso hace falta un "concepto" de sistema de número complejo,
de tal manera que dados dos sistemas C, C', al decir que una biyección entre C y C' es un isomorfismo, lo que estamos diciendo es que la biyección "conserva TODAS las propiedades" de un "sistema de números complejos".

De nuevo, ¿cuáles son TODAS esas propiedades?

_____________

Si les damos vueltas al asunto, creo que vamos a terminar diciendo cosas muy parecidas a la lista de axiomas que propuse,
y además agregar la importante propiedad de que todo polinomio tiene una raíz (o sea, algebraicamente cerrado).



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« Respuesta #92 : 09/02/2013, 12:39:38 am »

Se ve más sencillo lo que quiero decir si lo pensamos para un isomorfismo de espacios vectoriales.
Ahí está claro lo que es un espacio vectorial, y qué es lo que un isomorfismo de espacio vectorial tiene que cumplir.

Lo mismo para isomorfismos de grupos, entre otras cosas.

Lo que no se suele plantear es un "isomorfismo de sistemas numéricos".

Si uno toma a los sistemas numéricos igual que a cualquier otro concepto matemático,
no sabe a priori si ese concepto satisface: existencia y unicidad.
Antes de eso, hay que definir claramente el concepto (enunciando TODAS las propiedades, ¿cuáles son TODAS?) de sistema de números naturales, o de enteros, etc.

Luego sí uno puede plantearse preguntas sobre la existencia y la unicidad.
La unicidad se plantea bajo "isomorfismos".
Y el isomorfismo tiene que ser de algún tipo claramente establecido. No puede quedar "en el aire".

La cosa se confunde acá, porque después de todo vamos a llegar siempre a la conclusión de que todos los sistemas de números complejos, por ejemplo, son isomorfos entre sí,
o sea, es como si en el fondo hubiera sólo uno,
y no haría falta definirlo por axiomas.

Pero eso no pasa con otras entidades matemáticas.
Con grupos o con espacios vectoriales no hay esa suerte.

______________


Pero hay todavía una sutileza más en todo esto.

Estamos suponiendo siempre una teoría de conjuntos clásica de fondo,
en donde hemos hecho las construcciones de los sistemas numéricos y la definición de los conceptos.

Pero ¿siempre vamos a tener las mismas teorías de conjuntos, o los mismos axiomas para toda la matemática?

En cambio, los sistemas numéricos van a sobrevivir aún cuando los fundamentos de la matemática evolucionen de un modo u otro.

Así, es bueno también en ese caso tener listadas "TODAS" las propiedades de un sistema numérico dado, porque no sabemos si las podremos necesitar bajo unas bases matemáticas menos complacientes.


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« Respuesta #93 : 09/02/2013, 12:20:03 pm »

Yo, en cambio, al menos en lo que respecta a estos hilos de la construcción de sistemas numéricos,
no me interesa tanto esa sencillez o brevedad, sino que busco:

¿Cuáles son todas las propiedades deseables que un sistema numérico debiera cumplir?
O sea, busco una lista "máxima" de axiomas, no tanto una "mínima".

No acabo de captar la idea. Si das unos axiomas mínimos y de ellos deduces todas las demás propiedades hasta llegar a esa lista "máxima", tienes toda la información mucho mejor organizada.

Así, es muy posible que nos encontremos con muchos axiomas redundantes,
que se demuestran en realidad unos a otros como teoremas.

La razón de que busco esto es filosófica.
Ante la pregunta: ¿cuál es la "definición" del concepto de "números complejos", o de "números enteros", etc., etc.?
lo más apropiado es que pongamos en una colección todas las propiedades que nosotros creemos que "debiera cumplir" un tal sistema.

Cierto, pero si sabemos que todas se deducen de unas pocas, resulta que se vuelve equivalente decir que "debiera cumplirlas todas" o decir que "debiera cumplir esas pocas".

Porque si no, ¿qué significado tiene cuando decimos que "tal o cual sistema satisface luego TODAS las propiedades usuales de los números complejos"? (Lo mismo para naturales, enteros, etc.).

Pues tiene exactamente el mismo significado que decir que cumple las pocas que los caracterizan, pues es equivalente cumplirlas todas o esas pocas. De hecho, eso te da la definición de "todas" que estás buscando. "Todas" son todas las que se deducen de esas pocas concretas.

El decir frases así presupone que tenemos dando vueltas un "concepto de sistema de números complejos".
¿Cuál es ese concepto?
¿Cómo hacemos para decir que todos los sistemas de tal o cual forma es "lo mismo" que C?

Insisto en que no te acabo de entender y estoy tratando de esforzarme por lograrlo, y lo que te contesto no son tanto objeciones como intentos de hacerte ver qué puedo estar entendiendo mal.  Por ejemplo, las dos preguntas que haces aquí me parecen bastante diferentes. Diría que una respuesta a la primera en la línea que tratas de fijar sería decir que "los números complejos" son el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a [texx]\mathbb R[/texx]. Creo que eso es lo que "pretenden ser" los números complejos, y presupone la demostración de si en un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a [texx]\mathbb R[/texx] tomamos el menor subcuerpo que cumple esto, dicho subcuerpo existe y es isomorfo al que podríamos obtener a partir de cualquier otro cuerpo en dichas condiciones.

En cuanto a la segunda pregunta, me parece trivial, y por eso entiendo que no te entiendo: lo que hacemos es probar que dos estructuras cualesquiera que cumplan tales axiomas son isomorfas entre sí, y entonces llamamos [texx]\mathbb C[/texx] a cualquiera de ellas. ¿Qué se me escapa?

Carlos ha dicho que con "tales y tales propiedades" se puede demostrar que un conjunto C es "isomorfo" a [texx]\mathbb{C}[/texx]. ¿A cuál [texx]\mathbb{C}[/texx]?

A cualquiera definido de modo que cumpla las propiedades. Quiero decir que puedes tomar a cualquiera de ellos como definición de [texx]\mathbb{C}[/texx] teniendo en cuenta que la definición sólo es relevante salvo isomorfismo, pero me consta que esto lo sabes perfectamente, por lo que sigo sin entenderte.

O sea, ¿qué es un isomorfismo de sistemas de números complejos?
¿Cómo se define que dos de tales sistemas son "isomorfos"?

Toda el álgebra y toda la topología y la métrica de los números complejos se desprende de su estructura de cuerpo. En todo cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] puedes definir una topología que lo haga homeomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] un valor absoluto "isomorfo" al de [texx]\mathbb C[/texx] en el sentido que fácilmente se precisa, etc.

Dos sistemas son isomorfos cuando puedes poner en correspondencia biyectiva los números de uno con los del otro y todos los conceptos definidos en uno con los del otro de forma que la biyección conserva todos estos conceptos en el sentido usual (la imagen de la suma es la suma de las imágenes, la imagen del valor absoluto es el valor absoluto de las imágenes, etc.). Pero no me quito la sensación de no decirte nada que no sepas ya.

Para eso hace falta un "concepto" de sistema de número complejo,
de tal manera que dados dos sistemas C, C', al decir que una biyección entre C y C' es un isomorfismo, lo que estamos diciendo es que la biyección "conserva TODAS las propiedades" de un "sistema de números complejos".

De nuevo, ¿cuáles son TODAS esas propiedades?

Las que garantizan el isomorfismo y, si quieres, todas las que se deducen de ellas. Ahí puedes hacer una lista tan larga como quieras.

Si les damos vueltas al asunto, creo que vamos a terminar diciendo cosas muy parecidas a la lista de axiomas que propuse, y además agregar la importante propiedad de que todo polinomio tiene una raíz (o sea, algebraicamente cerrado).

Obviamente, tu lista vale, y como tú mismo indicas, es redundante. Sí. No sé qué decirte.

Se ve más sencillo lo que quiero decir si lo pensamos para un isomorfismo de espacios vectoriales.
Ahí está claro lo que es un espacio vectorial, y qué es lo que un isomorfismo de espacio vectorial tiene que cumplir.

Lo mismo para isomorfismos de grupos, entre otras cosas.

Lo que no se suele plantear es un "isomorfismo de sistemas numéricos".

Si uno toma a los sistemas numéricos igual que a cualquier otro concepto matemático,
no sabe a priori si ese concepto satisface: existencia y unicidad.
Antes de eso, hay que definir claramente el concepto (enunciando TODAS las propiedades, ¿cuáles son TODAS?) de sistema de números naturales, o de enteros, etc.

No veo la distinción que pretendes hacer: Al hablar de espacios vectoriales, tienes por una parte los axiomas de espacio vectorial, y por otra parte las propiedades adicionales que se deducen de esos axiomas, como que un escalar por el vector cero da el vector cero, etc. La única diferencia a lo sumo es que existe un consenso en qué propiedades tomar como axiomas de espacio vectorial, mientras que hay muchas alternativas distintas que podrías tomar como definición de "sistema de los números complejos", pero ello se debe a que hay espacios vectoriales no isomorfos entre sí, mientras que con los números complejos buscamos unos axiomas que determinen una única estructura salvo isomorfismo, y ello hace que puedas construir (de varias formas) una estructura así sin necesidad de concretar unos axiomas y, recíprocamente, que puedas elegir distintos grupos de axiomas que determinen la misma estructura.

Luego sí uno puede plantearse preguntas sobre la existencia y la unicidad.
La unicidad se plantea bajo "isomorfismos".
Y el isomorfismo tiene que ser de algún tipo claramente establecido. No puede quedar "en el aire".

La cosa se confunde acá, porque después de todo vamos a llegar siempre a la conclusión de que todos los sistemas de números complejos, por ejemplo, son isomorfos entre sí,
o sea, es como si en el fondo hubiera sólo uno,
y no haría falta definirlo por axiomas.

Pero eso no pasa con otras entidades matemáticas.
Con grupos o con espacios vectoriales no hay esa suerte.

Exacto. Es lo que acabo de decir (es que te contesto a medida que te leo, sin anticiparme). Te decía antes que todas las propiedades de los números complejos se deducen de su estructura de cuerpo, luego basta conservar ésta. En realidad debo hacer una rectificación. Como ya decía en otro mensaje, a partir de un [texx]\mathbb C[/texx] determinado axiomáticamente como mero cuerpo, no podemos reconstruir [texx]\mathbb R[/texx], luego para tener definido "todo lo relevante" sobre [texx]\mathbb C[/texx], incluyendo que extiende a [texx]\mathbb R[/texx], necesitamos asegurar que tenemos un cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] y una forma de identificar dentro de él un cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb R[/texx].

Por lo tanto, el tipo de isomorfismo que no quieres dejar en el aire, sería un isomorfismo de cuerpos que se restringiera a otro isomorfismo entre los subcuerpos respectivos identificados como [texx]\mathbb R[/texx] en cada caso.

Pero hay todavía una sutileza más en todo esto.

Estamos suponiendo siempre una teoría de conjuntos clásica de fondo,
en donde hemos hecho las construcciones de los sistemas numéricos y la definición de los conceptos.

Pero ¿siempre vamos a tener las mismas teorías de conjuntos, o los mismos axiomas para toda la matemática?

En cambio, los sistemas numéricos van a sobrevivir aún cuando los fundamentos de la matemática evolucionen de un modo u otro.

Eso sí que es más sutil. Y me pregunto (no niego, sino que me cuestiono) si la pregunta está bien planteada. Y lo digo pensando en esto: Considera una teoría de conjuntos no estándar, es decir, una teoría de conjuntos que tiene incorporados los principios del análisis no estándar. En esa teoría (quiero decir, en una de las teorías actualmente conocidas en esas condiciones) puedes definir un conjunto de los números reales, y demostrar todos los teoremas que los matemáticos demuestran sobre números reales, derivadas, integrales, etc., pero también puedes demostrar que existen infinitésimos no nulos, cosa que es falsa en ZFC

Las teorías de las que hablo son equiconsistentes con ZFC, por lo que si ésta "cae", caen también. Pero ¿qué pasaría si "cayera" ZFC y fuera sustituida por una teoría no estándar, es decir, por una teoría en la que "quieras que no", cuando defines [texx]\mathbb R[/texx] necesariamente te lo encuentras poblado de infinitésimos no nulos. ¿Habrían sobrevivido, como dices, los números reales que conocemos al cambio de axiomática?

Así, es bueno también en ese caso tener listadas "TODAS" las propiedades de un sistema numérico dado, porque no sabemos si las podremos necesitar bajo unas bases matemáticas menos complacientes.

No digo que no tengas razón en lo que dices, pero creo que, cuando no se juega uno la vida en ello, no es eficiente tratar de sobreponerse a una catástrofe antes de saber cuál podría ser la catástrofe y, con qué características, porque si sabes que vas a estar vivo después de que suceda, es mejor plantearse el asunto cuando sepas a qué te enfrentas.
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« Respuesta #94 : 09/02/2013, 01:43:45 pm »

Bueno, no sé si tengo razón, qué sé yo.

Además, algunas de las preguntas que he lanzado tienen alguna vuelta retórica.

______________

En cuanto a la eficiencia, es claro que lo que planteo no es eficiente, y no vale la pena hacer lo que propongo, en la práctica.

Pero acá estamos hablando de los sistemas numéricos como axiomas, y buscando ejemplos de conjuntos construidos, que satisfacen esos axiomas.

__________


Yo lo que digo acá es que el "concepto" de "sistema de números naturales", por ejemplo (complejos, enteros, da igual), es algo que ya traemos de antemano.

Cuando damos una lista de axiomas, no tenemos la certeza de que van a cumplir todo lo que "pretendemos que cumplan".
Hasta que no comprobamos todas las propiedades "que consideramos usuales" de los naturales, es que el sistema axiomático elegido todavía no está aceptado como "un sistema de axiomas" que define los naturales.

Sólo cuando hemos comprobado propiedades una lista bastante grande de propiedades,
y vemos que los axiomas nos permiten operar en la práctica de la forma que nos gustaría o esperamos, entonces es que estamos satisfechos, y la lista de axiomas se acepta.

Si no, los axiomas no se aceptarían, y se buscarían otros.

O sea que los axiomas dependen de un concepto previo que ya tenemos en nuestra mente de cómo se supone que deben comportarse los números.

Ese comportamiento esperado, es la lista de las propiedades algebraicas, ordinales y analíticas de cada sistema numérico, más el hecho de que C extiende a R, R extiende a Q, etc.

Esos "deseos" o ese "comportamiento esperado", es lo que "realmente define" a los sistemas numéricos.
Están definidos desde antes de que escribamos los axiomas, porque ellos se comportan como nosotros creemos que se debieran comportar.

Tal es así, que si esto no ocurriera, se cambiarían hasta los axiomas de la teoría de conjuntos si fuera necesario.

Por eso, esa lista "maximal", es la lista de todas las propiedades que vamos a usar en la práctica,
que nos gusta que estén ahí, y que esperamos que un buen sistema axiomático cumpla.

_________________

No sé si te escapa algo.
A lo mejor estoy enfocando el asunto de un modo inadecuado.

Lo único que sé es que, cuando me he puesto a escribir y pensar acerca de qué son los números,
tuve que preguntarme por el papel que juegan las construcciones, qué papel juegan los axiomas, y de todo eso qué son los números y qué no lo son.

Y al final terminé reflexionando que los axiomas y los teoremas son lo mismo, en el sentido de que todos ellos tienen que estar presentes para que uno diga: "Ahá, ahora estas sí son TODAS las propiedades que espero que cumpla un sistema de números complejos, y por lo tanto usaré luego el sistema axiomático que los produjo".

El estudio de todas las posibles caracterizaciones  axiomáticas, desde distintos puntos de vista, no es "económico", sino que es conocimiento acumulado. Pero eso es lo que estamos estudiando acá.

Lo mismo que las distintas maneras de construir, digamos R. Algunas serán más eficientes que otras, y basta con exhibir una sola construcción para convencerse de que el sistema de axiomas dado tiene sentido. Pero todas las posibles construcciones nos enseñan, cada una, un aspecto distinto de qué son los números reales.

Para comprender profundamente los números, intento poner todo sobre el tapete, por ineficiente que sea, porque no nos interesa aquí su "utilización" sino su construcción.

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« Respuesta #95 : 09/02/2013, 02:08:07 pm »

Este hilo surgió tratando de llenar huecos que suelen dejar, creo yo, los textos básicos, o incluso los cursos básicos de la universidad.

Una vez oí decir a un profesor algo como esto: "los números reales se pueden introducir por el método constructivo o por el método axiomático".

Nunca le dí mayor importancia a eso, y no tuve necesidad de cuestionarlo.
Sólo cuando me puse a escribir en este hilo sobre el tema es que empecé a darme cuenta que se dicen muchas cosas por ahí, que la gente no suele reflexionar demasiado.
Estos dichos y otros poco afortunados, los he oído de estudiantes y profesionales, en diversos lugares, y creo que es por falta de reflexión sobre el asunto. Se aceptan algunos hechos sólo como "creencias", y listo.

No es que sea algo muy grave, porque los números son algo que siempre funciona bien.

Pero ahora me queda muy claro que lo axiomático "no son un método más", sino una definición, que es obligatorio que esté.
Y las construcciones no sólo no son suficientes, sino que también son necesarias, porque le dan consistencia al concepto definido por los axiomas. Tiene que haber un conjunto que cumpla los axiomas, para que la teoría no sea trivial.

Y por último me convencí de que "el verdadero jefe", el que manda, es un concepto de número previo.

La lista de todas esas propiedades deseables y usuales de cada sistema numérico, eso es lo que define el concepto.
Si después se logran con un reducido número de axiomas, es otra cosa.

Ese concepto va a sobrevivir, con los axiomas que fueren,
porque lo que interesa es poder usar esas propiedades que todos conocemos, y no otras.

No conozco la teoría de números no estándar para poder contestar si cambiaría yo de opinión en esto último que dije.
Pero por ahora, creo que una teoría con infinitesimales no es una teoría de números reales, sino otra cosa.
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« Respuesta #96 : 09/02/2013, 07:43:33 pm »

Bueno, creo que te voy entendiendo. Te doy mi opinión sobre el asunto.

Creo que no se puede "meter en el mismo saco" a los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Creo que la situación es distinta en cada caso. Bueno, los tres primeros son bastante similares, pero bastante distintos de los dos últimos, que a su vez son bastante distintos entre sí.

Creo que de las cosas que dices, unas se aplican más a unos casos y otras más a otros, pero al tratar de aplicarlas a todos a la vez es donde surge la confusión.

Tomemos primero los números naturales. Coincido contigo (como bien sabes) en que primero tenemos un concepto previo que se puede plasmar en unos axiomas y luego podemos dar una construcción explícita de un conjunto que cumpla esos axiomas, pero de modo que son los axiomas los que hacen aceptable la construcción y es la idea previa la que hace aceptables los axiomas.

Ahora bien, discrepo en que hagan falta más propiedades aparte de los axiomas de Peano para que podamos decir que hemos capturado correctamente el concepto de número natural. Los axiomas de Peano dicen que los números naturales son el (o un) cero, y su siguiente, y su siguiente... y nada más (el "nada más" lo aporta el principio de inducción), y creo que eso y nada más que eso hace que los números naturales sean "lo que deben ser". Todas las propiedades que vengan después serán las que serán. A lo sumo habrá que pensar en ellas a la hora de juzgar, por ejemplo, si una definición de suma es aceptable o inaceptable. Si pretendes (lo cual es muy sensato) incluir la suma de números naturales como parte del "sistema de los números naturales", entonces la propiedad que dice que la suma es la que tiene que ser es la que establece que el cardinal de una unión finita de conjuntos es la suma de los cardinales, y ya está. Todas las demás propiedades serán las que serán, pero una suma será "la suma" siempre y cuando cumpla esta propiedad. Si defines la suma de otro modo (por ejemplo, con la típica relación recurrente) uno se convencerá de que esa definición "es buena" en cuanto se convence de que la suma así definida es la misma que la definida por la propiedad del cardinal de la unión. Todas las demás propiedades son, a mi juicio, auxiliares.

Con los números enteros pasa algo parecido: unos axiomas o una construcción serán razonables siempre y cuando produzcan un conjunto que tenga el aspecto de "dos copias de los naturales pegadas por el cero". Ésa es la idea previa que hay detrás del concepto de número entero y las demás propiedades serán las que serán.

En cuanto a la aritmética de los enteros, la suma y el producto deben cumplir que extiendan a las de los números naturales y que den estructura de anillo. Que luego va y resulta que el anillo es íntegro o un dominio de factorización única, pues mejor que mejor, pero no creo que nadie tenga una idea preconcebida de cómo tiene que ser la suma de los números enteros más allá de que debe extender a la de los números naturales y respetar las normas de manipulación algebraica que conocemos (o sea, la estructura de anillo).

Y lo mismo vale para los números racionales. En suma, en estos tres casos coincido contigo en que hay una idea previa perfectamente definida a la cual se deben subordinar tanto los axiomas como las construcciones, pero discrepo en que esa idea previa sea equiparable a "todas las propiedades relevantes". Tú mismo dudas sobre cuáles deberían ser "todas" esas propiedades, mientras que tienes perfectamente clara la noción de número natural o entero, etc. Yo interpreto eso como que esa idea previa sobre los sistemas numéricos hasta los racionales no abarca una amplia lista de propiedades, sino meramente aquellas que realmente determinan qué aspecto deben tener los números (siguientes del cero para los naturales, naturales con signo para los enteros, cocientes de enteros para los racionales) y en qué consiste esencialmente sumar y multiplicar números.

La cosa cambia radicalmente, siempre a mi juicio, con los reales y los complejos. Empiezo por los complejos, que es más fácil. Yo creo que no existe absolutamente ninguna idea preconcebida de lo que "deben ser" los números complejos. Los matemáticos se los encontraron medio por casualidad y de ahí "salió lo que salió". La única idea subyacente al concepto de número complejo es que es un cuerpo (es decir, un conjunto de números que se pueden operar como si fueran números reales, con las mismas propiedades de manipulación algebraica) pero en el que los números negativos tienen raíz cuadrada. Que luego ese cuerpo resultara ser algebraicamente cerrado fue un regalo de los dioses, pero si hubiera resultado no serlo, los números complejos habrían sido los mismos. Y no digamos ya las curiosas propiedades que tienen las funciones holomorfas, como el principio de prolongación analítica, etc. Todo eso viene dado "por añadidura", sin que nadie lo haya pedido (y mucho menos exigido).

Si lo vemos así, cualquier construcción del cuerpo de los números complejos no es más que una forma de obtener un cuerpo que extienda a [texx]\mathbb R[/texx] y en el que los números negativos tengan raíz cuadrada. Creo que el hecho de que al final un número complejo sea de la forma [texx]a+bi[/texx] es algo que nos encontramos, no algo que imponemos como condición para que consideremos a algo digno de ser llamado "número complejo".

El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija". Si miramos lo que los matemáticos han entendido por número real a lo largo de la historia, resulta que los griegos no concebían los números negativos y admitían al regañadientes algunos números irracionales. El concepto moderno de número real "viene grande" a cualquier concepto que pudiéramos encontrar en la mente de un griego.

En cambio, el concepto de número real de los siglos XVII, XVIII y parte del XIX es más generoso que el moderno, pues incluye números infinitesimales, de modo que los números reales del análisis no estándar están más próximos del concepto de número real que tenía Euler que los números reales de Cantor o Dedekind. Pero es que aun en tiempos de Cantor y Dedekind vivía Kronecker, quien afirmaba resueltamente que los números trascendentes no existen, luego su concepto de número real era más próximo al de los griegos que al de Cantor o Dedekind.

Yo creo que cuando Cantor dijo: "voy a llamar números reales a los objetos construidos así", no estaba formalizando una idea previa unívoca de número real, sino más bien concretando una de varias alternativas posibles. Dicho de otro modo: si unos extraterrestres visitaran la Tierra, creo que podríamos estar seguros de que conocerían unos números naturales, enteros y racionales "isomorfos" a los nuestros, pero, ¿podríamos asegurar que sus números reales serían isomorfos a los nuestros? La diferencia entre el análisis estándar y el no estándar es que el segundo está lleno de tecnicismos lógicos que lo hacen enojoso al "matemático estándar", ¿pero no podrían los extraterrestres estar habituados a una lógica más compleja (fíjate que hablo de una diferencia meramente cultural, no digo que tuvieran mentes que funcionaran de forma diferente a la nuestra) de modo que los números reales no estándar les parecieran una teoría más natural, y en cambio nuestros números estándar les parecieran "primitivos"?

Desde este punto de vista, creo que los números reales se definen realmente por una construcción de los números reales. Es verdad que cuando uno piensa en un número informalmente no piensa ni en una "cortadura" ni en una "clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy", pero también creo que el concepto en que uno piensa es vago, hasta el punto de que Cantor, Kronecker y Euler podían razonar con conceptos diferentes bajo esa misma idea informal de número real, y sólo una construcción específica (en principio en una teoría de conjuntos específica) acaba de definir el concepto. En esa idea previa, no concreta del todo, de número real hay incorporadas ideas sobre cómo deben sumarse, multiplicarse y ordenarse los números reales, y la construcción debe respetar esas propiedades, pero esas propiedades no alcanzan para concretar un concepto de número real, sino que dejan abiertas variantes que deben ser concretadas con una construcción o con axiomas adicionales que caractericen salvo isomorfismo el producto de una construcción.
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« Respuesta #97 : 09/02/2013, 08:15:51 pm »

Bueno, yo solo añadiré algo por no estar demasiado de acuerdo con lo que dice Ivorra. Si creo que existe un concepto preconcebido de los reales, al igual que existe de los naturales, de los enteros e incluso de los racionales. Aunque básicamente podemos decir que los números propiamente dichos son los naturales y los reales ya que los otros (enteros, racionales y complejos) son básicamente estructuras más o menos complejas formadas a partir de los anteriores y construidas "ad hoc" para conseguir un objetivo bien establecido. Pero las ideas preconcebidas que hay detrás de los naturales y de los reales son muy claras para mi, los números naturales sirven para contar objetos y los reales sirven para medirlos, luego sí hay una idea preconcebida de los reales, de igual forma que la hay de los naturales. De hecho una de las construcciones más habituales de los reales es la identificarlos con puntos de la recta real, el método de las cortaduras de Dedekind, o el descubrimiento, creo que legendario, de la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 en el seno de la comunidad Pitagórica, por ejemplo.

Personalmente creo que todo el desarrollo histórico de los números esta determinado por esas ideas preconcebidas de lo que tales objetos deben ser, incluso Gauss cuando abordó el problema de los complejos sabía como debían comportarse (al menos en su forma mas elemental) y por lo tanto tenía una idea preconcebida, ya que los números imaginarios eran conocidos desde mucho antes, e incluso los algebristas sabían que cosas podían hacerse con ellos y llegar a soluciones correctas manipulándolos de la forma adecuada.

Así pues para mí es más correcto decir que los distintos tipos de números se han formalizado en base a las ideas preconcebidas que hemos tenido de ellos. De donde han salido esas ideas, eso es harina de otro costal, pero que dichas ideas existían mucho antes de que la formalización subsiguiente se produjera eso es incuestionable para mi.

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« Respuesta #98 : 09/02/2013, 09:35:41 pm »

El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija".

En la actualidad, me parece que la idea intuitiva que la mayoría tiene de los números reales es la de puntos en una recta (por más que esa identificación adolezca de algunas deficiencias). A tal punto esto es así, que por ejemplo, cuando se va a definir el límite de una sucesión [texx]\lim a_n=a[/texx], es común dibujar una recta y el entorno [texx](a-\epsilon,a+\epsilon)[/texx] para un [texx]\epsilon>0[/texx] cada vez más pequeño y ver como a partir de un umbral [texx]n_0[/texx] los puntos [texx]a_n[/texx] van cayendo en ese entornito (al menos así me lo explicaron en el liceo). También que fuera del entorno quedan una cantidad finita de términos, etc.

Y así en muchos casos más, de manera que yo creo que ésa es la "idea previa" de número real que se tiene al día de hoy. Por lo menos, ésa es mi impresión.

Añado: Perdón, no había leído el mensaje de Capitan Trueno al momento de escribir este post. Estoy bastante de acuerdo con lo que dice.

Pero las ideas preconcebidas que hay detrás de los naturales y de los reales son muy claras para mi, los números naturales sirven para contar objetos y los reales sirven para medirlos, luego sí hay una idea preconcebida de los reales, de igual forma que la hay de los naturales.

Pienso igual.

Personalmente creo que todo el desarrollo histórico de los números esta determinado por esas ideas preconcebidas de lo que tales objetos deben ser, incluso Gauss cuando abordó el problema de los complejos sabía como debían comportarse (al menos en su forma mas elemental) y por lo tanto tenía una idea preconcebida, ya que los números imaginarios eran conocidos desde mucho antes, e incluso los algebristas sabían que cosas podían hacerse con ellos y llegar a soluciones correctas.

También en el caso de los cuaterniones. Se cuenta que Hamilton iba acompañado de su mujer en el puente Brougham (en Dublín), cuando de repente se le ocurrió una gran idea: escribió en su libreta la ecuación [texx]i^2=j^2=k^2=ijk=-1[/texx]. A partir de ese momento, trabajó duramente a lo largo de su vida para desarrollar toda una teoría en base a una ecuación que concibió casi espontáneamente.

Así pues para mí es más correcto decir que los distintos tipos de números se han formalizado en base a las ideas preconcebidas que hemos tenido de ellos. De donde han salido esas ideas, eso es harina de otro costal, pero que dichas ideas existían mucho antes de que la formalización subsiguiente se produjera eso es incuestionable para mi.

Sí, yo pienso más o menos igual. Pero es mi modesta opinión, puedo estar equivocado.
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« Respuesta #99 : 09/02/2013, 09:53:09 pm »

El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija".

Pero fíjate que lo que cuestiono es que haya "algo concreto" "fijo". No digo que el concepto de "número real" esté vacío fuera de la definición formal. Sólo digo que la idea en que se basa la definición formal no es suficiente para concretar si una definición formal u otra es la que "realmente" se corresponde con esa idea previa, sino que dentro de esa idea previa caben varias formalizaciones alternativas.

En la actualidad, me parece que la idea intuitiva que la mayoría tiene de los números reales es la de puntos en una recta (por más que esa identificación adolezca de algunas deficiencias).

Eso nadie lo niega, pero el caso es que Euler tenía la misma idea de lo que es una recta que Cantor, que Kronecker o que tú o que yo y, a pesar de que todos compartimos esa idea de recta, los tres primeros tenían cada uno un concepto distinto de lo que debían ser formalmente los números reales.

A tal punto esto es así, que por ejemplo, cuando se va a definir el límite de una sucesión [texx]\lim a_n=a[/texx], es común dibujar una recta y el entorno [texx](a-\epsilon,a+\epsilon)[/texx] para un [texx]\epsilon>0[/texx] cada vez más pequeño y ver como a partir de un umbral [texx]n_0[/texx] los puntos [texx]a_n[/texx] van cayendo en ese entornito (al menos así me lo explicaron en el liceo). También que fuera del entorno quedan una cantidad finita de términos, etc.

Sí, pero incluso hoy en día hay quienes "dibujan" entornos infinitesimales de un punto, y esa idea no tiene ninguna correspondencia directa con el concepto usual de número real, pero sí que la tiene en el concepto de número real del análisis no estándar. Tanto un cuerpo de números reales estándar como un cuerpo de números reales no estándar pueden corresponderse con las ideas que todos tenemos de lo que son los "números reales".

Y así en muchos casos más, de manera que yo creo que ésa es la "idea previa" de número real que se tiene al día de hoy. Por lo menos, ésa es mi impresión.

Sí, pero esa idea se puede desarrollar de varias formas distintas. También podemos ir en sentido contrario: hasta cierto punto, el conjunto de los números racionales (o, mejor, de los números reales algebraicos) también se corresponde con esa idea de "puntos de una recta". Tú dirás que ahí faltan puntos, pero Kronecker te diría que no falta ninguno, y todo a partir de la misma idea de "puntos de una recta".
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